PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Transcripción

1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Pablo Torres Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniera y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario Unidad 2: Probabilidad

2 INTRODUCCIÓN Al lanzar un dado muchas veces veremos que la frecuencia relativa de cada cara es 1 6. Supongamos que se pretende hacer una inferencia con respecto al equilibrio del dado. La población teórica de interés consta del conjunto de números que se obtendría lanzando el dado una y otra vez, ad infinitum. Si el dado fuera equilibrado todas las frecuencias relativas serían 1 6. Planteamos la hipótesis de que el dado es perfecto. Tomamos una muestra de 10 lanzamientos y obtenemos todos números unos. Concluimos que nuestra hipótesis es falsa, i.e. que el dado no es equilibrado. No es imposible obtener 10 unos en 10 lanzamientos, pero es un hecho poco probable, al menos intuitivamente.

3 MODELO PROBABILÍSTICO Definición: Un experimento es el proceso mediante el cual se lleva a cabo una observación. Los posibles resultados de los experimentos son los eventos. Ejemplo 1: Algunos eventos relacionados con el lanzamiento de un dado: E i : Observación del número i, con i = 1,...,6. A: Observación de un número impar. B: Observación de un número mayor a 4. C: Observación de un 4 o un 5. A es un evento compuesto, ya que puede descomponerse en los eventos E 1, E 3 y E 5. Lo mismo ocurre con B y C. En cambio, E i es un evento simple, para i = 1...,6. Resultados posibles {1,2,3,4,5,6}. Cada elemento del conjunto de resultados posibles se denomina punto muestral.

4 MODELO PROBABILÍSTICO Definición: Un evento simple es aquel que no se puede descomponer. A cada evento simple le corresponde un único punto muestral. El espacio muestral asociado a un experimento es el conjunto de puntos muestrales posibles. En el ejemplo 1 tenemos el espacio muestral asociado S = {E 1,E 2,E 3,E 4,E 5,E 6 } espacio muestral finito. Ejemplo 2: El experimento consiste en contar la cantidad de bacterias en una porción determinada de cierto alimento. S = {0,1,2,...} = N 0 espacio muestral infinito numerable. Definición: Un espacio muestral discreto es aquel que posee un número finito o infinito numerable de puntos muestrales.

5 MODELO PROBABILÍSTICO Observación: En el ejemplo 1 los eventos {E 1 } y {E 2 } son mutuamente excluyentes. Además, A = {E 1,E 3,E 5 }. Un evento simple E i se incluye en un evento A si A ocurre siempre que ocurre E i. Definición: Un evento en un espacio muestral discreto S es una colección de puntos muestrales, i.e. un subconjunto de S. Observación: Sea S un espacio muestral asociado a un experimento ε. Si se realiza el experimento ε k veces, el espacio muestral asociado es S S S = S k.

6 MODELO PROBABILÍSTICO Se puede construir un modelo probabilístico de un experimento con un espacio muestral S, asignando una probabilidad numérica a cada evento simple, de forma tal que sea consistente con la interpretación de frecuencia relativa de la probabilidad. Al analizar el concepto de frecuencia relativa observamos lo siguiente: 1 La frecuencia relativa de cuelquier evento es no negativa. 2 La frecuencia relativa de S es 1. 3 Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la frecuencia relativa de su unión es la suma de sus frecuencias relativas.

7 MODELO PROBABILÍSTICO Supongamos que S es un espacio muestral asociado a un experimento ε. Para cada evento A de S asignamos un número P(A), denominado probabilidad de A, de tal manera que se cumplan los siguientes axiomas: 1 P(A) 0. 2 P(S) = 1. 3 Si A 1,A 2,... forman una sucesión de eventos de S mutuamente excluyentes dos a dos, entonces. ( ) P A i = i=1 i=1 P(A i )

8 MODELO PROBABILÍSTICO Ejemplo 3: Cuando X juega al tenis contra Y, las probabilidades de que gane X son de dos a uno. Supongamos que juegan dos partidos, cuál es la probabilidad de que Y gane al menos un partido? El experimento consiste en observar el ganador de cada uno de dos partidos (no hay empate). Notemos XY al evento que indica que X ganó el primer partido e Y el segundo. El espacio muestral del experimento consta de cuatro puntos muestrales: E 1 : XX, E 2 : XY, E 3 : YX, E 4 : YY. Se asignan las probabilidades a cada evento simple de la siguiente forma (más adelante justificaremos): P(XX) = 4 9, P(XY) = 2 9, P(YX) = 2 9, P(YY) = 1 9. A: Y gana al menos un partido. P(A) = 5 9.

9 MODELO PROBABILÍSTICO Definición: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento ε, tal que S es finito con n puntos muestrales. La distribución discreta o uniforme es aquella en la cual P(E i ) = 1, i = 1,...,n. n A la distribución uniforme también se la llama modelo igualmente probable o equiprobable. Para un evento A formado por r puntos muestrales se tiene P(A) = r n. En general, P(A) = cant. casos favorables cant. casos totales.

10 MODELO PROBABILÍSTICO Ejemplo 3: Consideremos el problema de elegir dos solicitantes de empleo de un grupo de cinco, los cuales difieren en grado de capacidad: el 1 es el mejor, luego el 2 y así sucesivamente. El seleccionador desconoce estas calificaciones. Definamos los eventos A: El seleccionador elige el mejor y uno de los dos peores. B: El seleccionador elige al menos uno de los dos mejores. Determinar las probabilidades de cada uno de estos eventos. El experimento consiste en seleccionar arbitrariamente dos solicitantes entre cinco. Consideramos los siguientes ( 5 2) = 10 eventos simples, donde {i,j} denota la selección de los candidatos i y j. E 1 = {1,2}, E 2 = {1,3}, E 3 = {1,4}, E 4 = {1,5}, E 5 = {2,3}, E 6 = {2,4}, E 7 = {2,5}, E 8 = {3,4}, E 9 = {3,5}, E 10 = {4,5}.

11 MODELO PROBABILÍSTICO Dado que la selección es aleatoria asignamos a cada par la misma probabilidad de ser seleccionado P(E i ) = 10 1, i = 1,...,10. P(A) = 1 5. P(B) = 7 10.

12 MÉTODO DE LOS PUNTOS MUESTRALES 1 Definir el experimento. 2 Establecer todos los eventos simples. Esto define el espacio muestral S. 3 Asignar probabilidades razonables a los puntos muestrales de S, asegurando que P(E i ) 0 y P(S) = P(E i ) = 1. 4 Definir el evento de interés A como unión de puntos muestrales. 5 Calcular P(A) como suma de las probabilidades de los puntos muestrales pertenecientes a A.

13 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA DE EVENTOS Ejemplo 4: Se lanza un dado perfecto dos veces y se observa el resultado. Sean los eventos: A: se observa un 1 en el primer lanzamiento. B: se observa un número impar en el primer lanzamiento. C: se observa un 2 en el segundo lanzamiento. Notemos que podemos suponer que el resultado del segundo lanzamiento es independiente del resultado del primer lanzamiento. Por otro lado, la probabilidad de que el resultado en el primer lanzamiento sea 1 es mayor si sabemos que en el primer lanzamiento el resultado es impar que si no tenemos ninguna información previa sobre el primer lanzamiento.

14 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA DE EVENTOS Definición: La probabilidad condicional de un evento A suponiendo que ocurrió B, es igual a P(A B) P(A B) =, P(B) siempre que P(B) > 0. Definición: Se dice que dos eventos A y B son independientes si P(A B) = P(A).P(B).

15 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA DE EVENTOS Ejemplo 5: Un juez clasificará tres marcas de café X, Y y Z de acuerdo a su sabor. Consideremos los siguientes eventos: A: prefiere la marca X a la Y. B: considera que la marca X tiene el mejor sabor. C: decide que el sabor de X es el segundo mejor. D: decide que el sabor de X es el tercero mejor. Supongamos que el juez califica las marcas al azar. el evento A es independiente de los eventos B, C y D?

16 LEYES DE LA PROBABILIDAD TEOREMA (LEY MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD) La probabilidad de la intersección de dos eventos A y B es si P(A),P(B) 0. P(A B) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A), Observación: Generalización de la Ley multiplicativa: P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 ).P(A 2 A 1 ).P(A 3 A 1 A 2 )...P(A k A 1 A 2 A k 1 ). TEOREMA (LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD) La probabilidad de la unión de dos eventos A y B es P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). PROPOSICIÓN Si A es un evento entonces P(A) = 1 P(A).

17 LEYES DE LA PROBABILIDAD Ejemplo 6: En una ciudad el 45% de la población es de derecha y el 55% es de izquierda. Entre los de derecha, el 60% está a favor de una medida gubernamental y entre los de izquierda, el 30% está a favor de dicha medida. Los restantes están en contra. Si se elige una persona de la población al azar. Cuál es la probabilidad de que se encuentre a favor de la medida? Consideremos los siguientes eventos: F: la perona elegida está a favor de la medida. D: la persona elegida es de derecha. I: la persona elegida es de izquierda. P(F)? P(F) = 0, 435.

18 MÉTODO DE LOS PUNTOS MUESTRALES 1 Definir el experimento. 2 Interpretar claramente la naturaleza de los puntos muestrales. 3 Formular una ecuación para el evento de interés A, como una composición de eventos mediante uniones, intersecciones y complementos. 4 Aplicar las leyes multiplicativa y aditiva de la probabilidad en la ecuación del paso 3 para calcular P(A).

19 LEY DE LA PROBABILIDAD TOTAL TEOREMA Si {B i } k i=1 es una partición de S, tal que P(B i) > 0, i = 1,...,k, entonces para cualquier evento A resulta P(A) = TEOREMA (REGLA DE BAYES) k i=1 P(A B i )P(B i ). Si {B i } k i=1 es una partición de S, tal que P(B i) > 0, i = 1,...,k, entonces para cualquier evento A, con P(A) > 0 se tiene P(B j A) = P(A B j)p(b j ). P(A B i )P(B i ) k i=1

20 LEY DE LA PROBABILIDAD TOTAL Ejemplo 7: Supongamos que tenemos varias cajas de caramelos de dos tipos, A y B. El tipo A contiene 70% de caramelos dulces y 30% ácidos, mientras que el tipo B contiene dichos porcentajes invertidos.además, el 60% de todas las cajas son del tipo A y el resto del tipo B. Consideremos el siguiente problema de decisión. Se recibe una caja de caramelos de tipo desconocido y se permite sacar un caramelo de la caja y con esa información decir qué tipo de caja se cree que es. Qué ocurre si se nos permite tomar dos caramelos?

21 VARIABLE ALEATORIA Y MUESTRA ALEATORIA Definición: Una variable aleatoria es una función a valores reales cuyo dominio es un espacio muestral. Definición: Supongamos que N y n representan el número de elementos de la población y de la muestra respectivamente. Si se realiza un muestreo de forma tal que las ( N n) muestras posea la misma probabilidad de ser elegida, se dice que el muestreo es un muestreo es aleatorio y el resultado es una muestra aleatoria.