Ciencia Ergo Sum ISSN: Universidad Autónoma del Estado de México México

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1 Cnca rgo Sum ISSN: Unvrsa Autónoma l stao Méxco Méxco Gutérrz, César Onas no lnals n l plasma Cnca rgo Sum, vol. 8, núm., novmbr, Unvrsa Autónoma l stao Méxco Toluca, Méxco Avalabl n: ow to ct Complt ssu Mor nformaton about ths artcl Journal's hompag n ralyc.org Scntfc Informaton Systm Ntwork of Scntfc Journals from Latn Amrca, th Carbban, Span an Portugal Non-proft acamc projct, vlop unr th opn accss ntatv

2 n ú m r o s p c a l Onas no lnals n l plasma CÉSAR GUTIÉRRZ TAPIA Rsumn. l plasma por naturalza s un mo furtmnt no lnal. Una part mportant la físca l plasma la consttuy su lctronámca, on la ntraccón no lnal onas s muy mportant para stuar una gran gama procsos no lnals qu ocurrn n él. n st trabajo s scrb forma ntrouctora la lctronámca no lnal l plasma y n l marco la ntraccón no lnal onas s scrbn algunos los procsos más mportants qu ocurrn n l plasma. Palabras clav: plasma, onas, ntraccón, nstabla. Non Lnar Wavs n Plasma Abstract. By vrtu of ts natur, plasma s a non lnar substanc. An mportant part of Plasma Physcs s lnk to th lctroynamcs of th plasma, whr th non lnar ntracton of wavs s ssntal for stuyng a whol gamut of non lnar procsss that occur n plasma.ths work scrbs n ntrouctory form th non-lnar lctroynamcs of th plasma; an wthn th framwork of th non lnar ntracton of wavs, t also scrbs som of th most mportant procsss that occur n plasma. Kywors: plasma, wavs, ntracton, nstablty. Rcpcón: 8 novmbr Acptacón: 4 mayo Introuccón l plasma consst n un gas onzao cuas-nutro, n l cual la rgón cuasnutrala l plasma b sr mayor qu l rao Dby ( r D ( kt / 4π N ) y l tmpo n qu sta nutrala s mantn b sr mayor qu l nvrso la frcunca plásmca los lctrons ( p N 4π ), on,n y m son la carga, la nsa y la masa l lctrón, rspctvamnt. n la físca plasmas, s stuan st grans áras: los plasmas baja tmpratura; plasmas no nutros; fusón nuclar por confnamnto nrcal; fusón nuclar por confnamnto magnétco; hacs, aclraors y funts raacón cohrnt; plasmas spacals y plasmas astrofíscos. La físca plasmas juga un papl mportant n las nvstgacons rlaconaas con la fusón nuclar como una funt nrgía lmpa y rnovabl. Para controlar l procso fusón, qu s la funt nrgía l sol y las strllas, bmos aprnr a crar plasmas utro y trto (sótopos l hrógno) calnts y nsos n l laboratoro. xstn os grans áras n las nvstgacons l procso fusón qu son: las nvstgacons rlaconaas con l confnamnto nrcal y aqullas rlaconaas con l confnamnto magnétco. La mportanca l stuo la ntraccón no lnal onas n l plasma surg cuano s planta l problma la fusón trmonuclar controlaa con bas n l confnamnto nrcal (Langmar, 95). La a st squma consst n lograr las raccons fusón aumntano la nsa Dpartamnto Físca, ININ. Apartao Postal 8-7. Méxco, D.F. C.P. 8. Faculta Cncas, UAM. Tléfono: (5) 9 7 xt. 4. Corro lctrónco: cgt@nuclar.nn.mx V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO CINCIA RGO SUM 55

3 n ú m r o s p c a l l plasma y smnuyno l tmpo confnamnto l msmo para satsfacr l crtro Lawson nτ> 9 sg/m, on n s la nsa l plasma y τ s l tmpo confnamnto. Por jmplo, s tnmos un plasma con nsa n 9, hay qu confnarlo sólo por un tmpo l orn mllonésmas sguno, y surg ntoncs l problma cómo confnar st plasma. Con sta nsa y a una tmpratura mllons graos Klvn, la prsón s mayor un bllón atmósfras, por lo qu aun con los campos magnétcos qu pomos gnrar (~MGauss) no poríamos confnar l plasma. l problma cómo confnar st plasma orgnó la a l confnamnto nrcal, l cual con bas n los xprmntos ralzaos con las bombas hrógno s puso manfsto qu una crta canta masa con una nsa y tmpratura muy altas, los gass qu surgn n la xplosón no s xpann forma nstantána, sno forma lnta, ya qu surgn las furzas nrca, las cuals rtaran la xpansón. n st tmpo, n l plasma s alcanza a gnrar una gran canta nrgía. sta forma confnamnto, cuano naa confna al plasma, s llama confnamnto nrcal. A frnca l confnamnto nrcal, n l confnamnto magnétco s prtn alcanzar altas tmpraturas y tmpos confnamnto largos, acuro con l crtro Lawson (Martnll, 995). s mportant mnconar qu uno los prncpals problmas a rsolvr n l confnamnto magnétco s ntnr l transport partículas y nrgía haca las pars l contnor n l marco las torías turbulnca. La forma ralzar l confnamnto nrcal s mant l uso un sstma lásrs gran potnca (~MJouls). Rsultó qu s s mpla una cápsula, una mzcla utro-trto y s comprm con los lásrs, s aumnta la nsa la cápsula, y al msmo tmpo s smnuy su tamaño. l squma para scrbr cómo ocurrn las raccons fusón s l sgunt: l sstma lásrs comprm la cápsula utro-trto tal manra qu la comprsón y l calntamnto la suprfc la cápsula s ncrmntn manra suav. Al prncpo, la potnca los lásrs no b sr tan gran, sno qu n l lapso un tmpo corto ésta b crcr abruptamnt. s cr, cas toa la nrgía los lásrs s b gastar n l últmo momnto. sto quval a cr qu la prmr mta la nrgía los lásrs s gasta n la comprsón la cápsula y la otra mta n l calntamnto hasta alcanzar la tmpratura para qu las partículas rompan l potncal Coulomb y ocurran las raccons fusón. s bn conoco qu un plasma ral s bastant compljo. n ést s sarrollan una gran vara formas ruo y osclacons qu surgn forma spontána n l plasma. Langmur fu l prmro qu consró qu las fluctuacons prsnts n l plasma rprsntan osclacons alror crtas poscons qulbro, las cuals rmnan totalmnt lo qu ocurr n un plasma (Langmar, 97; Vnov, 967). La naturalza no lnal l plasma s ha stuao por frnts métoos, tals como la toría la lctronámca no lnal (Kaomtsv, 965; Kovrzhnkh, 965; Tstovch, 97; Akhzr y Polovn, 975; Sagv y Galv, 969; Gorbunov, 964) y los métoos hamltonanos (Sagv, Uskov y Zaslavsky, 988). xst una gran gama procsos no lnals qu ocurrn n l plasma y qu tnn frnts mplcacons, como son las nstablas paramétrcas scubrtas por prmra vz n 96 y rlaconaas con las nstablas sprsón (Dursta y Moss, 98). stas nstablas gnralmnt tnn un umbral con rspcto a las ampltus las onas ncnts y s basan n la ntraccón rsonant las onas. n l caso más smpl, sta rsonanca s la rsonanca n l spaco y tmpo los moos corrsponnts con rspcto al moo funamntal, o a otros armóncos mayor orn. stas concons s pun scrbr como (Sagv y Galv, 969) n + ; nk k + k, n,,,..., on, k son la frcunca y l vctor la ona ncnt, k ;, k son las frcuncas y los vctors ona las onas xctaas n las nstablas. Otro aspcto los procsos no lnals l plasma son los fnómnos colctvos l plasma, como s la raacón n l apasón las onas Langmur y cclotróncas (Oravsk y Sagv, 96) on sus frcuncas varían n l tmpo a ntrvalos tmpo rlatvamnt cortos. Un objto muy mportant on s stuan stos procsos no lnals s la magntósfra la trra (Garntt, 974). stos procsos stan íntmamnt rlaconaos con la formacón structuras llamaas soltons (Ptvashul, 98). Las aplcacons los plasmas baja tmpratura, sobr too n l ára cnca matrals, actualmnt son muy mportants, on los fnómnos colctvos (no lnals) jugan un papl funamntal (Camps t al., 995; Gutérrz-Tapa y Arzat-Plata, 997; Lbrman y Lchtnbrg, 994). n st trabajo s a una ntrouccón a la lctronámca no lnal l plasma para xplcar algunos los procsos más conocos n la ntraccón no lnal onas n un plasma y s scrbn algunos los procsos no lnals más mportants qu ocurrn n l plasma. n la sccón I s 56 CINCIA RGO SUM V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO

4 O N D A S N O L I N A L S N L P L A S M A obtn la cuacón matral no lnal; n la sccón II s mustra forma gnral l surgmnto los procsos no lnals; n la sccón III s obtn la cuacón no lnal ruca; n la sccón IV con bas n la cuacón no lnal ruca s scrb la ntraccón trs onas; n la sccón V s mustra la xstnca lys consrvacón n l caso la ntraccón no lnal trs onas; n la sccón VI s scrbn algunos jmplos procsos no lnals qu ocurrn n l plasma. Fnalmnt, s scutn los prncpals rsultaos l trabajo. I. cuacón matral no lnal n campos lctromagnétcos ébls s pu consrar qu la raccón l mo (a través una corrnt o la nuccón otros campos) s proporconal a la tnsón l campo. n sta suposcón s basa la lctronámca lnal n los límts la cual s válo l prncpo suprposcón. n campos más ntnsos, la aproxmacón lnal ja sr vála. sto sgnfca qu la raccón l mo ya no srá proporconal a la tnsón l campo, sno qu surg una rlacón más complja con la tnsón l campo. S la no lnala s ébl, su tratamnto s logra con la ntrouccón térmnos qu contngan potncas la ntnsa l campo más alto orn n la cuacón matral qu rmna la raccón l mo. S sprcamos la sprsón (rtaramnto y no locala la raccón l mo) y consramos qu l mo s sótropo, ntoncs la raccón l mo s pu proponr n la forma D () n un mo no sótropo, on s tnn rccons rmnaas, la cuacón matral contn térmnos cuarátcos con rspcto al campo léctrco, s cr ( ) () D + + () j j jk j k jkl j Para ntroucr la sprsón tmporal y spacal s pu, como n la lctronámca clásca, consrar qu la prmtva léctrca tn la forma t D(r, t) r' j( t t', r r ) ( t', r' ) t t + ' r' '' r' ' ( ', r r', ' '', r' r' ' ) t t t t jk k l ( t', r' ) ( t' ', r'' ) +... j k Al suponr la sr antror la prmtva léctrca s consra qu sta sr convrg, ya qu los térmnos orn más alto srán mnors qu los orn mnor. Aquí s mportant sñalar qu l parámtro pquño srá l cocnt la magntu los campos consraos ntr la magntu los campos qu surgn ntr las partículas l mo. st parámtro s scrb n la forma xt / nt on xt y nt ncan los campos xtrnos ntrnos, rspctvamnt. Los campos ntrnos son los qu rmnan la nrgía ntrna l mo, por lo qu la rlacón mnconaa ntr los campos s pu rprsntar como una rlacón ntr la nsa nrgía l mo W y la nsa nrgía ntrna W. Para l caso un plasma, sta concón nca qu < NT (N s l númro partículas n una volumn y T la tmpratura) y la aproxmacón lnal s vála, n caso contraro los fctos no lnals srán más mportants. s frcunt usar la cuacón matral con xacttu hasta crta potnca l campo. S s consran sólo los térmnos proporconals a, s c qu s tn una aproxmacón cuarátca; s s consran térmnos proporconals a, s c qu s tn una aproxmacón cúbca y así sucsvamnt. II. Prncpals procsos no lnals Ants analzar las cuacons la lctronámca no lnal y sus solucons, vamos los prncpals procsos (fctos) qu surgn por la no lnala las propas l mo. mpcmos por la aproxmacón cuarátca qu tn lugar n un mo no sótropo sn sprsón. S n cho mo s propaga una ona y l campo léctrco n l mo varía n la forma t+ r { k + c. c. }, bo a la no lnala la cuacón matral n l mo, surg una nuccón la cual varía por otra ly. D acuro a la cuacón (), la nuccón contn ahora térmnos cuarátcos, () V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO CINCIA RGO SUM 57

5 n ú m r o s p c a l D { t+ kr k..} { t + + c c }. ( nl) r (4) jk j k s mportant mnconar qu la nuccón s una funt campo, por lo qu amás l campo la ona ncnt surg un campo con una pnnca spaco-tmporal la forma +k r. n otras palabras, n un mo no lnal, cuano s propaga una ona smpr surg l sguno armónco, amás qu surgn térmnos constants qu no pnn las coornaas y l tmpo. sto sgnfca qu surg un campo homogéno y constant, o una corrnt léctrca. Vamos ahora l caso cuano sobr l mo ncn os onas con frnts frcuncas, n la forma t + r { k + c. c. }, { t + k r + c. c. }. s claro qu amás los fctos qu gnra caa una las onas, surgn otros rlaconaos con sus ntraccons rmnaos por los campos ambas onas. n l mo surg una nuccón n la frcunca + y l vctor ona k + k, y tambén n la frnca frcuncas, así como n la frnca los vctors ona k k. La nuccón y la corrnt son funts campo y stos campos s llaman campos mzclaos. Consrmos ahora un mo sótropo, on s posbl úncamnt la aproxmacón cúbca. S sobr st mo nc una ona con frcunca y vctor ona k, ntoncs junto a la nuccón lnal tambén surg la nuccón no lnal (vr cuacón ), D ( () + ( 4 t + kr t + kr + c. c.) + + t kr ) ( t + kr + c. c.). S obsrva qu la aproxmacón cúbca conuc a la aparcón l trcr armónco la ona ncnt n la frcunca y con una vctor ona k. Amás, la prmtva léctrca la propa ona varía n la forma ff + () (5) S sobr l mo sótropo ncn os onas con frcuncas y, y vctors k y k, ntoncs surg una nuccón n las frcuncas mzclaas ±, ± y corrsponntmnt con vctors ona k ± k y k ± k. Amás, la prmtva léctrca (5) rsulta ahora una funcón ambas onas. st fcto s conoc como moulacón cruzaa. III. cuacón no lnal ruca Las cuacons Maxwll son válas tambén para un mo no lnal. S s consra qu no hay funts xtrnas, ntoncs stas cuacons s pun rucr a una cuacón la forma D ( ) +. (6) c Sn mbargo, la nuccón n st caso s rlacona con l campo manra no lnal. La solucón la cuacón no lnal sguno orn s un problma matmátco muy complcao, por lo qu s rcomnabl rucrlo. sta ruccón consst n la suposcón qu las onas son monocromátcas y sus ampltus varían lntamnt n un proo y n una longtu ona. n st caso, vamos a suponr qu n l mo s propagan muchas onas. l campo stas onas s pu rprsntar n la forma (r, t) R - t+ kr k t+ kr k (r, t,, k) + (r, t,, k). k tk r Otra forma para scrbr st campo consst n ralzar los cambos!, k! k on (r, t) R on t+ kr k (r, t; ; k) (r, t;, k) (r, t;, k).. s,a (9) n rsumn, s pu utlzar la forma t+ k r (r, t) k (, k) () con la concón aconal (9). Aquí s ha obvao la pnnca con rspcto a r y t n la ampltu la part rcha. (7) (8) 58 CINCIA RGO SUM V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO

6 O N D A S N O L I N A L S N L P L A S M A Para obtnr un conjunto scrto onas, () hay qu consrar frnts cro aqullas ampltus qu corrsponan a crtos valors frcuncas. Así, por jmplo, s tnmos úncamnt una ona, ntoncs obtnmos (, k) δ ( ) δ (k k ) + δ ( + ) δ (k+ k ), on susttuyno sta xprsón n (), obtnmos (r, t) t+ k r + c.. c Vamos ahora la cuacón matral n un mo no lnal. Por smplca sprcmos la sprsón y consrmos un mo ansótropo con una no lnala cuarátca. Para sto susttumos () n () y n l térmno no lnal hacmos un cambo varabls +, k + k k. Como rsultao obtnmos D (r, t) + jk k k t+ kr j { (, k) } j (, k ) k (, k k ). () sta xprsón s pu consrar como la fncón la ampltu la nuccón no lnal n la frcunca y con l vctor ona k, D (, k) jk k j j j (, k) + (, k ) k (, kk ). () Susttuyno () n (6) y sprcano las sgunas rvaas con rspcto a las coornaas y l tmpo la ampltu, obtnmos c A { + + k' ( ', k' ) ( ', k k' )} j j j j jl ' j l c j j + A j j + jl.... () n prmr lugar vamos a consrar qu la ampltu l campo s constant. S consramos la varacón la ampltu, n la toría lnal sto s rlacona con la transfrnca y spacón nrgía. n la toría no lnal, surg amás la ntraccón ntr onas. Al consrar st fcto, a órns bajos, tnmos kl x c c kl x A { + ' k' ( ', k k' ) ( ', k' )} j t j j j jl l, l on s han sprcao los térmnos l tpo A j y jl. Para obtnr una cuacón parca a las cuacons qu s utlzan n la toría lnal multplcamos sta últma cuacón por l vctor polarzacón y w vmos ntr ( j j ) j j c. Como rsultao obtnmos la cuacón ruca, la cual rmna la c varacón la ampltu la ona con frcunca y vctor ona k, + v ( g r) r + γ (, k) j k (k ) + (k ( )) D c ' k' a( ', k' ) ( ', k' ) ( ', k k' ), (4) D c. Ahora susttumos () n sta cuacón y sparamos la part hrmtana y anthrmtana l tnsor j ( + j j A j ), on v c [ k ( k ) ] (5) ( g r) j A j jj γ, (6) j j k ( k ) + k + ( k l k ) l x l x l w ( w) ( w ) ( w jl j l w ) a( w k ) ( w) ( w) j j (7) V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO CINCIA RGO SUM 59

7 n ú m r o s p c a l son la vloca grupo, l cofcnt amortguamnto y l cofcnt corrlacón no lnal las onas. Cuano s consra la sprsón, la cuacón matral n un mo no lnal () contn bajo l sgno ntgral l núclo jk qu pn las coornaas y l tmpo. sto conuc a qu n la cuacón (4) l tnsor jk sa funcón las frcuncas y los vctors ona, aunqu la forma la cuacón no camb, sto s lnals. Por jmplo, l térmno δ ( ) δ ( k k ) scrb la gnracón l sguno armónco la prmra ona. Térmnos análogos surgn para otras onas. Los procsos rlaconaos con la ntraccón no lnal trs onas son los térmnos δ ( ), δ ( + ), jk(, k', ' k' ) kρ + ' τ ' kρ' jk τ τ ρ τ ' ρ' ( τ, ρ; τ', ρ' ). (8) ( + ), δ ( + + ) δ ( ), δ, l snto la cuacón ruca para la ampltu la ona con frcunca y vctor ona k s bastant smpl. n sta cuacón, junto a la transfrnca y spacón nrgía, s consra la ntraccón no lnal las onas. sto sgnfca qu con cha ona ntractúan cualqur par onas tals qu la suma sus frcuncas y sus vctors ona san guals a la frcunca y l vctor ona la ona consraa. IV. Intraccón trs onas D acuro con Tstovch (97), vamos a consrar qu n l mo s tnn sólo trs onas con frcuncas,, y vctors ona k,, rspctvamnt. n st jmplo analzarmos un procso lmntal la ntraccón no lnal onas. Incamos por la uccón las cuacons para las ampltus. Para sto suponmos qu n la cuacón () son frnts cro úncamnt las ampltus trs onas, on (, k) δ ( ) δ ( k k) + δ ( + ) δ ( k + k ) + ( ) δ ( k k ) + δ ( + ) δ ( k + ) + ( ) δ ( k k ) + δ ( + ) δ ( k + ) k k (9) Susttuyno st conjunto térmnos n (4) obtnmos + v ' k' a + γ r [ δ ( ) δ ( k k ) + ] ( ', k' )[ δ ( ' ) δ ( k k' k ) + ] [ δ ( ' ) δ ( k' k ) + ] () n la part rcha sta xprsón s tnn 6 térmnos, a caa térmno corrsponn frnts fctos no y así sucsvamnt (n total 6 térmnos). Sn mbargo, no s ncsaro consrar toos los térmnos s s asum qu >,. Como por jmplo, l térmno δ ( + ) corrspon a la xctacón una ona con frcunca w, pro como >, st térmno hay qu sprcarlo. Para obtnr una cuacón para la ampltu la prmra ona, mantnmos n la part zqura úncamnt l térmno proporconal a δ ( ) δ ( k k ) y n la part rcha sólo los térmnos proporconals a la ampltu la sguna y trcr ona qu contnn l térmno δ ( ) δ ( k k + k ). st térmno s únco y prcsamnt scrb l procso ntraccón trs onas, on s satsfac la concón + k k k. (), + Como rsultao, para la ampltu la prmra ona obtnmos + v γ () + a on, v y γ son la vloca grupo y l crmnto la prmra ona rspctvamnt; l cofcnt consra la ntraccón no lnal las onas y acuro con (7) (los íncs ncan la polarzacón las onas) a jl j l j j D forma análoga s obtn la cuacón para la sguna ona. n la part zqura sólo s consra l térmno proporconal a δ ( ) δ( k k ), y n la part rcha l térmno proporconal a + ). ( 6 CINCIA RGO SUM V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO

8 O N D A S N O L I N A L S N L P L A S M A Como rsultao obtnmos + v on a + γ a () jl jl. (4) j j Para obtnr las cuacons para la trcra ona n la part zqura s mantn l térmno proporconal a δ( ) δ(k k ), y n la part rcha l térmno proporconal a δ( ), + on a + γ a, (5) v jl jl. (6) j j l sstma cuacons ()-(6) scrb la ntraccón no lnal trs onas, on la frcunca más gran s y s satsfacn las concons (). stas concons s conocn como rlacons sprsón. st nombr s rlacona con la analogía cuántca, ya qu s multplcamos () por la constant Planck } obtnmos la Ly Consrvacón nrgía y Momnto. Por lo antror, l procso ntraccón trs onas s pu stuar como l procso scomposcón l cuanto n los cuantos y. s obvo qu s posbl l procso nvrso, llamao procso suma onas. s mportant sñalar qu l procso ntraccón no lnal s local nstantáno n l tmpo. Para qu st procso ocurra son ncsaras rmnaas rgons spaco y crto ntrvalo tmpo, por lo qu las concons () tnn l snto concons sncronsmo fas n l tmpo y l spaco. n otras palabras, os onas ntracconan con una trcra s stas forman un campo no lnal, l cual varía n l tmpo y spaco gual qu l campo la trcra ona. V. Lys consrvacón n la ntraccón onas D acuro con las cuacons ()-(6), la varacón la ampltu caa una las trs onas n caa punto l spaco y l tmpo s rlacona con la xpulsón la ona st punto, por la spacón y la ntraccón las onas una con otra. S s sprca la spacón, ntoncs qua úncamnt la ntraccón ntr onas y s obvo qu n sta aproxmacón l sstma trs onas s crrao. n tals sstmas s tnn rmnaas lys consrvacón. Para rmnar stas lys consrvacón scrbmos las cuacons ()-(6) n la forma j j + v w jljl, j j + v wjljl, v j j + w jljl, (7) (8) (9) Multplcano la prmr cuacón por y sumano a su compljo conjugao, obtnmos n la part zqura l térmno j j( / + v / ), l cual multplcao por /6π nos prmt obtnr la cuacón para la nrgía n la forma v ( + jljl ). 6π () n la uccón () s supuso qu l tnsor léctrco no lnal s ral, lo cual s válo n l caso cuano no hay spacón. D forma análoga, las cuacons ()-(6) s obtnn las cuacons para W y W n la forma v + jljl ( ), 6π 6π ( ), + v jljl () () Algunas las propas smtría los tnsors jk son () jl j l jjl l j jl l jl j l, jl jl l lj j j jll jl jl. (4) D sta manra, n las parts rchas las cuacons ()-() aparcn los msmos múltplos. Dvno las V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO CINCIA RGO SUM 6

9 n ú m r o s p c a l cuacons ()-() ntr las frcuncas corrsponnts obtnmos + W v + v W W + v (5) sta guala rlacona la varacón las nsas nrgía trs onas por su ntraccón ntr llas y s conoc como rlacón Manly-Row. S las ampltus las onas no pnn las coornaas, ntoncs toas los cambos ocurrrán n l tmpo. D acuro con (5) s tn la guala W W W. (6) A la canta (W α / α )N α s l nomna como l númro cuantos. st nombr tn rlacón con l hcho qu acuro con la mcánca cuántca, la nrgía un cuanto s gual a } α. A sta ona l corrspon la nsa nrgía W α con la cual s pu rlaconar crta canta cuantos. D acuro con (6), la smnucón n una tmpo l númro los cuantos con frcunca s gual al aumnto l númro los cuantos con frcuncas y. sto últmo proporcona un snto más concrto la ntraccón no lnal onas, como n l caso los cuantos. Como rsultao un acto lmntal sprsón, la nrgía y l momnto s consrvan acuro con las rlacons () y quval a qu l númro cuantos qu surgn s gual al númro cuantos qu can. D la rlacón (6) s obtn la Ly Consrvacón nrgía para las otras onas W W W W ( + ) W ( W + W ), (7) W + W + W W const. (8) sta últma rlacón nca qu n una una volumn la nsa total nrgía para trs onas s consrva. Otra smplfcacón la fórmula (5) s obtn cuano las ampltus las onas no pnn l tmpo, sno las coornaas. n st caso, (5) tnmos vw vw vw. r r (9) r l proucto v α W α s la nsa l flujo nrgía la ona α, y la canta v α W α / α rmna la nsa flujo los cuantos, s cr, l númro cuantos qu pasan por una tmpo a través una suprfc. La rlacón (9) confrma qu la smnucón l flujo cuantos spc n una capa nfntsmal s gual al aumnto l flujo cuantos las spcs y n sta capa. D la rlacón (9) s obtnn las lys consrvacón l flujo nrgía las trs onas v W v W r r ( v W + v W ), r + v W r (4) I v W + v W + v W const. (4) n l caso gnral, cuano las cantas W,, pnn tanto las coornaas como l tmpo, para la nsa nrgía las trs onas s obtn la cuacón contnua + Ι VI. Prncpals procsos no lnals n l plasma (4). Molo una partícula cargaa n aproxmacón cuarátca l molo más smpl para la scrpcón l plasma s l molo una partícula cargaa. Vamos l movmnto una partícula n la aproxmacón cuarátca. D la cuacón movmnto v r m m ( r, t) + ( v B), (4) c xpanmos la trayctora un lctrón n una sr r r + r + r +..., gualano la part zqura y rcha con rspcto al orn la sr, obtnmos l sstma cuacons (hasta térmnos sguno orn) r m ( r, t), (44) 6 CINCIA RGO SUM V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO

10 O N D A S N O L I N A L S N L P L A S M A r m ( r ) ( r, t) + B( r )., t (45) r c Vamos l movmnto un lctrón n l campo una ona monocromátca con una frcunca, un vctor ona k y una ampltu kr t kr+ t (r, t) ( + ). (46) D la Ly Inuccón Magnétca Faraay obtnmos l campo magnétco B (c/)(k x ). D la cuacón (44) obtnmos la vloca y la poscón l lctrón n la aproxmacón lnal n la forma r krt kr+ t ( ), (47) m krt kr+ t r ( ), (48) m on l subínc r n las últmas xprsons s ha gnorao. Susttumos stas os últmas xprsons n (45), on obtnmos la forma la furza r m 4m tkr t+ kr { ( k ( k ) [ ( k ) ( k )]} + ( k ( k ) (49) l últmo térmno s gual a cro s s consra la ampltu n la forma xp(φ). Como rsultao obtnmos, consrano qu φ, las xprsons. r ( k ( k ) cos( k r t), (5) 4m ( k ( k ) sn( k r ). (5) r 4 t 8m D sta manra, n l campo una ona lctromagnétca conjuntamnt con la corrnt lnal j N (r /), la cual varía con la msma frcunca qu la ona, surg una corrnt cuarátca ( r ) N / j N ( ( ) k k cos[ ( k r t) ]. (5) 4m La corrnt (5) s la funt para la gnracón l sguno armónco una ona lctromagnétca. La magntu l campo l sguno armónco pnrá s s satsfac la rlacón sprsón qu rlacona a con k. S s satsfac la rlacón sprsón, ntoncs la fctva n la xctacón l sguno armónco srá mayor al prmr armónco. n partcular, para una ona transvrsal n un plasma sótropo, cuano s satsfac la rlacón k c + la rlacón () (k) c + ya no s satsfac, por lo qu la fctva gnracón l sguno armónco srá pquña.. Procsos ntraccón trs onas n l punto antror tratamos l caso la gnracón una corrnt n l sguno armónco. sta corrnt srv funt campos n las frcuncas ±. La magntu l campo n stas frcuncas combnaas pn s s satsfac la rlacón sprsón corrsponnt. S las frcuncas ± y los vctors ona k ± k s rlaconan por una rlacón sprsón, ntoncs s xcta una ona propa l sstma (Sagv y Galv, 969; Gorbunov t al.; 964). n st caso s pu hablar la ntraccón trs onas n l plasma, caa una las cuals s una ona propa l plasma y la cual satsfac una rlacón sprsón. Al procso n l cual os onas con frcuncas y xctan una ona n la frcunca + s l fn como procso fusón; l procso nvrso s l procso sprsón. n partcular, la xctacón una ona con mnor frcunca s l rsultao l procso sprsón +. Sn mbargo, la concón qu s satsfagan las rlacons sprsón para trs onas, sus frcuncas y vctors ona las cuals stán rlaconaos por las rlacons sprsón ±, k k ± k no smpr xst.. Furzas ponromotrcs n l plasma asta ahora hmos consrao onas planas con ampltu constant. Sn mbargo, la structura los campos n l plasma s más complja. n partcular, n procsos tals como la aclracón l plasma, ntraccón lásrs alta potnca con l plasma y otros, actúan sobr las partículas l plasma furzas spcals qu son guals a cro cuano las onas son planas (Moor y Fsh, 994; Gutérrz-Tapa, 999). V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO CINCIA RGO SUM 6

11 n ú m r o s p c a l FIGURA. VARIACIÓN D LA TRAYCTORIA D FORMA D OCO D UNA PARTÍCULA CARGADA N UN CAMPO D RADIOFRCUNCIA NO OMOGÉNO. A sguno orn, sobr l lctrón actúa la furza r r f (r ) m + B c m mc t t t t ( + ) ) ( + ) t t c t t ( ) ( ) ( ) ). n la xprsón para la furza aparcn térmnos qu pnn l tmpo. Prcsamnt stos térmnos son los más mportants, por lo qu los vamos a scrbr sparaamnt, f ( ) ( ) ( m ) + ( ). Vamos l campo léctrco l campo n la forma x obtnmos una fórmula compacta Utlzano la rlacón [ )] ( ) ( ) ( n n t t (r, t) ( (r) + (r) ). (5) f (r) 4m (55) st campo s monocromátco. S (r) kr, ntoncs la fórmula (5) fn l campo una ona vajra. n st snto (5) s una gnralzacón una ona plana. D (5) y la cuacón Maxwll (/c)( B/) s fácl rmnar l campo magnétco c t t B ( ). (54) La cuacón movmnto un lctrón n st campo s rsulv por un métoo prturbatvo suponno qu l lctrón ncalmnt s localza n l punto rr. A prmra aproxmacón tnmos r t t m (r ) (r ), + r wt wt ( ( r ) ( r ) ), m r ) m wt wt ( ( r ) + ( r ) Para una ona plana const y la furza f s gual a cro. A la furza (55) s l conoc como furza ponromotrz. Para ntrprtar l snto físco la furza ponromotrz rcormos qu la trayctora una partícula cargaa n un campo lctromagnétco s un ocho. S l campo no s homogéno, ntoncs la fgura ocho tn frnts anchuras n frnts puntos la trayctora (fgura ). sto conuc a qu spués un crto proo varacón l campo, la partícula no rgrsa al punto ncal, sno qu rva a la rgón on l campo s más ntnso. st movmnto rva s ocasonao por la furza ponromotrz, la cual xpulsa a la partícula la rgón on l campo s más ntnso a una rgón on l campo s más ébl. Como s obsrva (55), la furza no pn l tpo carga, sno qu pn la masa la partícula. Sobr los lctrons la accón sta furza srá l orn m /m vcs más furt qu para los ons consrano qu Z. 4. Instablas paramétrcas n l plasma ntr una gran vara nstablas paramétrcas n l plasma s tnn crtas nstablas más analzaas (Gorbunov t al., 964). mpcmos por la nstabla 64 CINCIA RGO SUM V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO

12 O N D A S N O L I N A L S N L P L A S M A osclatora os fluos. Ésta surg n l plasma cuano la frcunca la ona ncnt s crcana a la frcunca plásmca los lctrons. Supongamos qu n l plasma nmrso n un campo homogéno raofrcunca s tn una prturbacón nsa δn (fgura ). Por la accón l campo, los lctrons l plasma osclan y saln la rgón on la concntracón s mayor pasano a la rgón on ésta s mnor. Los ons prmancn nmóvls n st caso. Como rsultao, surg un campo rápamnt varabl sparacón carga δ, l cual s rmna fáclmnt la cuacón D, FIGURA. PRTURBACIÓN D DNSIDAD δ N N UN PLASMA INMRSO N UN CAMPO D RADIOFRCU NCIA N O OMOGÉNO. δ 4π δn δ, m ( ) on s l componnt parallo al grant nsa l campo ncnt. S > L y ( ) >, ntoncs, n la rgón on δn > l campo sparacón carga stá rgo n la msma rccón qu l campo ncnt. l campo total s mayor ntro la rgón mayor concntracón qu fura sta rgón, y la furza ponromotrz, la cual s proporconal a ( δ)/ x, tn a smnur la prturbacón ncal nsa. S por l contraro, < L ntoncs ( ) < y l campo δ stará rgo n rccón contrara al campo. A su vz, l campo total srá mnor on la nsa l plasma s mayor y la furza ponromotrz tnrá a aumntar la prturbacón ncal. Como rsultao, stas prturbacons mpzan a crcr y surg la nstabla. Vamos ahora la nstabla n un plasma nrarco, ( >> L ), llamaa autonfoqu o flamntacón. Como rsultao su sarrollo n la rccón prpncular a la rccón propagacón la ona ncnt, ocurr una rstrbucón la nsa l plasma y l campo lctromagnétco. Surgn rgons baja nsa, pro con una alta ntnsa raacón lctromagnétca, turnános con rgons alta nsa, pro baja ntnsa raacón lctromagnétca. La scomposcón la ona lctromagnétca n hlos lgaos con alta nsa s llama flamntacón. La ntrprtacón físca sta nstabla s pu ntnr s consramos qu la ona ncnt s propaga n un plasma con una concntracón moulaa n la rccón prpncular al vctor ona k (fgura ). Toos los lctrons l plasma n un punto z osclan n l campo la ona ncnt la forma v v cos t, on v /m. Las varacons nsa δn ocasonan qu surja una corrnt δ j v δn cos t. sta corrnt nuc un campo magnétco δ(y) rgo n l FIGURA. PROPAGACIÓN D UNA ONDA D RADIO- FRCUNCIA A TRAVÉS D UN PLASMA CUYA DNSIDAD N LA DIRCCIÓN PRPNDICULAR A K S MODU LADA. j Oz. l campo magnétco actúa sobr los lctrons, qu osclan n l campo con una furza f (/c)(j δ), on j N v cos t. sta furza ncrmnta las prturbacons ncals nsa, por lo qu surg la nstabla. Otro jmplo las nstablas paramétrcas s lo qu s conoc como sprsón forzaa. Para ntnr su naturalza físca, consrmos qu al ncuntro la ona ncnt s propaga una ona lctromagnétca con mnor frcunca. S las frcuncas las os onas furan V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO CINCIA RGO SUM 65

13 n ú m r o s p c a l FIGURA 4. COMPORTAMINTO DL POTNCIAL Φ Y SU IMAGN N L SPACIO FAS. 5. Partículas atrapaas asta ahora s ha utlzao la toría prturbacón con rspcto a la ampltu l campo. sto supon qu l campo prturba poco la trayctora las partículas, s cr, v <<max(v Tα,v φ ). s claro qu sta concón no s satsfac para las partículas rsonants, la vloca las cuals conc con la vloca fas la ona. stas partículas son las qu rqurn un tratamnto frnt un métoo prturbatvo (Sagv t al., 988). Vamos una ona qu s propaga a lo largo l j Ox y cuyo campo tn la forma sn( t-k x). Consérs l sstma coornaas la ona x x + ( k )t. n st sstma coornaas, l campo s una funcón próca la coornaa sn kx. Como la ona s potncal, s pu ntroucr l potncal, φ x on φ ( k ) cos k x (fgura 4). Consrmos l movmnto una partícula n un campo léctrco con la concón qu la vloca ncal la partícula s crcana a la vloca fas. La cuacón movmnto n la vcna los puntos k x πn, on n, ±, ±,..., tn la forma x m sn k x k x. D on s obtn qu la partícula movénos junto con la ona oscla al ror l punto x con la frcunca Ω k m, y l proo osclacón s guals, ntoncs obtnmos una ona staconara. sta ona staconara s propaga lntamnt con una vloca v b ( - )/(k +k ) n l plasma. n l campo sta ona actúan furzas ponromotrcs, las cuals tnn a xpulsar al plasma las crstas a los valls. Las prturbacons nsa rsultan más sgnfcatvas cuano la vloca v b s gual a la vloca la ona longtunal xctaa n l plasma. S la ona xctaa s una ona Langmur, s c qu s tn una sprsón forzaa combnaa. S la ona xctaa s una ona sónca, s c qu s tn una sprsón forzaa Manlshtam-Brlloun. La ona xctaa bajo la accón la furza ponromotrz aumnta la ampltu la ona sprsaa con una frcunca, la cual a su vz aumnta la magntu la furza ponromotrz lo qu ocasona la nstabla, ano como rsultao un aumnto brusco la ntnsa la raacón sprsaa. π τ. (56) k m La ampltu las osclacons las partículas pn la frnca ntr la vloca la partícula y la vloca fas la ona. S sta frnca s pquña, ntoncs s pquña la ampltu las osclacons. n stos casos s c qu la partícula stá atrapaa por la ona. S por l contraro, la frnca s gran, ntoncs la partícula pu fugars l mínmo l potncal y mpzar a movrs parallamnt a la ona. sto srá cuano (mv /)>( / k ). La lína qu spara, n l spaco fas, a las partículas atrapaas las lbrs s llama sparatrz. S la ona s nycta muy rápo al plasma n un tmpo mnor qu (56), s pu consrar qu las partículas no tnn tmpo movrs con rspcto a la ona. Por lo antror, su númro s scrb por la funcón strbucón ants la nyccón la ona. n una tapa ncal, una part las partículas s frnan (su númro s mnor) y otra part s aclran (su númro s mayor). n gnral, la nrgía las partículas s ncrmnta y la nrgía las onas smnuy. Prcsamnt, n st ntrvalo tmpo (t<< τ) s pu hablar l amortguamnto Lanau. S t τ ntoncs las partículas qu s frnaron mpzarán a aclrar y así sucsvamnt. n st caso, la nrgía las partículas mpzará a transmtrs a las onas y s rgstrarán osclacons la ampltu las onas con un proo (56). Sn mbargo, l proo las osclacons las partículas qu tnn frnts poscons y vlocas ncals no concrán. Las partículas qu osclan con una ampltu gran s muvn más lntamnt y tnn un proo mayor. Las partículas con mnor ampltu tnn un proo mnor. 66 CINCIA RGO SUM V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO

14 O N D A S N O L I N A L S N L P L A S M A Como rsultao, la sncronía las osclacons las partículas s corromp y surg una mzcla fass. n st caso las partículas, ya no pun ntrar n fas y rconstrur l campo. S stablc un stao staconaro, n l cual la nrgía la ona s constant y on frnts partículas tnn frnts fass osclacón. s cr, n caa punto l spaco s tnn smultánamnt partículas con frnts vlocas n l ntrvalo (m4v /)Φ. n la funcón strbucón s forma una msta y l ntrcambo nrgía ntr las partículas y la ona saparc. 6. Onas no lnals. Soltons Otro concpto físco mportant qu surg n un régmn furtmnt no lnal s l concpto las onas soltaras o soltons. Como jmplo, vamos las onas no lnals sónco-óncas (Ptvashvl, 98). n l molo os fluos l plasma (lctrons ons), las cuacons movmnto y contnua tnn la forma N + ( N ), V x N + ( ), x N V V V + V v x T V V + V v x T ln N x ln N x φ, m x φ, m x (57) (58) (59) (6) on s asum qu l movmnto s ralza n la rccón Ox. l potncal sparacón cargas s fn por φ la cuacón 4πρ o sa 4π( N ) + N. Vamos x l movmnto lnto n l plasma rlaconao con los ons. n stos movmntos lntos v T >> v y los lctrons tnn tmpo rposconars n l spaco tal forma qu n caa punto la prsón térmca qulbra la furza con la qu actúa l campo léctrco, N N xp( φ T ). Invrsamnt a los ons s ls consra fríos ( v T << v ) y s sprca su movmnto térmco. Vamos a buscar la solucón las cuacons (57)-(6) suponno qu toas las cantas pnn las coornaas y l tmpo n la forma χ x - ut. stas solucons corrsponn a onas no lnals staconaras y n l caso partcular una pnnca armónca la varabl χ s transforman n onas lnals normals. Las cuacons rucas la hronámca s transforman como χ [ N ( v u) ], ( v χ u) φ m χ (6) (6) D la prmra cuacón obtnmos la Ly Consrvacón los Ions N (v - u)const. S cuano N N, v, ntoncs N (v - u) N u. D la sguna cuacón s obtn la Ly Consrvacón nrgía los Ions ( ) / v u + φ m cont C. S v, φ ntoncs, C u / y N N m u. φ Ahora, xprsano la concntracón los ons a través l potncal s pu obtnr una cuacón para l potncal. Amás, s consramos qu n l punto on φ l plasma s nutro, s cr N + N, ntoncs sta cuacón tn la forma φ 4πN χ T φ φ m u. (6) sta cuacón s una cuacón furtmnt no lnal qu rmna la varacón spacal l potncal una ona sónco-ónca. La cuacón no tn solucons analítcas, pro xst una forma para l análss st tpo cuacons. Para sto, hay qu multplcar la cuacón (6) por φ /χ y scrbrla n la forma ( ), φ + U φ (64) χ on l «potncal» U tn la forma φ 4. T m u N T + φ U π m u (65) sta últma rlacón tn la forma una Ly Consrvacón nrgía n l movmnto un punto matral masa untara n un campo potncal, on c V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO CINCIA RGO SUM 67

15 n ú m r o s p c a l tn l snto l tmpo, φ l snto coornaa, U l snto potncal y l snto la nrgía total. S la nrgía la partícula s pquña, ntoncs ésta oscla y l potncal varía con rspcto a las coornaas y l tmpo forma próca. La structura stas osclacons s frncía furtmnt las osclacons armóncas. Cuano la nrgía las partículas aumnta, l proo las osclacons aumnta, ntoncs la partícula nfntamnt s acrca al punto on φ. Aquí s on s forma lo qu s llama un soltón. Conclusons st trabajo s una ntrouccón a la lctronámca no lnal. Con bas n sta toría, s scrbn algunos procsos qu ocurrn n l plasma n l qu s mportant la ntraccón no lnal onas. Con stos jmplos s prtn mostrar qu la naturalza l plasma on s sarrollan una gran vara formas ruo y osclacons qu surgn forma spontána s muy complja. Actualmnt xstn trs molos gnrals para scrbr al plasma qu son (Alxanrov t al., 984): l molo partículas cargaas npnnts, l molo hronámco y l molo cnétco. stos molos han ayuao a tnr una crta clara fnomnológca la físca los plasmas; sn mbargo, muchos alls quan aún por stuar. n la fusón nuclar, tanto n l ára confnamnto nrcal como n l l confnamnto magnétco, s han sguo os vrtnts una consstnt n l sarrollo postror los métoos mnconaos, y otra consst n la mplmntacón otros métoos como l qu consra a los frnts spostvos confnamnto l plasma como sstmas físcos compljos, on s han aoptao torías como las autoorganzacón y sstmas námcos y bfurcacón (Kaomtsv, 99). Como aplcacons stos últmos métoos s pun mnconar l control nstablas n la ntraccó lásr-plasma n la fusón nuclar por confnamnto nrcal y l stuo la turbulnca rlaconaa con l control l transport partículas y nrgía n los tokamaks y stlraors (Martnll, 995) corrsponnts al ára confnamnto magnétco. Fnalmnt, s mportant sñalar qu n las otras áras mnconaas n la ntrouccón tambén xst una gran vara problmas no rsultos, y n los cuals los procsos lnals son la clav para porlos rsolvr. Por límts spaco, n st trabajo no s scrbn los problmas más mportants rlaconaos con stas otras áras mportants la físca plasmas. BIBLIOGRAFÍA Alxanrov, A.; L. Bogankvch, y A. Rukhaz (984). Prncpls of Plasma lctroynamcs. Sprngr-Vrlag, Brln. Akhzr, A.; I. Akhzr y R. Polovn (975). Plasma lctroynamcs, T.. Prgamon Prss, Nw York. Camps,.; O. Ola; C. Gutérrz-Tapa y M. Vllagrán (995). Rv. Sc. Instrum., 66, 9. Dursta, J. y G. Moss (98). Inrtal Confnmnt Fuson. John Wly & Sons, Nw York. Gorbunov, L.; V. Pustavalov y V. Sln (964). Sov. Phys. JTP, 47, 47. Gurntt, D. (974). J. Gophys. Rs. 79, 47. Gutérrz-Tapa, C. (999). Rv. Mx. Fís. 45,. y N. Arzat-Plata (997). Rv. Sc. Instrum. 68, 4. Kaomtsv, B. (965). Plasma Turbulnc. Acamc Prss, Nw York. (99). Tokamak Plasma: A Complx Physcal,IOP Publshng Lt, Brstol. Kovrzhnkh, L. (965). Lbv Truy., 7. Langmur, I. (95). Phys. Rv. 6, 585. (97). Z. Phys. 46, 7. Lbrman, M. y A. Lchtnbrg (994). Prncpls of Plasma Dschargs an Matrals Procssng. John Wly an Sons, Nw York. Martnll, J. (995). Los Promtos mornos o l sfurzo para controlar la fusón nuclar. Fono Cultura conómca, Colccón La Cnca Para Toos, a. cón, Méxco. Moor, J. y N. Fsh (994). Phys. Plasmas., 5. Oravsk, V. y R. Sagv (96). Sov. Phys. JTP,, 9. Ptvashvl, V. (98). Rvws of Plasma Physcs. T. 9, Consultants Burau, Nw York, 59. Sagv, R. y A. Galv (969). Nonlnar Plasma Thory. Bnjamn, Nw York. Sagv, R.; D. Uskov y G. Zaslavsky (988). Nonlnar Physcs from th Pnulum to Turbulnc an Chaos. arwoo Acamc Publshrs, Nw York. Tstovch, V. (97). Non-lnar ffcts n a Plasma. Plnum Prss, Nw York. Vnov, A. (967). Rvws of Plasma Physcs. T., Consultants Burau, Nw York, CINCIA RGO SUM V OL. 8 NÚMRO TRS, NOVIMBR -FBRRO