INTERVALOS ENTORNOS FUNCIONES

Transcripción

1 INTERVALOS DE EXTREMOS a y b INTERVALO ABIERTO (a,b) =, es decir el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, excluyendo a a y b. ( ) recta real R a b INTERVALO CERRADO, luego son los números reales comprendidos entre a y b, incluyendo a a y b. a b [ ] R INTERVALOS SEMIABIERTOS Son aquellos intervalos en que uno de los extremos pertenece al conjunto y el otro no. 1

2 INTERVALOS INFINITOS Si a R es un punto de la recta real, denominaremos intervalos infinitos a los siguientes subconjuntos de R que tienen extremo inferior y no superior o carecen de extremo inferior y tienen extremo superior. Por ejemplo a ( R Observación 1: un intervalo infinito nunca es cerrado. Observación 2: al propio conjunto R es posible pensarlo como un intervalo infinito que carece de ambos extremos. R = (-, ) = {x R} R Ejemplos: (-,3/4), {x R/-3 x+3<5/4}, [0, 5] 2

3 ENTORNO DE UN PUNTO a Y RADIO r E(a,r) = (a-r, a+r) = Ejemplo: (2,1/2)= (1/2, 5/2) ENTORNO REDUCIDO DE UN PUNTO a Y RADIO r E (a,r) = E(a,r) {a} = (a-r, a+r) {a} =(a-r,a) (a,a+r) = {x R/ a-r < x < a a < x < a+r} Ejemplo: E (3;0,5) = E(3;0,5) {3}= (2,5;3) (3;3,5) 3

4 FUNCIONES: Definición Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un elemento y = f(x) de otro conjunto B. Entonces: Una función f / f : A B queda definida por: Un conjunto A llamado dominio Dom (f) = A Un conjunto B llamado codominio Codom (f) = B Una regla o ley que asocia a cada elemento de A un único elemento de B. Im (f) B Una función puede darse de diversas formas: por tablas, por gráficos, como un conjunto de pares ordenados, por fórmulas. El Dom (f) se representa sobre el eje x abscisa y Codom (f) sobre el eje y ordenada y cada par (x ; y) mediante el punto de coordenadas x e y. 4

5 FUNCIONES: Análisis Ceros o raíces reales de una función: son los x Dom (f) tales que f(x) = 0; los ceros de f se obtienen analíticamente resolviendo la ecuación f(x) = 0. Los puntos de la gráfica correspondientes a los ceros son puntos del eje x ya que son de la forma (a ; 0) ; luego, se visualizan como los puntos de intersección de la gráfica con el eje x. El conjunto de positividad de f es C + = { x Dom (f) / f(x) > 0 }. C + se obtiene analíticamente resolviendo la inecuación f(x) > 0. El conjunto de negatividad de f es C - = { x Dom (f) / f(x) < 0 }. C - se obtiene analíticamente resolviendo la inecuación f(x) < 0. Una función es continua si su gráfico no presenta ninguna interrupción dentro de su dominio A. Una función que presenta un corte o salto se dice que es discontinua. Ejemplos: f(x)= x 2 g(x)=1/x 5

6 FUNCIONES: Análisis (cont.) Dos funciones f: A B y g: C D son iguales entonces A = C, B = D y f = g (tienen el mismo dominio, el mismo codominio y la misma ley de correspondencia). Funciones crecientes Una f: A B es creciente en un intervalo de su dominio si se cumple que para cualquier par de valores a y b del mismo es Funciones decrecientes Una f: A B es decreciente en un intervalo de su dominio si se cumple que para cualquier par de valores a y b del mismo es 6

7 FUNCIONES: Análisis (cont.) Máximo relativo f: A B tiene un máximo relativo o local en x = x 0, si existe un intervalo (a; b) A que contiene a x 0 y tal que f(x 0 ) f(x), para todo x (a; b) en x = x 0 Mínimo relativo f: A B tiene un mínimo relativo o local en x = x 0, si existe un intervalo (a; b) A que contiene a x 0 y tal que f(x 0 ) f(x) para todo x (a; b) Recursos geométricos f presenta un mínimo relativo en x = x 0 7

8 FUNCIÓN POLINÓMICA Se llama FUNCIÓN POLINÓMICA de grado n a una función f : R R / f (x) = a 0 + a 1. x + a 2. x a n. x n con a n 0, n N 0 y a 0, a 1.. a n R La expresión del segundo miembro se llama polinomio en x. a n se lo llama coeficiente principal y a a 0 término independiente. El número n es el grado del polinomio. El polinomio x + 0 x x 3 + con todos sus coeficientes nulos, se llama POLINOMIO NULO y no tiene grado. Todas las funciones polinómicas tienen dominio R. Todas las funciones polinómicas son funciones continuas. 8

9 FUNCIÓN POLINÓMICA: Casos particulares f(x) = a 0 Función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que corta al eje y en a 0. Es frecuente escribirla y = k o y = b f(x) = a 0 + a 1. x, con a 1 0 Función lineal, cuya gráfica es una recta de pendiente a 1 y ordenada al origen a 0. Como sabemos es usual escribirla: y = mx + b o y = ax + b, donde m = a = a 1 y b = a 0 f(x) = a 0 + a 1. x + a 2. x 2, con a 2 0 Función cuadrática, cuya gráfica es una parábola de eje vertical y en la cual los coeficientes a, b y c de la función cuadrática son respectivamente a 2, a 1 y a 0. f(x) = a n. x n, con a n 0 es llamada Función potencial. 9

10 FUNCIÓN POLINÓMICA : Casos particulares (cont.) Definición 1: Una función se dice par si cumple que para todo x del dominio f(-x) = f(x). Como los puntos (x; y) y (-x; y) son simétricos con respecto al eje y, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. Toda función potencial de grado par es una función par. Definición 2: Una función se dice impar si cumple que para todo x del dominio f(-x) = -f(x). Como los puntos (x ; y) y (-x ; -y) son simétricos con respecto al origen, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas Toda función potencial de grado impar es una función impar. El gráfico de una función polinómica cualquiera no es predecible para n 3. 10

11 FUNCIÓN POLINÓMICA : Casos particulares (cont.) Una función polinómica de grado n tiene n raíces (que son tanto reales; como imaginarias; como complejas propiamente dichas, es decir de componentes real e imaginaria) y se puede expresar: f(x) = a n. (x x n ). (x x n-1 ) (x x 1 ) (x x 0 ) En la expresión anterior, llamada expresión factorizada, puede haber raíces iguales. El número de raíces complejas de una función polinómica siempre es par. Luego toda función polinómica de grado impar, tiene al menos una raíz real. Ejemplos: f (x) = 5. (x 1). (x 1). (x 1). (x + 8) g(x) = (-2)(x 2 +1)(x+3) 11