LECCIÓN 2 MATEMÁTICA FINANCIERA

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1 LECCIÓN 2 MATEMÁTICA FINANCIERA

2 Recuerda algunos conceptos básicos de fracciones y porcentajes: Las fracciones sirven para representar una parte del todo. Por ejemplo 9 de cada 10 dentistas entrevistados optaron por un chicle sin azúcar diríamos que los dentistas que prefieren un chicle sin azúcar representan o, lo que es lo mismo o 90% Veamos unos ejemplos: En el IES la senda cursan la ESO 254 alumnos de los cuales 122 son chicas. En bachiller son 128 en total y 66 chicas. Qué porcentajes de chicos y chicas hay en la ESO y Bachiller? En la ESO 122/254=0,4803=48,03% de chicas y 51,97% de chicos En Bachiller 66/286=51,56% chicas y 48,44% chicos Varios amigos juegan el mismo número de la lotería. Quique participa con 18, Irma con 6, Luis 12, Juan 6, Máxima 3 y Amparo 9. Si les toca un premio Qué fracción del premio debería corresponderle a cada uno? Qué porcentaje? En total gastan =54. Quique:18/54=1/3=33,3%. Irma y Juan 1/9 =11,1%; Luis 2/9 = 22,2% y Máxima 1/18=5,6% y Amparo 1/6 = 16,6% A los amigos del ejemplo anterior les toca un premio de 270 euros Cuánto le corresponde a cada uno? La fracción como operador Las fracciones como operador de 270 = =90 de 270 = % de 60 = de 60 = 60 = 0,35 60= a a En general de C = C b b Aumentos y disminuciones porcentuales Si a una cantidad le tenemos que aumentar un porcentaje (como el IVA o cualquier otro impuesto) podemos calcular la cantidad final directamente. He comprado 12 latas de refrescos a 0,56 la lata, sin IVA. Cuánto tendré que pagar con IVA ( 21%.) 12 0,56=6,72 el precio de los refrescos Tendré que pagar 6,72+0,21 6,72=(1+0,21) 6,72=1,21 6,72=8,13 Por ejemplo, para aumentar el 15% una cantidad C: cantidad final=c+0,15c=1,15c Si es un descuento o disminución porcentual del 15%: Cantidad final=c-0,15c=0,85c

3 En general: Si el aumento es del r%: Cantidad final = C+ C=(1+ )C Si es una disminución del r% Cantidad final= C C=(1 )C Cantidad final= (índice de variación) (cantidad inicial) Donde el índice de variación i.v. se calcula: i.v.=1 si es una disminución del r% i.v.=1+ si es un aumento del r% Ejemplo: una reparación del coche costó 145. Te pregunta el mecánico con IVA (21%) o sin IVA? Con IVA costará 1,21 145=175,45. Por supuesto, pedimos la factura con IVA que es lo legal Esta fórmula se puede utilizar también si se conoce la cantidad final y queremos saber la cantidad inicial: En una tienda quieren vender una camiseta al público por 5,95. Para hacer la factura necesitan poner el precio sin IVA (21%) 5,95:1,21=4,92 Después de rebajarlo un 15%, un artículo cuesta 51. Cuánto costaba antes de la rebaja? 51:0,85=60 La entrada a la piscina municipal costaba, el año pasado 3 y este año cuesta 3,5. Cuál ha sido el porcentaje de subida? 3,5/3=1,167 lo que supone una subida de 16,7% Porcentajes encadenados Supongamos que un artículo que valía 300 experimenta las siguientes variaciones: primero sube un 20%, luego baja un 25% y finalmente vuelve a subir un 10%. Cuánto valdrá finalmente el artículo? Qué porcentaje de subida o bajada total ha experimentado? 1,1 (0,75 (1,2 300))=0,99 300=297. Ha disminuido un 1% No se suman y restan los porcentajes puesto que cada vez se aplican a cantidades distintas. Simplemente, multiplicamos los índices de variación como en el ejemplo.

4 Observa la siguiente noticia que apareció en el periódico El Confidencial el 18/9/2013 El Gobierno admite que el recibo de la luz aumentó un 71% en la última década El recibo de la luz subió un 63% entre 2003 y 2012, y desde entonces a la fecha actual lo ha hecho en un 8%, de acuerdo con los datos difundidos por el ministro de Industria, José Manuel Soria, como argumento para justificar la reforma eléctrica aprobada por el Consejo de Ministros a mediados de julio y que ahora se tramita en el Parlamento. La subida es más elocuente si se tiene en cuenta que un hogar medio pagaba de luz 360 euros al año y ahora desembolsa 615. La devaluación interna que tanto ha afectado a los salarios no se ha visto compensada desde luego con la fatídica tarifa eléctrica. Leer más: El Gobierno admite que el recibo de la luz aumentó un 71% en la última década - Noticias de Empresas Observamos que si un hogar pagaba 360 en 2003 y suponiendo una subida del 63% hasta 2012, pagaría 1,63 360=586,8 en Si desde 2012 hasta la fecha de publicación (2013) subió un 8%, este hogar pagaría ahora 1,08 586,8=633,74 y esto supondría 1,63 1,08=1,7604 una subida de 76,04%. No hay que creerse todo lo que dicen los periódicos y, mucho menos, lo que dice el gobierno. Otro ejemplo: En una tienda anuncian El día sin IVA que, en general es del 21%. Cuánto deberían cobrarme por un artículo por el que pagaría cualquier otro día (con IVA) 500, sabiendo que yo no soy tonto? La respuesta en Intereses bancarios Al acudir a un banco lo hacemos principalmente por dos motivos. - Ahorrar dinero. Dejamos un depósito (una cantidad de dinero) en el banco y el banco negocia con nuestro dinero y nos paga unos intereses. - Pedir un préstamo: El banco nos presta dinero y nos cobra unos intereses (Debemos devolver más que lo que pedimos) El tanto por ciento anual que paga un banco por depositar en él un dinero se llama rédito y lo representaremos con la letra r. Supongamos que deposito en un banco al 3,5% anual durante tres años. Cuánto dinero tendré al cabo de esos tres años? El primer año obtendré= 1, Como suponemos que no saco nada, el segundo año tendré 1,035 1, =1, Al tercer año: 1, =11087,18

5 En general, si un banco paga el r% anual, un capital C durante un año se transforma en (1+ ) C Si lo dejamos n años, el capital C se transformará en: Normalmente el banco no tarda un año en abonar los intereses, sino que lo hace en intervalos de tiempo distintos (trimestres, meses...) El tiempo que el banco deja transcurrir para que un capital produzca intereses se llama periodo de capitalización. Como el rédito es anual, si los periodos de capitalización son más frecuentes habrá que dividir r entre el número de periodos en un año. Si son meses r/12, si son días r/365, si son trimestres r/4. La fórmula quedará: Por ejemplo, si los s son mensuales: C C donde k es el número de periodos de capitalización en un año y m el número total de periodos que mantenemos el dinero en el banco. C donde C es el capital inicial invertido en el banco y m el número total de meses Supongamos que deposito en un banco al 3,6% anual durante tres años. Cuánto dinero tendré al cabo de esos tres años si los periodos de capitalización son: a) meses; b) trimestres? a) 3,6% anual es 3,6/12 =0,3%=0,003. Nº de meses 12 3=36 Capital final= 10000=11138,68 b) Trimestres. Interés 3,6/4=0,9% Capital final: 1, =11135,1 Tasa anual equivalente. TAE Mientras más pequeño sea el periodo de capitalización más intereses nos abonarán y será más ventajoso para el cliente. Así obtenemos unos intereses un poco mayores que el rédito, que serían los intereses con un único abono en un año. Veamos un ejemplo: si invertimos 100 al 24% anual con mensual de intereses, obtendremos al final del año (teniendo en cuenta que 24% anual supone 2% mensual durante 12 meses): 1, =126,82. He obtenido, de 100, un beneficio de 26,82 lo que supone un 26,82% en lugar del 24%. Diríamos que la tasa anual equivalente o TAE sería en este ejemplo del 26,28%

6 En cuentas de ahorro, llamamos TAE al tanto por ciento de crecimiento total del capital durante un año. Es decir, como su nombre indica tasa anual equivalente porcentaje con el que se obtendría el mismo beneficio en un único al final del año. En préstamos bancarios, la TAE, también es superior al rédito declarado. Al calcularla se incluyen los s fijos (comisiones, gastos) que cobra el banco para conceder el préstamo. Cálculo de la TAE (x) con s mensuales = En el caso de trimestres, días. Se halla x de forma análoga. Veamos un ejemplo: Calcula la T. A. E. que corresponde aun rédito anual del 12% con s mensuales de intereses. Al 12% anual le corresponde el 12/12 = 1% mensual. Cada mes, el capital se multiplica por 1,01; por tanto, en un año se multiplicará por 1, ,01 12 = 1, ,1268 = 1 + 0,1268. Luego la T. A. E será 12,68% Amortización de préstamos Cuando pedimos un préstamo a una entidad financiera, este dinero lo tendremos que devolver con unos intereses. Es lo mismo que en el caso de los depósitos bancarios pero al revés. Ahora el banco nos cede el dinero a nosotros. Por ejemplo, si el banco nos presta con un interés del 18% que tenemos que devolver en un solo al cabo de un año. Tendremos que devolver 1, =11800 Pero esto no es lo habitual. Normalmente se va pagando en cómodos plazos (cada mes, cada trimestre ) a poder ser siempre la misma cantidad. Esto se denomina amortizar el préstamo. La parte ya pagada se dice que es cantidad amortizada. Para aclarar las características del préstamo es habitual hacer una tabla de amortización como la que veremos en los siguientes ejemplos. Un banco nos presta a devolver en 5 s anuales al 10% de interés anual. Los cuatro primeros s serán de Cuál será el final? nº de antes del intereses pendientes Pago cantidad amortizada pendiente , ,

7 Un banco nos presta al 10% anual. Tenemos que devolver dicho préstamo en un año con cuatro cuotas trimestrales de 2658,18 nº de antes del intereses pendientes Pago cantidad amortizada pendiente , , , ,82 189, , , , ,44 128, , , , ,34 64, , ,35-0,01 Cálculo del en un préstamo con s constantes Recibimos en préstamo una cantidad C con un interés anual i (expresado en decimal, por ejemplo 13% sería i=0,13). Si queremos devolverlo en n s anuales, la fórmula para calcular dichas anualidades será: a= Esta fórmula es también válida para otros periodos de capitalización que no sean años (meses, trimestres ). Entonces i será el interés del periodo: i=r/k siendo r el interés anual y k el nº de periodos en un año, es decir dividimos entre 12 para meses, entre 4 para trimestres, entre 365 para días. n es el número total de s Queremos amortizar un préstamo de 5000 al 12% anual en dos años Cuál será la mensualidad que tendremos que pagar? i=0,01, n=24 a= =235,37 Realiza una tabla de amortización para amortizar un préstamo de al 16% con s trimestrales en dos años. Tendré que realizar 8 s (n=8). El interés trimestral será del 16/4% i=0,04. Aplicando la fórmula de s constantes a=3713,2

8 nº de antes del intereses pendientes cantidad amortizada pendiente , , , , , ,80 891, , , , ,08 778, , , , ,49 661, , , , ,51 539, , , , ,46 412, , , , ,44 280, , , , ,38 142, , ,38 0,00