Sistema. Asin. Im Re. tan 1. Im : parte imaginaria de G j Re : parte real de G j B

Transcripción

1 TEORÍA DE CONTROL Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia Itroducció Se deomia repueta e frecuecia a la repueta e etado etable de u itema ujeto a ua eñal iuoidal de amplitud () fija pero a ua frecuecia () variable e cierto rago. i Bi t A t Sitema La repueta e etado etable a ua etrada de ete tipo erá de la forma: Bi t La repreetació gráfica de la etrada y repueta e etado etable etá dada e la iguiete figura. Ait Bi t E la práctica rara vece lo itema de cotrol etá ometido a eñale iuoidale, pero la iformació que e obtiee por el aálii iuoidal e puede uar para etablecer la aturaleza de la repueta a ua gra variedad de eñale. Ademá el aálii e coveiete para el maejo aalítico y experimetal. Calculo de la repueta e frecuecia Se puede demotrar que cuado u itema e omete a ua etrada iuoidal ( Ai t G G j. etable e puede calcular utituyedo a por e la fució de traferecia: Luego la repueta e etado etable, de la forma ( Bi t e puede exprear como: Dode: Gj Im Re Im Re G j ta Im : parte imagiaria de G j Re : parte real de G j B e le cooce como relació de amplitud A e le cooce como águlo de fae. La repueta e etado etable del itema erá de la forma: Ai t ) la repueta e etado ), e puede obteer a partir de u valor complejo que

2 Teoría de Cotrol Ejemplo. Si e tiee u itema de primer orde cuya fució de traferecia e: G La repueta e etado etable para ua etrada iuoidal de la forma e puede hallar utituyedo a por como igue: G j Si e multiplica y divide por el cojugado para o teer térmio imagiario e el deomiador: j j G j j E ete cao la relació de amplitud y el águlo de fae erá: Gj Im Re G j ta ta ta La repueta e etado etable (repueta e frecuecia) erá: H y t EE it ta t Procedimieto para la obteció de la repueta e frecuecia. Se obtiee la fució de traferecia para el elemeto o itema. Toda la codicioe iiciale e deprecia porque o afecta la repueta e etado etable.. Se utituye por e la fució de traferecia. Para vario valore de frecuecia e ecuetra la relació de amplitud y el águlo de fae 4. Se grafica lo reultado obteido e el puto aterior ya ea e coordeada rectagulare (Diagrama de Bode) o e coordeada polare (Diagrama de Nyquit) Diagrama de BODE Lo diagrama de Bode o ua forma de repreetar la repueta e frecuecia de u itema de cotrol e coordeada rectagulare, ete coite de do gráfico:. Diagrama de amplitud o ateuació: e dode e grafica la relació de amplitud de e decibelio () cotra el logaritmo de la frecuecia. El valor expreado e decibelio e obtiee como: log. Diagrama de fae: e dode e grafica el águlo de fae de cotra el logaritmo de la frecuecia. Lo diagrama de Bode tiee la iguiete caracterítica: Como e grafica el logaritmo de, lo factore producto y cociete de e covierte e uma de recta. Lo águlo de fae tambié e uma y reta e forma atural. El diagrama de Bode e la mayoría de lo cao e puede aproximar mediate egmeto de recta lo cual implifica la cotrucció. Jea-Fraçoi DULHOSTE

3 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia Diagrama de Bode de Fucioe comue Gaacia ( G K ) Amplitud: log K ctte Fae: º i K ta K 8º i K log K -.. º K K log log.. G ) P Polo y cero e el orige ( G j j P Tambié coocido como factor itegral y derivativo. Al utituir a por e obtiee: Amplitud: P log j log P Fae: ta j 9º P La amplitud e ete cao e ua recta co pediete y paa por para. E aí como la pediete erá de por década de frecuecia. E decir cambia de cada vez que el valor de la frecuecia e multiplicado por. El águlo de fae e ua recta horizotal que paa por 9. Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

4 4 Teoría de Cotrol º -9º -8º P. P P P. P P log log Factore de primer orde ( G ) G j j Amplitud: log log j Si / e puede aproximar a líea recta horizotal Si / e puede aproximar a log líea recta co pediete /década La do recta ateriore o aítota del diagrama de amplitud exacto, a la cuale e puede aproximar el diagrama de amplitud. E dode el valor de frecuecia e el puto dode e ecuetra la do recta e deomia frecuecia de corte y e ecuetra e /. E el cao del polo imple al utituir a por e obtiee: Fae: ta ta º 45º 9º E el cao del cero imple al utituir a por e obtiee: Amplitud: log j log j Fae: ta Se obtiee e ete cao curva idética pero co igo ivertido Si e requiere el valor exacto del diagrama de Bode bata co corregir el valor de la amplitud y eto e hace calculado el error e alguo puto. El error máximo e produce a la frecuecia de cruce y e aproximadamete igual a ya que: Jea-Fraçoi DULHOSTE

5 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia 5 E log log log. max º º -45º. Curva exacta Aítota. log log Factore de cuadrático ( G E el cao de la fució de traferecia de egudo orde al utituir a por e obtiee: Gj j j j j ) j Se etudiará aquí el cao e que, ya que e lo otro cao puede decompoere e el producto de polo imple. Amplitud: log 4 Si e puede aproximar a líea recta horizotal Si e puede aproximar a / 4log / líea recta co pediete -4/década La do recta ateriore o aítota del diagrama de amplitud, a la cuale e puede aproximar el diagrama de amplitud. La frecuecia de corte e ecuetra e. E ete cao e la curva real cerca de la frecuecia de corte e produce u pico de reoacia el cual depede del valor de y tiede a crecer cuado decrece. Fae: ta º 9º 8º Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

6 6 Teoría de Cotrol La curva del águlo de fae e atiimétrica repecto al puto de iflexió y tambié depede del valor de º log log -8º G El diagrama de Bode para e puede obteer ivirtiedo la curva ateriore. Procedimieto geeral para trazar diagrama de Bode E primer lugar e recribe la fució de traferecia iuoidal como u producto de lo factore báico aalizado ateriormete Luego e idetifica la frecuecia de cruce aociada co cada uo de eo factore Se traza la curva aitótica del logaritmo de la magitud co la pediete adecuada etre la frecuecia de cruce. Eto e hace umado algebraicamete lo aporte de cada uo de lo factore. Si e requiere ua curva exacta e puede obteer agregado la correccioe apropiada. La curva de águlo de fae e puede obteer umado la curva de águlo de fae de cada factor. Aálii de etabilidad utilizado lo diagrama de Bode Eto e hace utilizado lo cocepto de marge de gaacia y marge de fae que e defie a cotiuació. El método permite determiar la etabilidad relativa de u itema de cotrol de lazo cerrado como e muetra e la figura co el imple aálii del itema de lazo abierto. / Jea-Fraçoi DULHOSTE

7 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia 7 arge de gaacia () E ua medida de la etabilidad relativa, e defie como la magitud del recíproco de la fució de traferecia de lazo abierto y e calcula a la frecuecia a la cual el águlo de fae e de -8º. G log log GjC GjC Dode: arge de fae () jc 8 º rad : frecuecia de cruce de fae o frecuecia crítica. C E ua medida de la etabilidad relativa y e defie como la uma de 8º al águlo de fae de la fució de traferecia de lazo abierto y gaacia uidad. m 8 º jg grado Dode: G Etabilidad relativa j log G j g g e deomia frecuecia de cruce de gaacia. g Lo cocepto de marge de gaacia y marge permite determiar la etabilidad de u itema egú el iguiete criterio: U itema e etable i G y m Nótee aquí que eto cocepto o olo idica la etabilidad e térmio aboluto io que permite dar u marge de que ta lejo etá u itema de la etabilidad o ietabilidad, eto ya que etre má pequeño e haga lo valore del marge de gaacia y de fae má tedera el itema hacia la ietabilidad y vicevera. Procedimieto para determiar la etabilidad utilizado lo diagrama de BODE. Se determia la frecuecia crítica ( ) trazado para ello ua horizotal que pae por -8º hata cortar el diagrama de fae luego e traza ua vertical hata el eje de la frecuecia.. Se traza ua vertical que pae por y que corte el diagrama de amplitud. La diferecia etre el puto de corte co da el marge de gaacia ().. Se determia la frecuecia de gaacia crítica ( ), trazado para ello ua horizotal que pae por hata cortar el diagrama de amplitud luego e baja verticalmete hata el eje de la frecuecia. 4. Se traza ua vertical que paa por y corte el diagrama de fae. La diferecia etre -8º y el puto de corte da el marge de fae. 5. Si y e dice que el itema e etable. Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

8 8 Teoría de Cotrol 4 g -4-8 º G log log -8º m C 6. Cometario obre lo márgee de fae y gaacia Lo márgee de fae y gaacia adecuado permite teer ua cierta eguridad e cuato a la etabilidad del itema cuado ocurre ua variació e algú parámetro de ete. Para teer u comportamieto atifactorio el marge de fae debe etar etre º y 6º y el marge de gaacia debe er uperior a 6. Eto igifica que la pediete de la curva del logaritmo de la magitud a la frecuecia de cruce debe er má uave que -4 /década. Ejemplo. Hacer el diagrama de Bode y aalizar la etabilidad de: G Se utituye a por y e obtiee: j G jj j j Por comodidad para el trazado de la grafica e recribe la ecuació e la forma ormalizada co lo térmio idepediete iguale a : j 7.5j G jj j j jj j j Eta fució e decompoe e factore coocido, que o e ete cao: 7.5 j j j j j Jea-Fraçoi DULHOSTE Gráfica aitótica Seguidamete e hace la gráfica co la aítota idetificado la frecuecia de cruce para lo factore, 4 y 5:. Amplitud: log : recta horizotal que paa por 7.5 Fae: ta º : recta horizotal que paa por º

9 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia 9. Amplitud: log j log : co pediete -P y paa por Fae: ta 9º. Frecuecia de cruce Amplitud: j : recta horizotal que paa por 9. como log j log j Si e puede aproximar a log Si e puede aproximar a para : líea recta horizotal. log : líea recta co pediete /década Fae: ta º 45º 9º 4. Frecuecia de cruce log log j Amplitud: Fae: Si e puede aproximar a log Si e puede aproximar a ta ta º 45º 9º 5. Frecuecia de cruce como, y log 4 Amplitud: Fae: Si e puede aproximar a log Si e puede aproximar a pediete -4/década ta 9 º º : líea recta horizotal log : líea recta co pediete -/década líea recta horizotal log 4 4log líea recta co Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

10 Jea-Fraçoi DULHOSTE Teoría de Cotrol 8º Grafica exacta Para la gráfica exacta e debe calcular el valor exacto de la curva de magitud y fae e alguo puto adicioale, lo puto míimo eceario o e geeral lo correpodiete a la frecuecia de cruce. agitud E 6.6 log log log log log 7.5 E 7.6 log log log log log 7.5 E 5.75 log log log log log 7.5 Fae E 9º ta ta ta ta 7.5 ta E 4 ta ta ta ta 7.5 ta E 58. ta ta ta ta 7.5 ta

11 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia Diagrama de Bode Etabilidad e diagrama de Bode Aálii de etabilidad G 8 m 5º Por tato el itema e ietable Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

12 Jea-Fraçoi DULHOSTE Teoría de Cotrol Ejercicio Hacer el diagrama de Bode de la iguiete fucioe: 7 5 G G

13 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia Determie la etabilidad e la iguiete fucioe mediate lo diagrama de Bode. G Diagrama de Nyquit El diagrama polar comúmete deomiado diagrama de Nyquit de ua fució de traferecia iuoidal e u diagrama de la magitud o módulo de e fució del águlo de fae de e coordeada polare al variar el valor de de meo ifiito a ifiito. Etoce, el diagrama polar e el lugar de lo vectore cuado varía de a. La figura preeta u ejemplo de ete diagrama. Cada puto e el diagrama polar de repreeta el extremo termial de u vector para u valor determiado de. Para cotruir el diagrama polar e calcula directamete la magitud y el águlo de fae para cada frecuecia. Lo dato tambié e puede obteer a partir del diagrama de Bode. Si e requiere la multiplicació de do fucioe de traferecia iuoidale, e puede obteer multiplicado, para cada frecuecia, la fucioe de traferecia iuoidale idividuale por medio de ua multiplicació algebraica compleja. E decir: Si j G j G j Etoce G j G j G j j G j G j G G E geeral, i e deea el diagrama polar de, e coveiete trazar primero el diagrama logarítmico de y luego covertirlo e u diagrama polar, e lugar de dibujar lo diagrama polare de y y multiplicar ambo e el plao complejo para obteer el diagrama polar de. Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

14 4 Teoría de Cotrol Ua vetaja al utilizar u diagrama polar e que preeta la caracterítica de repueta e frecuecia de u itema e todo el rago de frecuecia, e u olo diagrama, la devetaja e que el diagrama o idica claramete la cotribucioe de cada factor idividual de la fució de traferecia. Diagrama de Nyquit de Fucioe comue Factore itegral y derivativo El diagrama polar de Gj j G Jea-Fraçoi DULHOSTE G j j e el eje imagiario egativo ya que: j 9 j j º El diagrama polar de Gj j e el eje real poitivo. Factore de primer orde Gj jt Para la fució de traferecia iuoidal G Para G T : j ta T : j º jt T G j 45º T Si tiede a ifiito, la magitud de tiede a cero y el águlo de fae tiede a 9º. El diagrama polar de eta fució de traferecia e u emicírculo, co cetro e.5 obre el eje real y radio igual a.5, cuado la frecuecia varía de cero a ifiito, como e puede ver e la figura. El diagrama polar de la fució de traferecia G j jt e implemete la mitad uperior de la recta que paa por el puto (, ) e el plao complejo, y e paralela al eje imagiario. El diagrama polar de G j j e totalmete diferete al de G j jt. T Factore cuadrático Gj j j La parte de alta y baja frecuecia del diagrama polar de la fució de traferecia iuoidal: Gj j para j Etá dada repectivamete por: limg j º y lim G j 8º El diagrama polar de eta fució de traferecia iuoidal comieza e / y fializa e /8 al aumetar de cero a ifiito. Eto idica que la porció de alta frecuecia de e tagete al eje real egativo.

15 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia 5 La figura preeta ejemplo de diagrama polare de eta fució de traferecia. La forma exacta del diagrama polar depede del valor de la relació de amortiguamieto, pero la forma geeral e la mima, tato para el cao ubamortiguado ( ) como para el obreamortiguado ( ). Para el cao ubamortiguado e e tiee que el águlo de fae e -9. Por tato, e puede ver que la frecuecia a la cual el diagrama corta al eje imagiario, e la frecuecia atural. El puto del diagrama polar cuya ditacia al orige e máxima, correpode a la frecuecia de reoacia. Para el cao obreamortiguado, al icremetar má allá de la uidad, el lugar de tiede a er u emicírculo, lo que reulta del hecho de que para u itema fuertemete amortiguado la raíce caracterítica o reale, y ua de ella e mucho má pequeña que la otra. Como para u valor de uficietemete alto la raíz má grade de la repueta e hace muy pequeña, el itema e comporta como uo de primer orde. Para la fució de traferecia iuoidal j j Gj j La porció de baja frecuecia de la curva e: º limg j lim G j 8 La porció de alta frecuecia e: º Como la parte imagiaria de e poitiva y crece e forma moótoa para, y la parte real de decrece e forma moótoa a partir de la uidad, la forma geeral del diagrama polar de e como aparece e la figura. El águlo de fae etá etre y 8. Retardo de traporte. El retardo de traporte, o tiempo muerto e j G j T Gj cot j it, e puede ecribir como: Como la magitud de e iempre la uidad, y el águlo de fae varía liealmete co el diagrama polar del retardo de traporte e u círculo uitario, como e puede ver e la figura. Forma geerale de lo diagrama polare Lo diagrama polare de ua fució de traferecia de la forma: m b Gj a m j b j j a j K jta jta j jt jt Dode o el grado del poliomio deomiador e mayor que el del umerador, tedrá la iguiete forma geerale:. Para o itema tipo : el puto de iicio del diagrama polar (que correpode a ) e fiito y etá obre el eje real poitivo. La tagete al diagrama polar e e perpedicular al eje real. El puto termial, que correpode a, etá e el orige y la curva e tagete a uo de lo eje.. Para o itema de tipo : el térmio e el deomiador cotribuye co - 9 al águlo de fae total de ) para. Para, la magitud de e ifiita, y el águlo de fae e igual a meo 9. A frecuecia baja, el diagrama polar e aitótico a ua líea paralela al eje imagiario egativo. E, la magitud e cero, la curva coverge hacia el orige y e tagete a uo de lo eje. Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

16 6 Teoría de Cotrol. Para o itema de tipo : el térmio e el deomiador cotribuye co -8 al águlo de fae total de para. E la magitud de e ifiita, y el águlo de fae e igual a meo 8. A frecuecia baja, el diagrama polar e aitótico a ua líea paralela al eje real egativo. E, la magitud e hace cero, y la curva e tagete a uo de lo eje. E la figura e puede ver la forma geerale de la porcioe de baja frecuecia de lo diagrama polare de lo itema de tipo, tipo y tipo. Baja frecuecia Alta frecuecia Nótee que i el grado del poliomio deomiador de e mayor que el del umerador, lo lugare de coverge hacia el orige e etido horario. E, lo lugare o tagete a uo de lo eje, como e ve e la figura para alta frecuecia. La tabla iguiete muetra diagrama polare de divera fucioe de traferecia comue. Jea-Fraçoi DULHOSTE

17 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia 7 Ejemplo. Coidere la iguiete fució de traferecia de egudo orde: G T Trace el diagrama polar para eta fució de traferecia. Como la fució de traferecia iuoidal e puede ecribir como T Gj j j jt T T La porció de baja frecuecia del diagrama polar e: limg j T j 9 º La porció de alta frecuecia e: lim G j j 8 º E la figura aparece la forma geeral del diagrama polar de. Ete e aitótico a la líea vertical que paa por el puto,. Como eta fució de traferecia icluye u itegrador /, la forma geeral del diagrama polar difiere de la fucioe de traferecia de egudo orde que o tiee u itegrador.. Obtega el diagrama polar de la fució de traferecia iguiete: jl Gj e jl jt e jt La magitud y el águlo de fae o, repectivamete, Gj e j L jt T y Gj e j L L ta T jt Como la magitud decrece e forma moótoa a partir de la uidad y el águlo de fae tambié decrece moótoa e idefiidamete, el diagrama polar de la fució de traferecia dada e ua epiral, como aparece e la figura. Nótee que e lo ejemplo motrado ateriormete e dearrollo el diagrama polar para ua frecuecia ω etre e ifiito. El diagrama polar para ua frecuecia etre meo ifiito y cero erá la image epejo repecto al eje real del diagrama para frecuecia de cero a ifiito. Y el diagrama etre ifiito y meo ifiito erá iempre el orige de coordeada. Aálii de etabilidad utilizado diagrama de Nyquit El criterio de etabilidad de Nyquit permite determiar la etabilidad relativa de u itema de cotrol de lazo cerrado como e muetra e la figura co el imple aálii del diagrama de Nyquit del itema de lazo abierto. / Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

18 8 Teoría de Cotrol Criterio de etabilidad de Nyquit (Para u cao epecial e que o tiee polo i cero obre el eje ) E el itema que aparece e la figura, i la fució de traferecia de lazo abierto tiee polo e el emiplao derecho del plao y lim, etoce para que haya etabilidad, la gráfica de al variar de a debe rodear vece al puto e etido ati horario. Obervacioe obre el criterio de etabilidad de Nyquit. Ete criterio e puede exprear como Dode: = catidad de cero de e el emiplao derecho del plao = catidad de rodeo alrededor del puto e etido horario = catidad de polo de e el emiplao derecho del plao Si o e cero, para que u itema de cotrol ea etable, e debe teer, o, lo que igifica que hay que teer rodeo atihorario alrededor del puto. Si o tiee polo e el emiplao derecho del plao, etoce. Por lo tato, para que haya etabilidad, o debe haber rodeo alrededor del puto por parte de la gráfica. E ete cao o e eceario coiderar la gráfica para el eje completo, pue bata olamete co la porció de frecuecia poitiva. La etabilidad de tal itema e puede determiar viedo i el puto queda rodeado por el diagrama de Nyquit de. E la figura e puede ver la regió ecerrada por el diagrama de Nyquit. Para que haya etabilidad, el puto debe quedar fuera de la regió ombreada.. Se debe teer mucho cuidado al verificar la etabilidad de itema co lazo múltiple, ya que puede icluir polo e el emiplao derecho del plao. (Nótee que auque u lazo iterior ea ietable, e puede hacer que todo el itema de lazo cerrado ea etable co u dieño adecuado). Para determiar la ietabilidad de itema co lazo múltiple o bata la imple ipecció de lo rodeo alrededor del puto por la gráfica. E eo cao, i embargo, e puede determiar fácilmete i hay o o algú polo de e el emiplao derecho del plao, al aplicar el criterio de etabilidad de Routh al deomiador de.. Si el lugar de paa por el puto, hay cero de la ecuació caracterítica o polo de lazo cerrado, ubicado obre el eje. Eto o e deeable para itema de cotrol práctico. E u itema de cotrol de lazo cerrado bie dieñado, igua de la raíce de la ecuació caracterítica debe quedar obre el eje. E lo diagrama de Nyquit e puede obteer tambié e forma gráfica lo valore del marge de gaacia y del marge de fae defiido para lo diagrama de Bode, la obteció de eto valore e muetra e la figura iguiete. Al examiar la etabilidad de lo itema de cotrol lieale utilizado el criterio de etabilidad de Nyquit, e puede preetar tre poibilidade:. No hay rodeo del puto. Eto implica que el itema e etable i o hay polo de e el emiplao derecho del plao ; e cao cotrario, el itema e ietable.. Hay u rodeo e etido ati horario o rodeo del puto. E ete cao el itema e etable i la catidad de rodeo atihorario e la mima que la catidad de polo de e el emiplao derecho del plao ; e cao cotrario, el itema e ietable.. Hay u rodeo o rodeo del puto e etido horario. E ete cao, el itema e ietable. Jea-Fraçoi DULHOSTE

19 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia 9 Sitema Etable Sitema Ietable Ejemplo E lo ejemplo iguiete, e upoe que lo valore de la gaacia y de la cotate de tiempo (como,, y ) o todo poitivo.. Coidere u itema cuya fució de traferecia de lazo abierto etá dada por: K G H T T Examie la etabilidad del itema. La figura muetra u diagrama de Nyquit de. C Como o tiee igú polo e el emiplao derecho del plao, y el puto o etá rodeado por el lugar de, ete itema e etable para cualquier valor poitivo de,, y.. Coidere el itema co la iguiete fució de traferecia de lazo abierto: K G T T Determie la etabilidad del itema para do cao: () la gaacia e pequeña, () K e grade. E la figura aparece lo diagrama de Nyquit de la fució de traferecia de lazo abierto co u valor pequeño de y u valor grade de. La catidad de polo de e el emiplao derecho del plao e cero. Por lo tato, para que ete K pequeña K grade Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

20 Teoría de Cotrol itema ea etable, e eceario que o que el lugar de o rodee al puto. Para valore pequeño de, o hay rodeo al puto. Por lo tato, el itema e etable. Para valore grade de, el lugar de rodea al puto do vece e etido horario, lo que idica do polo e el emiplao derecho del plao y el itema e ietable. Para lograr buea exactitud, debe er grade. Si embargo, dede el puto de vita de la etabilidad u valor elevado de brida etabilidad pobre, icluo ietabilidad. Se debe hallar ua olució de compromio etre exactitud y etabilidad.. La etabilidad de u itema de lazo cerrado co la iguiete fució de traferecia de lazo abierto K T G H depede de la magitude relativa de T y. Trace lo diagrama de Nyquit y determie la etabilidad del itema. E la figura e muetra diagrama de para tre cao,,, y. T < T Etable T = T T > T Ietable Jea-Fraçoi DULHOSTE Para, el lugar de o rodea al puto, y el itema de lazo cerrado e etable. Para, el lugar de paa por el puto, lo que idica que lo polo de lazo cerrado etá ubicado obre el eje. Para, el lugar de rodea al puto do vece e etido horario. Etoce, el itema de lazo cerrado tiee do polo de lazo cerrado e el emiplao derecho del plao, el itema e ietable. 4. Coidere el itema de lazo cerrado co la iguiete fució de traferecia de lazo abierto K G H T Determie la etabilidad del itema. La fució tiee u polo ( /) e el emiplao derecho del plao. Por tato,. El diagrama de Nyquit de la figura idica que el puto e rodeado ua vez e etido horario por la gráfica de. Etoce. Como, reulta que. Eto igifica que el itema de lazo cerrado tiee do polo de lazo cerrado e el emiplao derecho del plao y e ietable.

21 Tema 7. Aálii de la repueta e frecuecia 5. Determie la etabilidad de u itema de lazo cerrado que tiee la iguiete fució de traferecia de lazo abierto: K G H La fució de traferecia de lazo abierto tiee u polo ( ) e el emiplao derecho del plao, o ea. El itema de lazo abierto e ietable. El diagrama de Nyquit que e ve e la figura idica que el puto e rodeado por la gráfica de ua vez e etido atihorario. Por lo tato,. Etoce, e determia que e igual a cero, lo que idica que o hay cero de e el emiplao derecho del plao, y el itema de lazo cerrado e etable. Ete e uo de lo ejemplo dode u itema ietable de lazo abierto e vuelve etable cuado e cierra el lazo. 6. Coidere el itema de cotrol de la figura, que icluye do lazo. Se pide determiar el rago de gaacia que hace al itema etable utilizado el criterio de etabilidad de Nyquit. (La gaacia e poitiva). Para examiar la etabilidad del itema de cotrol, hay que trazar el lugar de Nyquit de, dode G G G Si embargo, e ete puto o e cooce lo polo de. Por lo tato, hay que examiar el lazo meor por poible preecia de polo e el emiplao poitivo del plao. Eto e fácil de realizar utilizado el criterio de etabilidad de Routh. Como: G La tabla de Routh e: Nótee que hay do cambio de igo e la primera columa. Por lo tato, hay do polo de e el emiplao derecho del plao. Ua vez hallada la catidad de polo de e el emiplao derecho del plao e traza el diagrama de Nyquit de, dode: Ecuela de Igeiería ecáica - ULA

22 Teoría de Cotrol G G G K.5 El problema coite e determiar el rago de gaacia para la etabilidad. Por tato, e lugar de trazar lo diagrama de Nyquit de para divero valore de, e dibuja el diagrama de Nyquit de /. E la figura e puede ver u diagrama de Nyquit o diagrama polar de /. Como tiee do polo e el emiplao derecho del plao, e tiee que. Como, para la etabilidad e requiere que o. E decir, el diagrama de Nyquit de / debe rodear al puto do vece e etido ati horario. De la figura e ve que, i el puto crítico queda etre y.5, etoce el diagrama de / rodea al puto crítico do vece e etido atihorario. Por lo tato, e requiere que.5 Etoce el rago de gaacia de por codició de etabilidad e. Jea-Fraçoi DULHOSTE