1. SUCESIONES Y SERIES

Transcripción

1 1. SUCESIONES Y SERIES

2 Objetivo: El alumo aalizará sucesioes y las series para represetar fucioes por medio de series de potecias

3 1.1 Defiició se sucesió. Límite y covergecia de ua sucesió qué es ua sucesió? Cierto equipo se deprecia al 70% por año Año 1 1x0.7=0.7 Año 2 1x0.7x0.7=0.49 Año 3 1x0.7x0.7x0.7=0.343 Año (0.7)

4 Otro ejemplo de ua sucesió: Ua cueta de ahorro El Demoio Sammael (Hellboy) La célula humaa sucesió ifiita

5 Defiició: Ua sucesió es u cojuto ordeado f(1), f(2), f(3), f() formado a partir de ua fució f cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. A f() se le cooce como térmio eésimo de la sucesió. E ocasioes el térmio a, s, etc. Se usa e vez de f()

6 f() se puede ver como ua fució discreta.

7 Límite de ua sucesió Volvamos al ejemplo de la depreciació f()=(0.7) Es evidete que

8 Defiició: Ua sucesió f() tiee u límite L si para todo úmero real ɛ>0 existe u úmero MR tal que f()-l <ɛ para todo >M, esto es: lim f ( ) L

9 Covergecia y divergecia Es importate hacer otar que si ua sucesió tiee límite L es posible que sus térmios uca llegue a tomar el valor L ( ejemplo aterior). Si el límite existe se dice que coverge y se dice que es L, de lo cotrario diverge.

10 f()= 2 f()=(-1) Para obteer el límite de ua sucesió podemos hacer uso de los teoremas básicos de límites usados e fució de variable real.

11

12 Gráfica

13 Sucesió moótoa Ua sucesió como (-1)! =1,1,2,6,,(-1)! Dode cada termio es mayor o igual al aterior, se dice que es creciete; y por el cotrario dode cada termio es igual o meor al aterior se dice que es decreciete. E cualquier caso la sucesió se llama moótoa.

14 Ejemplos ,1,,,,,, Moótoa decreciete ,,,,,,...,( 1) No moótoa, ya que o crece i decrece

15 Recordado {x/ x R, x<6} U N A M Cota superior e iferior

16 Defiició: Sea {f()} ua sucesió tal que, f() R, para todo N. i) El úmero pr es ua cota superior de {f()} si f() p, para todo N. ii) El úmero q R es ua cota iferior de {f()} si f() q, para todo N. iii) {f()} es acotada y tiee ua cota superior y ua cota iferior

17 Teorema: Toda sucesió moótoa y acotada tiee límite.

18 Cotiuará

19 Serie Ua serie puede ser cosiderada como ua suma ifiita, esto es, como la suma de u úmero ifiito de térmios.

20 Además cosideremos: cómo iterpretar ua suma ifiita? Cómo es que esa suma puede llegar a u resultado fiito?

21 Paradoja de Zeó Corredor Velocidad cte. 1 Mi e media distacia S S

22 Defiició: Ua serie es ua expresió de la forma a a a... a Que de maera compacta expresamos como 1 a

23 Sea a ua serie y { s } ua sucesió 1 defiida por lim s S i) si existe el úmero S tal que se dice que la serie coverge y tiee suma S, y se deota ii) s a 1 k1 a Y si o existe el límite se dice que diverge. k S

24 Teorema U N A M Codició ecesaria para la covergecia. Si la serie 1 a es covergete, etoces lim 0 a Esta es ua codició suficiete pero o ecesaria. La codició para la divergecia, es muy similar.

25 0.333 Sabemos que se puede represetar como: Etoces:

26 Teorema: El carácter (covergete o divergete) de ua serie o cambia si se suprime o se agrega u úmero fiito de térmios al pricipio.

27 Serie y sucesió Serie: es ua suma de térmios de ua sucesió, mietras que sucesió es u cojuto ordeado de térmios que se obtiee al valuar ua fució e los úmero aturales. Notació suma ( álgebra de series)

28 Defiició: Ua serie de la forma 1 U N A M Serie Geométrica ar a ar ar... ar.. Se llama serie geométrica

29 Veamos el ejemplo de la pelota e caída libre co rebote. Iicia e 1.5m Cada vez que cae sólo alcaza el 80% de la altura iicial. 1.5x(0.8) Esta expresió idica el eésimo rebote

30 Si queremos coocer la distacia del recorrido e descesos ates de llegar el reposo Procedemos a realizar ua serie y teemos x x x x Esto es: 1 1.5x0.8 1

31 Y la distacia que sólo es para los ascesos 1.5x x x x x x x

32 Etoces la distacia total quedaría: x x0.8 Aplicado propiedades de suma 1 2.7x0.8 1

33 Ahora, ua serie geométrica, como pudo verse e la defiició y e el ejemplo citado, e este tipo de series cada termio es igual al aterior multiplicado por u factor fijo r llamado razó

34 La serie se forma de u termio iicial llamado a y el cual se multiplica por la potecias sucesivas

35 Sea 1 U N A M Covergecia y divergecia ar 1 ua serie geométrica co a 0, y sea {s } la sucesió de sumas parciales Multiplicado por r 2 1 s a ar ar... ar rs ar ar ar ar... 2

36 s rs a ar s (1 r) a(1 r ) s a(1 r ) 1 r

37 Como se puede ver la serie depede el valor de r, esto es: Si r <1, coverge y se tiee: a 1 r Si r 1, diverge

38 Del ejemplo mecioado Más ejemplos

39 Defiició Ua serie de la forma 1 se llama serie P. U N A M Serie P p 2 p 3 p p Su covergecia o divergecia depede del valor de p.

40 Teorema: 1 1 La serie p es covergete si y sólo si p>1

41 Series de térmios positivos Criterios de covergecia ( ) ( )

42 Criterio de cociete Teorema ( criterio del cociete) Sea ua serie de térmios positivos y sea a 1 a 1 lim L a Si L <1, coverge Si L >1, diverge Si L=1, o decide.

43 Teorema U N A M Criterio de Leibiz 1 Sea ( 1) a, a >0 para todo que perteece a 1 N, ua serie alterada si: i) a a N 1 y ii) lima 0 Etoces la serie coverge

44 Series de potecias Ua serie de potecias es ua expresió de la forma: E forma compacta 2 a a x a x... a x a x a a x

45 Serie de Mc Lauri f x a a x a x a x 2 ( ) f(0) 1 '( ) f '(0) 1 f ''( x) 2a 6 a x... ( 1) a x etc. a o f x a a x a x f Sea a ''(0) 2a

46 Etoces se puede expresar a f (0)! f (0) f ( x) f (0) x! 1 Esto es la serie de Mc Lauri

47 Serie de Taylor Sea la serie de potecias: b b ( x a) b ( x a)... b ( x a) Y supogamos que existe ua fució tal que: f x b b x a b x a b x a Si se hace u proceso parecido al de la serie de Mc Lauri, se tiee: 2 2 ( ) 0 1( ) 2( )... ( )...

48 f ( a) f ( x) f ( a) ( x a)! 1 Esto es la serie de Taylor