Tema 8: Heteroscedasticidad

Transcripción

1 Tema 8: Heteroscedastcdad Máxmo Camacho Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8

2 Heteroscedastcdad Bloque I: El modelo lneal clásco r Tema : Introduccón a la econometría r Tema : El modelo de regresón lneal r Tema 3: El método MCO r Tema 4: Propedades de la estmacón MCO r Tema 5: Inferenca y predccón Bloque II: Extensones al modelo lneal clásco r Tema 6: Multcolnealdad r Tema 7: Varables fctcas r Tema 8: Heteroscedastcdad r Tema 9: Endogenedad Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8

3 Descrpcón de la clase Introduccón a la heteroscedastcdad El método MCO bajo heteroscedastcdad ELI, no óptmo El método MCG ELIO Deteccón de heteroscedastcdad: gráfcos y contrastes Métodos práctcos de estmacón de modelos con heteroscedastcdad Conclusones Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 3

4 . Introduccón.. Ejemplo de clase Imagnemos que en una regón (Calforna) los responsables de educacón queren estudar notas en 4 colegos. Datos en 998 Notas Y Rato estudantes por profesor X (REP) Porcentaje de alumnos que no hablan ben el doma X (PNI) Porcentaje de alumnos que pueden pedr ayuda para comedor X 3 (PAC) Cómo estmamos esta relacón? Modelo lneal clásco Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 4

5 . Introduccón.. Supuestos del modelo lneal clásco Suponemos relacón lneal entre las ables Y β + β X β X + ε k k Y Xβ + ε Y χ ' β + ε Supuestos Exogenedad débl E ( ε χ ) E( ε ) Muestras aleatoras E ( ε χ ) E( ε ) E( ε ε ) E( ε ) E( ε ) j j j Momentos cuartos fntos ( ) <, < E( X ) <,..., < E( X ) < < E ε k No multcolnealdad exacta X,..., X n no son lnealmente dependentes Normaldad ε X ~ N Homoscedastcdad ( ε X ) Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 5

6 . Concepto de heteroscedastcdad.. Defncón Dremos que en un modelo exste heteroscedastcdad cuando ( ε ) X ( ε X ) ( ε X ) ( ε X ) ( ε X ) n V En el modelo poblaconal Notas f(y/x5) Homoscedastcdad f(y/x) f(y/x5) Notas f(y/x5) Heteroscedastcdad f(y/x) f(y/x5) REP REP Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 6

7 . Concepto de heteroscedastcdad.. Defncón Qué ocurre con los datos de nuestro ejemplo? ( X 9.6) Una vez conocdo el valor de X, la dspersón de Y es mayor entorno a la meda de X que para valores muy grandes o muy pequeños de X m ( ε X ) λ X Intucón económca: r Colegos con bajo (alto) REP son buenos (malos) y sus alumnos sacan altas (bajas) notas r En los colegos con REP en torno a la meda hay de todo y la dspersón de notas es mayor notas Yˆ X Rato estudante-profesor Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 7

8 . Concepto de heteroscedastcdad.. Defncón Ejemplos económcos donde puede exstr heteroscedastcdad Ventas de la empresa en funcón del tamaño r Las pequeñas empresas venden poco todas, entre las grandes hay más dspersón Vehículos en la famla en funcón de la renta r Las famlas pobres consumen poco todas, entre las rcas hay más dspersón Dvdendos a repartr entre acconstas en funcón del benefco r Las empresas con pocos benefcos tenen poco que repartr, entre las que tenen altos benefcos hay más dspersón En seres temporales tambén ocurre r Desde los 8s hay menos volatldad en las seres macroeconómcas Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 8

9 3. El método MCG 3.. Consecuencas sobre MCO MCO sgue sendo ELIO? β ( X ' X ) X ' Y β + ( X ' X ) X ' ε ( ε X ) V ˆ MCO Parece claro que EL no hay problema Qué ocurre con la nsesgadez? Usando a E ( ˆ β X ) β + ( X ' X ) X ' E( ε X ) β ( ˆ ) ( ) β X X ' X X ' VX ( X ' X ) Pero, sgue sendo óptmo? r Teorema de Gauss-Markov. S un estmador * β cumple a más r Para cualquer otro ELI ~ β A'Y r Se cumple que r Entonces β MCO c, ~ ( c' β ) ( c' ˆ β ) * ya no es óptmo porque es ELI pero no cumple Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 9

10 3. El método MCG 3.. MCG es óptmo Busquemos un estmador óptmo: un ELI que cumpla ( ε X ) V Como V es smétrca y defnda postva, sempre exste P tal que PVP ' I P' P V Pre-multplquemos el modelo orgnal por P Cumple? PY PXβ + Pε * * * * ( ε X ) PVP' I X β + ε Por Gauss-Markov, aplcar MCO al modelo con estrella es óptmo Y ˆ β MCG * * * * ( X ' X ) X ' Y ( X' V X ) X' V Y Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8

11 Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 Dvdr el modelo orgnal por la desvacón típca y aplcar MCO al corregdo Cómo es P? El modelo corregdo será r Observacón : damos más peso a observacones con menor anza (más precsas) Este modelo es homoscedástco MCO da ELIO 3. El método MCG 3.3. Una forma fácl de aplcar MCG ' P P V n V n P PXβ Pε PY + k k X X Y ε β β β ( ) X X ε ε

12 3. El método MCG 3.3. Una forma fácl de aplcar MCG Ejemplo: heteroscedastcdad provocada por agregacón de datos Supongamos que queremos estmar consumo regonal en funcón de renta regonal Y + βx β + ε Los datos son medas de los muncpos de la regón Y y n n ε n u X x Incluso aunque u sea homoscedásco caso que n n para todo Cómo estmamos? MCO al modelo corregdo ( X ) u n ( ε X ) u, ε es heteroscedástco salvo en el n n Y n + β β n X + n ε Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8

13 3. El método MCG 3.4. Dstrbucón del estmador Esperanza y anza ˆ β MCG ( X' V X ) X' ε β + V ( ˆ β X ) β + ( X' V X ) X' V E( ε X ) β E MCG V λ Ω ( ˆ β X ) ( X ' V X ) X ' V ( X ) X ( X' V X ) ( X' V X ) ( X' Ω X ) MCG ε λ Dstrbucón: por smltud a los capítulos estudados para MCO S suponemos normaldad ˆ β MCG X ~ N β (,( X ' V ) ) X S tenemos muestras grandes aunque no supongamos ˆ β X d MCG N β (,( X ' V X ) ) Contrastes F * ( R ˆ β )' ( ( ˆ ) ') ( ˆ MCG r R βmcg R RβMCG r) d Fq, q Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 3

14 4. Métodos para detectar la heteroscedastcdad 4.. Métodos gráfcos Gráfco de los datos con recta de regresón MCO notas Yˆ X Cuadrado de resduos versus ables explcatvas Rato estudante-profesor 4 y y x m E REP x Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 4

15 4. Métodos para detectar la heteroscedastcdad 4.. Métodos estadístcos Contraste de Whte: s hay hetero la anza será funcón de las explcatvas Calcula un estmador de la anza: cuadrado de resduos de MCO en Y β + β X β X + ε k k e Regresa e sobre una constante, las explcatvas, sus cuadrados y los productos cruzados sn que se repta nnguno y obtene R. ( q número de regresores aparte de la constante) e + α j X j + ω j X j + j j j p< j α δ X X + ε jp j p R Contrasta H : homo H a : hetero nr χ q Nuestro ejemplo nr 4*. 8.4 > χ, hetero χ q,α Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 5

16 4. Métodos para detectar la heteroscedastcdad 4.. Métodos estadístcos Contraste de Glesjer: s hetero anza será funcón una able (explcatva) Calcula un estmador de la desvacón típca: valor absoluto de resduos de MCO en Y β + β X β X + ε k k e Regresa e sobre una acón de la able causante de hetero e h + αx α + ε r h ±, ±.5, ± funcones más usuales (crtcable) r Nos quedamos con h * para el que se produzca más rechazo en contraste sgnfcatvdad α Contrastar H : homo H : hetero t * ˆ ( ˆ α α vâr ) t a α En nuestro caso * eˆ.46 > t REP (.49) (95.48) t α,. 5 hetero Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 6

17 4. Métodos para detectar la heteroscedastcdad 4.. Métodos estadístcos Contraste de Goldfeld-Quandt: s hetero funcón monótona de able (explcatva) Reordenamos datos de forma crecente en X Y ˆ ˆ c X Dvdmos la muestra en tres y dejamos c ( /3 crtcable) datos centrales sn utlzar Estmamos anza en ambos extremos y las comparamos H : homo Ha : hetero ˆ ˆ ~ F n, K n K En nuestro caso ˆ ˆ < F38,. 38. homo? r No srve porque la anza no se relacona con REP de forma monótona Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 7

18 5. Solucón a la heteroscedastcdad 5.. El estmador MCGF En las aplcacones práctcas rara vez conoceremos V No podemos aplcar MCG Solucón: estmar V y usarla en las fórmulas de MCG ˆ β MCGF ( X Vˆ ' X ) X ' Vˆ Y Cómo afecta la estmacón de V? La estmamos de forma consstente S conocemos la estructura de la anza: ejemplo ( ε ) χ ' α X 4 Estmamos el modelo orgnal por MCO y obtenemos e 4 Regresamos MCO e sobre X y estmamos α 4 La usamos para corregr el modelo y aplcamos MCO al corregdo (MCGF) Y β χ ' ˆ α Y + β χ ' ˆ α X βk χ ' ˆ α X k + u χ ' ˆ α S pensamos que depende lnealmente de una able: Glesjer Entonces ˆ βmcgf ˆ β MCG vâr( ˆ βmcgf X ) ( ˆ βmcg X ) Los contrastes t * y F * en grandes muestras se pueden aplcar Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 8

19 5. Solucón a la heteroscedastcdad 5.. El estmador MCGF Normalmente no conocemos las estructura de la anza No podremos asegurar que obtenemos estmacones de la anza sean consstentes Nada asegura que MCGF tenda al óptmo (MCG) ˆ βmcgf ˆ β MCG pero vâr( ˆ βmcgf X ) ( ˆ βmcg X ) Podemos tener anzas muy grandes En nuestro ejemplo: usamos Glesjer para estmar MCGF MCO Notas ˆ REP (9.46) (.47) MCGF Notas ˆ REP (9.67) (.48) Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8 9

20 5. Solucón a la heteroscedastcdad 5.. El estmador de Whte Whte propone estmar MCO (ELI y consstente) ( X ' X ) X ' Y ˆ MCO β Pero tenemos que estmar su anza de forma consstente Sabemos que ( ˆ ) ( ' ) ' ( ) ( ' β X X X X X X X X ) MCO ε ( ε X ) n Tenemos que estmar consstentemente sn hacer supuestos sobre la estructura de la anza 4 Estmamos el modelo orgnal por MCO y obtenemos e 4 Susttumos e por En nuestro ejemplo MCO Notas ˆ REP (9.46) (.47) Whte Notas ˆ REP (.36) (.5) Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8

21 6. Qué hemos aprenddo? Heteroscedastcdad: anza no constante MCO ELI y consstente pero no óptmo MCG ELIO Cómo detectar la heteroscedastcdad? Métodos gráfcos Métodos estadístcos: Whte, Glesjer, Goldfeld-Quandt g Cómo resolver heteroscedastcdad? S conocemos estructura de anza: MCGF (ELI) y es asntótcamente óptmo S no conocemos estructura de anza: MCO (ELI) con anza de Whte Máxmo Camacho Econometría I - ADE+D / - Tema 8