60 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS

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1 60 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los números complejos a) x -x+=0 (Soluc ) b) x +=0 (Soluc ) c) x -x+=0 (Soluc ) d) x +x+=0 (Soluc ) e) x -6x +x-6=0 (Soluc, ) ( ) f) x +=0 Soluc -, ± g) x -=0 (Soluc, ) h) x -x -x +0x-=0 (Soluc -,, ) Ejerccos lbro pág. 9 ; pág. 6 y 5 Forma bnómca de un complejo. Completar (obsérvese el prmer ejemplo) COMPLEJO z PARTE REAL Re(z) PARTE IMAGINARIA Im(z) OPUESTO -z CONJUGADO z z=+ Re(z)= Im(z)= -z=-- z z=- z=+ z= z= z=- z=. Dados los complejos z =+, z =-+ y z =-5, hallar a) z +z = (Soluc +7) b) z +z = (Soluc -) c) z -z = (Soluc -) d) z -z = (Soluc -9) e) z +z = (Soluc +) f) z -z = (Soluc 7-6) g) z -z +z = (Soluc -+) h) z + z (Soluc -) ) z z (Soluc -0) j) z z (Soluc -9). Calcular x e y para que (+x)+(y+)=7+ (Soluc x=, y=5) Ejerccos lbro pág. 6 6 y 5. Calcular a) (+5) (+)= (Soluc -+) b) (+) (+)= (Soluc -+) c) (+) (--)= (Soluc -) d) (-5) = (Soluc 5+) e) (+5) (-5)= (Soluc 9) f) (+) (-)= (Soluc ) g) (5+) (-)= (Soluc -) h) (+5) = (Soluc -6+0) ) (+) (-)= (Soluc 0) j) (--5) (-+5)= (Soluc 9)

2 k) (+) = (Soluc -9+6) l) () (-)= (Soluc 9) m) (+) = (Soluc -5+) n) (6-) = (Soluc 7-6) o) (+) (-)= (Soluc 5+) p) (-) = (Soluc 6+) q) (+) (-)= (Soluc 5-) r) (5+) (5-)= (Soluc 6) s) (+) (+)-(+) (-)= (Soluc 5) Ejerccos lbro pág Cómo es sempre el producto de dos complejos conjugados? Razonar la respuesta. (Soluc IR + ) 7. Dados los complejos del ejercco, hallar a) z z = (Soluc -+5) b) z z = (Soluc 9-) c) z -z = (Soluc -9) d) z (z +z )= (Soluc 5+) e) z -z z = (Soluc -6-0) f) (z ) = (Soluc -5+) g) (z -z ) = (Soluc -6) h) z z (Soluc ) ) z z (Soluc 6) j) z (z -z )= (Soluc --9) k) (z +z ) = (Soluc -7+6) l) z z z (Soluc 75- m) z z. Dados los complejos -m y -n hallar m y n para que su producto sea +. (Soluc m =- y n =; m =/ y n =-) 9. Resolver la ecuacón (a+) (b-)=7- (Soluc a = y b =; a =-/ y n =-) 0. Calcular a) Sol b) 5 c) Sol d) Sol 5 5 Sol - e) 5 Sol -5 f) 0 0 Sol 9 7 g) h) Sol - Sol ) - Sol j) k) Sol l) 5 Sol - Sol (5)( ) m) n) o) p) ( ) (5 ) ( )() q) r) s) a a Sol Sol Sol 5 5 Sol Sol Sol 7 Sol t) a b Sol b a Ejerccos lbro pág. 5 ; pág. 6, y 5

3 . Calcular el nverso de cada uno de los sguentes complejos a) Sol b) + Sol c) + d) - Sol Sol e) -+ Sol 5 5 f) Sol -. Calcular las sguentes potencas sucesvas de a) = (Soluc ) b) 77 = (Soluc ) c) 5 = (Soluc ) d) 7 = (Soluc -) e) = (Soluc ) f) (Soluc -) g) (Soluc -) h) (Soluc ) ) - = (Soluc ) j) 5 (Soluc -) k) -6 = (Soluc -) l) 5 = (Soluc ) m) 65 = (Soluc -) n) - = (Soluc -) o) -57 = (Soluc ) Ejerccos lbro pág. 9 ; pág. 6 (potencas sucesvas de ). Calcular las sguentes operacones combnadas en forma bnómca a) (+) = (Soluc +) b) (+) = (Soluc -+) c) (-) (Soluc -6-9) d) - (Soluc ) e) 7 (Soluc -) f) 5 (Soluc +) g) ( ) ( ) (Soluc -) 5 h) ( )( ) ( ) 5 7 Soluc 5 5 j) k) l) m) n) o) ( ) ( ) Soluc 5 5 ( )( ) ( ) 7 ( ) (Soluc ) 00 5( ) 5 (Soluc -5-) (5) ( ) ( )( ) 7 ( )( ) ( ) 0 5 ( ) ( )( ) Soluc 5 5 Soluc 5 7 Soluc 6 5 ) ( )( ) ( ) Soluc 9. Cuánto ha de valer m para que el complejo z=(m-) (+) sea un número real? E magnaro puro? De qué números se trata? (Soluc m= o m=-; z=0 y z=-0, respectvamente) 5. Determnar x para que el producto z=(-5) (+x) sea a) Un número real. Qué número resulta? (Soluc x=5/; z=7/) b) Un número magnaro puro. Qué complejo z se obtene? (Soluc x=-6/5; z=-7/5) Ejerccos lbro pág. 6 y

4 6. a) Hallar x con la condcón de que (x-) sea un número magnaro puro. (Soluc x=) b) Ídem con (x-) (Soluc x=/) c) Ídem con (+x) (Soluc x=) Ejerccos lbro pág Hallar x e y de modo que x y (Soluc x=-6; y=7) Ejerccos lbro pág. 6 7 y 0 x. Hallar x para que el cocente sea un número magnaro puro. De qué número magnaro se trata? (Soluc x=-; ) k 9. Determnar k para que el cocente z sea k a) Un número real. Qué número resulta? Sol k = ± ; z = ± b) Un número magnaro puro. Qué número es? Sol k = 0 ; z = Ejerccos lbro pág Demostrar la sguente gualdad, obtenda de manera fortuta por el nsgne flósofo y matemátco alemán Gottfred Lebnz (66-76) 6. Hallar dos complejos de los que sabemos que su dferenca es un número real, su suma tene la parte real gual a y su producto es -7+ (Soluc + y -+). Determnar los valores de a y b para que el complejo z=a+b satsfaga la ecuacón z z Ejercco lbro pág. 6 Soluc z, z, z 0, z. Comprobar que los números complejos verfcan la ecuacón x -x+=0. Hallar una ecuacón polnómca cuyas raíces sean a) (Soluc x -x+0=0) b) 5 (Soluc x -0x+9=0) c) + y +5 (Soluc x -(5+6)x++=0) d) (Soluc x +=0) Ejerccos lbro pág TEORÍA Demostrar que s las raíces complejas de Ax +Bx+C=0 son ab, entonces A[(x-a) +b ]=Ax +Bx+C (Ayuda Desarrollar el membro zquerdo y aplcar las relacones de Cardano-Veta)

5 Forma polar de un complejo 6. Representar los sguentes complejos, sus opuestos y sus conjugados a) z =+ b) z =- c) z =-+ d) z =--5 e) z 5 =7 f) z 6 =-7 g) h) - Ejerccos lbro pág. 9 y ; pág Pasar a forma polar los sguentes complejos (se recomenda representarlos prevamente, para así elegr correctamente su argumento) a) (Soluc 60º) b) (Soluc 6 00º) c) Soluc º ' d) (Soluc 5º) e) (Soluc 0º) f) + Soluc 5º g) - Soluc 5º h) -- Soluc 5º ) (Soluc 90º) j) - (Soluc 70º) k) + (Soluc 5 5º ) l) - (Soluc 5 06º) m) -+ (Soluc 5 6º 5 ) n) -5+ (Soluc º 7 ) o) - (Soluc 70º) p) (Soluc 0º) q) - (Soluc 0º) r) + Soluc º ' s) --5 Soluc 9 º' Ejerccos lbro pág. 5 ; pág. 6. a) Hallar m para que el número complejo m+ tenga módulo 5. Justfcar gráfcamente la solucón. (Soluc m=) b) Hallar m para que su argumento sea 60º (Soluc m=) Ejerccos lbro pág. 6, y 9 9. Hallar un número complejo tal que z = e Im(z)=-. Justfcar gráfcamente la solucón. Soluc z 5, z Hallar un número complejo del º cuadrante que tene por módulo y tal que Re(z)=-. Expresarlo en Soluc - forma polar. Justfcar gráfcamente la solucón. 0º. Hallar un complejo de argumento 5º tal que sumado a + dé un complejo de módulo 5 (Soluc +). Encontrar un complejo tal que sumándolo con / dé otro complejo de módulo y argumento 60º Ejerccos lbro pág. 6 Soluc. Pasar a forma bnómca a) 0º Soluc b) 90º c) 0º d) 5 π e) π/ f) 90º g) 0º Soluc

6 h) 60º Soluc ) 6 5º Soluc j) 0º Soluc k) 50º Soluc l) 60º Soluc m) 50º (Soluc,99+,9) n) 0º (Soluc -) o) 0º Soluc Ejerccos lbro pág. 5 ; pág Hallar los números complejos, en forma polar y bnómca, que corresponden a los vértces de estos hexágonos a) b) z z z z (Soluc a) z = 0º=; z =-z ; z = 60º=+; z 6= z ; z 5=-z ; z =-z 6 b) z = 0º=+; z =-z ; z 6= z ; z =-z 6; z = 90º=; z 5=-z ) 5. Determnar el valor de a para que el complejo z=(-6) (-a) sea a) Un número real. De qué número se trata? (Sol a=-; 0) b) Un número magnaro puro. De qué número se trata? (Sol a=; -5) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del er y er cuadrantes. De qué número se trata? (Sol a=6; -0-0) m 6. Determnar el valor de m para que el complejo z 6 sea a) Un número real. Qué número es? (Soluc m=/; /) b) Imagnaro puro. Cuál en concreto? (Soluc m=-/; /) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del º y º cuadrantes. (Soluc m=; -) 7. Determnar el valor de a para que el complejo z=(+) (-+a) sea a) Un número real. (Soluc a=) b) Un número magnaro puro. (Soluc a=-/) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del er y er cuadrantes. (Soluc a=-0) Ejerccos lbro pág. 6 6 y 7. a) Dado z= 5º, hallar z en polar. (Soluc 5º) b) Dado z= 0º, hallar z c) S z= 0º, hallar su conjugado y su opuesto. d) Hallar un número complejo y su opuesto sabendo que su conjugado es z 70º

7 9. Representar las sguentes regones del plano complejo a) Im(z)=- (Sol recta horzontal) b) Re(z)=Im(z) (Sol bsectrz del er cuadrante) c) -<Re(z) (Sol banda vertcal) d) Im(z)< (Sol semplano) e) z =5 (Sol crcunferenca) f) z < (Sol regón crcular) g) - z < (Sol anllo) h) Arg(z)=0º (Sol recta) ) Re(z)=- (Sol recta vertcal) j) z k) Arg(z)=90º 0. TEORÍA a) Demostrar que z z z b) S z=r, qué relacón tenen con z los números r +0º y r 60º -? c) El producto de dos complejos magnaros, puede ser real? Poner un ejemplo. d) Qué relacón exste entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? e) Qué condcón debe cumplr un número complejo z para que Producto y cocente en forma polar z (Soluc Su módulo tene que ser ) z. a) Dados los números complejos 0º y 5 60º, comprobar que el producto en forma polar y en forma bnómca dan el msmo complejo. (Soluc 5) b) Ídem con y - Soluc º. Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca a) 5º 5º Soluc 660º b) 50º 5º Soluc 95º -,59, c) º 6º º Soluc 690º 6 d) º 7º º Soluc 0º e) 06º 6º Soluc 5º f) 9 7º 97º Soluc 00º g) ( 0º ) Soluc 0º h) º 6º º Soluc 0,79,7 5º ) º 7º º Soluc 0,7 0,0 5º Ejerccos lbro pág. 55 ; pág El complejo de argumento 0º y módulo es el producto de dos complejos; uno de ellos tene de módulo Soluc y argumento 50º. Escrbr en forma bnómca el otro complejo.. Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca a) 5º 5º Soluc 0,9 0, 0º 70º b) ( ) ( ) 5º Soluc 0º -5º c) ( )( )( ) Soluc 75º,6 5,6 5. Hallar el valor de α para que el producto π/ α sea a) Un número real postvo. (Soluc α=π/)

8 b) Un número real negatvo. (Soluc α=π/) 6. Hallar el valor de α para que el cocente 5 π α sea a) Un número real postvo. (Soluc α=π) b) Un número real negatvo. (Soluc α=0) c) Un número magnaro puro con su parte magnara postva. (Soluc α=π/) d) Un número magnaro puro con su parte magnara negatva. (Soluc α=π/) e) stuado en la bsectrz del º cuadrante 7. Sn necesdad de efectuar el producto en bnómca, hallar cuánto ha de valer m para que el complejo z=(m-) (+) tenga módulo 0 (Soluc m=). Sn necesdad de efectuar el cocente, determnar el valor de a para que el módulo del complejo sea (Soluc a=) a z 9. Hallar dos números complejos sabendo que su producto es - y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es la undad. (Ayuda utlzar la forma polar) (Soluc z = 0º y z = 60º ) 50. Hallar dos números complejos sabendo que su producto es y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es Soluc z 0º y z 0º Ejerccos lbro pág. 6 9, 0 y 5. Interpretar geométrcamente el resultado de multplcar el complejo z=a+b=r α por la undad magnara. (Soluc Se trata de una rotacón de 90º en el plano complejo) 5. Calcular cos 75º y sen 75º medante el producto 0º 5º Ejercco lbro pág. 6 Soluc cos 75º 6 ; sen 75º 6 Potencas en forma polar Ejerccos lbro pág. 55 (sencllos) 5. Calcular, aplcando el método más apropado (es decr, operando en polar o en bnómca) en cada caso; dar el resultado en forma bnómca a) (+) (Soluc ) b) (-) (Soluc -) c) (+) (Soluc -+) d) (+) (Soluc -6+9) e) (-) (Soluc -) f) (-+) 5 (Soluc +) g) h) ( ) ( ) Soluc 7 7 Soluc 6 k) ( ) (Soluc 096) l) (Soluc -) 7 7 m) ( ) (Soluc -5) n) ( ) Soluc 5 o) ( ) p) Soluc 6 6 (Soluc 7) q) (-+) 0 (Soluc 5 ) ) ( + - ) (Soluc --) j) (+) 0 (Soluc -0) r) ( ) ( ) Soluc

9 s) ) ( Soluc t) ) ( Soluc 0 0 u) ) ( Soluc v) (+) 5 (Soluc --) w) (+) x) (+ 5 ) (Soluc +5) y) (+) 5 (Soluc ) z) 6 ) ( Soluc 0º ) ( ( ) ) Soluc ) ) ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ) ) Ejercco lbro pág. 55 Soluc Soluc 0º 5º Soluc = 0º Soluc = (Soluc -) 0º 5. Dados los complejos z =, z = y z =+, calcular las sguentes expresones, dando el resultado en bnómca a) z z b) z z c) (z ) d) z Sol a) ; b)( ) ( ); c) ; d) z 55. Dado el complejo z, calcular z 5 z (Soluc -6) 56. a) Aplcando la fórmula de De Movre, hallar sen α y cos α. Comprobar las expresones obtendas susttuyendo valores apropados de α (p.ej. α=0º) (Soluc sen α=sen α-sen α; cos α=cos α-cos α) b) Ídem para sen α y cos α c) Ídem para las ya conocdas sen α y cos α Raíces de un nº complejo 57. Calcular las sguentes raíces (dando el resultado en bnómca en aquellos apartados marcados con (*)), y representarlas en el plano complejo a) b) Soluc,5º; 0,5º; 9,5º;,5º Soluc 05º; 5º; 5º (*) c) d) Soluc 60º; 50º; 0º; 0º Soluc 5º; 65º; 5º (*) e) Soluc ; Abraham De Movre (667-75), matemátco francés. Como dato curoso, parece ser que predjo exactamente la fecha de su propa muerte se do cuenta de que cada día dormía 5 mnutos más que el día anteror; a partr de ahí, conjeturó que el descanso eterno le llegaría el día que durmera durante horas. Ese día acago, calculado por él msmo, fue el 7 de novembre de 75.

10 (*) f) Soluc ; 0,97 0,6; 0,6 0,97 (*) g) Soluc ; h) Soluc 0,9 95º ; 0,9 5º; 0,9 5º (*) ) Soluc ; (*) j) Soluc (*) k) Soluc ; (*) l) Soluc ; ; ; m) Soluc (*) n) o) (*) p) 6 Soluc - ; 00º ; 0º; 0º Soluc,75º;,75º;,75º; 0,75º Soluc q) 5 Soluc ; (*) r) (*) s) 0º ; 0º; 0º 5º; º Soluc ; ; ; (*) t) (*) u) (*) v) (*) w) 6 x) y) 6 z) 7 α) 6 79 β) 60º (*) ) Soluc ; ; ; 6 6 (*) ) Ejerccos lbro pág. 57 y 7; pág. 6 7,, 9, 0 y 5. TEORÍA a) El número + es la raíz cuarta de un certo complejo z; hallar las otras tres raíces. b) Pueden ser +, -+, -- y - las raíces cuartas de un complejo? Justfcar la respuesta.

11 c) Pueden ser º, 00º, 7º, º y 6º las raíces de un complejo? De cuál? d) El complejo 0º es vértce de un pentágono regular. Hallar los otros vértces y el número complejo cuyas raíces quntas son esos vértces. e) Una de las raíces cúbcas de un número complejo z es +. Hallar z y las otras raíces cúbcas. 59. a) Hallar las raíces cúbcas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc ; ; b) Hallar las raíces cuartas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc ; c) Hallar las raíces quntas de la undad en forma polar, y dbujarlas. Soluc ; 0º ; 7º; º 6º; º d) Hallar las raíces sextas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. Soluc ; 60. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los complejos. Dbujar los afjos de las raíces a) x +=0 (Soluc -, ) b) x -6=0 (Soluc, ) c) x +6=0 d) x +=0 Soluc Ejerccos lbro pág. 57 y ; pág. 6 y 6