GONZALES CAICEDO WALTER ORLANDO

Transcripción

1 GONZALES CAICEDO WALTER ORLANDO

2 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 26 de junio de 2010

3 Índice general 1. INTERÉS SIMPLE Interés simple Clases de interés simple Ordinario Exacto: Descuento simple Clases de descuento Descuento racional o matemático Descuento comercial Ejercicios aplicativos El banco PK, paga el 6 % sobre los depósitos a plazos. Calcular el pago anual por interés sobre un depósito de S/ Si una empresa hipotecaria tiene invertido S/ durante 3años y medio a interés simple y obtine en total S/ de ingresos. Determinar la tasa de interés El banco TK obtiene fondos al costo de 12 % y presta a los microempresarios al 48.6 % anual, ganándose así el 46.5 % bruto. Los ingresos anuales que obtuvo fueron de S/ , cuánto dinero prestó? Durante que tiempo ha estado invertido un capital de S/ que produjo un interés de S/ a una tasa de 25 % anual Obtener la tasa de interés simple mensual, si con S/ al cabo de un semestre se cancela una deuda de S/ El día de hoy obtenemos un préstamo por S/ y después de un año pagamos S/ Calcular el interés y la tasa de interés Determinar el monto que obtendríamos del banco dentro de 4 años, si el día de hoy invertimos S/ al 9.2 % para el primer año con incrementos del 1.3 % para los próximos tres años Si depositamos S/ en una cuenta de ahorros al 9 % anual. Calcular el monto después de 10 meses

4 Capítulo 1 INTERÉS SIMPLE 1.1. Interés simple Es el que se calcula con base al monto del principal únicamente y no sobre el interés devengado. El capital permanece constante durante ese término y el valor del interés y su periodicidad de pago será siempre el mismo hasta el vencimiento. El interés simple, es también la ganancia sólo del capital principal a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. El interés simple es una función directa entre el tiempo, la tasa de interés y el capital inicial, que se representa por la fórmula: Donde: I = Interés C = Capital inicial, principal o valor presente i = Razón o tasa de interés n = Unidad de tiempo, años, meses, días, etc. (1.1) Ejemplo: Hallar el interés simple cobrado por un préstamo de S/ a una tasa del 12.5 % anual. C = S/ i = 12.5 % = n = 1 año I = 1200(0 125)(1) I = S/150 Es decir, que al final del año se debe pagar un interés de S/

5 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE Clases de interés simple Ordinario Es aquel que se calcula sobre los 360 días anuales Exacto: Es aquel que se calcula con 365 o 366 días según sea el caso. Ejemplo: Hallar el interés simple ordinario y exacto de un prestamo realizado por el banco PK por la suma de S/ con un interés del 25 % durante un año. C = S/ i = 25 % = 0.25 n = 1 año El interés ordinario es: I = 3500(0 25) 360 I = S/2 43 El interés exacto es: I = 3500(0 25) 365 I = S/2 39 Observe que en el interés simple ordinario se paga una mayor cantidad de dinero que en el exacto. De acuerdo a lo observado podemos expresar el interés simple (1.1) como: 100.t (1.2) Ejemplo: Hallar el interés que produce un capital de S/ colocado al 2.5 % quincenal, durante un año, 3 meses y 15 días. C = S/ i = 2.5 % quincenal = x 24 = 0.6 % anual n = 1 año, 3 meses y 15 días = 24 quincenas + 6 quincenas + 1 quincena = 31 quincenas en total t = 24 quincenas al año

6 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE 4 I = C.r.n 100.t I = 24500(0 6)(31) 100(24) I = S/ OBSERVACIÓN: El interés simple se calcula por la fórmula: Donde: M = Monto simple o valor acumulado Reemplazando (1.1) en (1.3) se tiene: I = M C (1.3) M = C(1 + i.n) (1.4) Ejemplo: Si se invierte S/ 4 500, al termino de un año recibimos S/6 550 Cuál será la tasa de interés anual? C = S/ M = S/ i =? n = 1 año M = C(1 + i.n) 6550 = 4500(1 + i) i = i = 45 5 % Ejemplo: Orlando compro un automóvil por el cual pago $ el 1 de marzo y lo vende el 1 de setiembre del año siguiente en $ , sin tener en cuenta del seguro que pago y otros pagos que realizo, considerando solo los valores de compra y de venta, fue conveniente como inversión la operación realizada, teniendo encuenta que la tasa de interés del mercado es del 55.5 %. C = $ M = $ i = 55.5 % = n = 1 de marzo del presente año al 1 de setiembre del año siguiente = 18 meses = 18 años 12 Si C = $ , el monto será: M = C(1 + i.n)

7 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE 5 M = [ ( )] M = ( ) M = (1 8325) M = S/ Si M = $ , el capital será: M = C(1 + i.n) = C [ ( )] = C (1 8325) C = C = S/ Luego: No fue conveniente como inversión la operación realizada por Orlando. Ejemplo: Una persona consigue un préstamo por S/ y al termino de un año y medio paga S/ Calcular: a) El interés. b) La tasa de interés. c) Si el préstamo se liquida a: medio año, 4 años, en un mes cuanto es el interés. C = S/ M = S/ n = 1 año y medio = 1.5 años a) I = M C I = I = S/5500 b) 5500 = (1,5).i 5500 = i i = i = i = 6 72 % c) Si: n = medio año = 0.5 año, entonces los intereses serán: I = (0 0672) (0 5) I = S/ n = 4 años, entonces los intereses serán:

8 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE 6 I = (0 0672) (4) I = S/ n = 1 mes = 1 12 años, entonces los intereses serán: I = (0 0672) ( ) 1 12 I = S/ Descuento simple Esta operación financiera consiste en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente. Es un procedimiento inverso al de capitalización. En la práctica habitual estas operaciones se deben a la necesidad de los acreedores de anticipar los cobros pendientes del vencimiento de los mismos acudiendo a los intermediarios financieros. Los intermediarios finacieros cobran una cantidad en concepto de intereses que se descuentan cobre el capital a vencimiento de la operación de que se trate. Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro o nominal (V f ) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de la anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada. El capital resultante de la operación de descuento, es decir valor actual o presente (V a ) es de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. La fórmula de descuento esta dado por: Donde: D = Descuento o rebaja V a = Valor actual, inicial o efectivo V f = Valor nominal o futuro D = V f V a (1.5) OBSERVACIÓN: El descuento es una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, es calculado como el interés total de un intervalo de tiempo. (1.5) queda expresado por la fórmula: Donde: i = d = Tasa de interés D = V f.n.d (1.6) Ejemplo: Calcular el descuento que se hace a un pagare de S/ 4 500, seis meses antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple del 40 %.

9 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE 7 V f = S/ n = 6 meses = 0.5 años d = 40 % = 0.40 D = V f.n.d D = 4500 (0 5) (0 40) D = S/ Clases de descuento Existen dos modalidades de descuento, dependiendo del capital considerado para el cálculo de los intereses Descuento racional o matemático Es la diferencia entre el monto a pagar (Valor nominal) y su valor actual. En otras palabras, se define como el interés simple. Es decir: D r = V a.n.d (1.7) OBSERVACIÓN: El capital inicial (V a ) es obtenido por la diferencia entre el capital final (V f ) y el descuento racional (D r ), es decir: Además reemplazando (1.7) en (1.8), se obtiene: V a = V f D r (1.8) V a = V f 1+nd (1.9) Ejemplo: Calcular el valor actual con descuento racional de un documento de S/ que se descontó al 2.5 % mensual 9 meses antes de vencer. V a =? V f = S/ d = 2.5 % mensual = n = 9 meses Pero, se tiene que es con descuento racional, es decir: V f 1+nd V a = V a = (9)(0 025) V a = V a = S/

10 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE Descuento comercial En este tipo de descuento, los intereses son calculados sobre el valor nominal. D c = V f.n.d (1.10) Ejemplo: Calcular el valor nominal de un documento que, medio año antes de vencer, sufrió un descuento de S/ al 1.5 %. mensual de interés. V f =? n = medio año = 6 meses D c = S/ d = 1.5 % mensual = V f = Dc n.d V f = 7200 (6)(0 015) V f = S/80000 Ejemplo: Calcular el descuento que sufre un documento de S/ que se descontó 9 meses antes de vencer, al 5 % trimestral. D c =? V f = S/ n = 9 meses = 3 trimestres d = 5 % trimestral = 0.05 D c = V f.n.d D c = (15200) (3) (0 05) D c = S/2280 OBSERVACIÓN: El capital inicial (V a ) es obtenido por la diferencia entre el capital final (V f ) y el descuento comercial (D c ), es decir: Además reemplazando (1.10) en (1.11), se obtiene: V a = V f D c (1.11) V a = V f (1 n.d) (1.12) Ejemplo: Una letra de cambio está firmada por S/ con vencimiento para el 22 de octubre. El tenedor de la misma desea hacerla efectiva al 4 de setiembre del mismo año y acude a un banco que le cobrará una tasa de descuento simple del 25 %. Determine el monto que recibirá por la letra de cambio y el descuento que le hace el banco suponiendo:

11 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE 9 a) Descuento racional. b) Descuento comercial. V a =? D r =? D c =? V f = S/ n = Del 4 de setiembre al 22 de octubre = 48 días = 48 años 360 d = 25 % = 0.25 a) Usando descuento racional: V f 1+nd V a = 5500 V a = 1+( 360)(0 25) 48 V a = V a = S/ El descuento racional aplicado fue: D r = V f V a D r = D r = S/ b) Usando descuento comercial: V a = V f (1 n.d) V a = 5500 [ 1 ( ) ] (0 25) V a = 5500 ( ) V a = S/ El descuento comercial aplicado fue: D c = V f V a D c = D c = S/ Ejercicios aplicativos El banco PK, paga el 6 % sobre los depósitos a plazos. Calcular el pago anual por interés sobre un depósito de S/ i = 6 % = 0.06 I =?

12 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE 10 n = 1 año C = S/ Aplicando la fórmula (1.1), es decir: I = (24000) (0 06) (1) I = S/ Si una empresa hipotecaria tiene invertido S/ durante 3años y medio a interés simple y obtine en total S/ de ingresos. Determinar la tasa de interés. C = S/ n = 3 año y medio = 3.5 I = S/ i =? Despejando i de la fórmula (1.1), se obtiene: i = I C.n i = (220000)(3 5) i = 0 06 i = 6 % El banco TK obtiene fondos al costo de 12 % y presta a los microempresarios al 48.6 % anual, ganándose así el 46.5 % bruto. Los ingresos anuales que obtuvo fueron de S/ , cuánto dinero prestó? i = 46.5 % = n = 1 año I = S/ C =? Despejando C de la fórmula (1.1), se obtiene: C = I i.n C = (0 465)(1) C = S/

13 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE Durante que tiempo ha estado invertido un capital de S/ que produjo un interés de S/ a una tasa de 25 % anual. n =? C = S/ I = S/ i = 25 % = 0.25 Despejando n de la fórmula (1.1), se obtiene: n = I C.i n = (50000)(0 25) n = 1 64 años n = 1 año 7 meses y 20 días Obtener la tasa de interés simple mensual, si con S/ al cabo de un semestre se cancela una deuda de S/ i =? M = S/ n = 1 semestre = 6 meses C = S/ Si utilizamos la fórmula (1.1), debemos hallar I, es decir: I = M C I = I = S/15000 Entonces, despejando i de la fórmula (1.1), se obtiene: i = I C.n i = (50000)(6) i = 0 05 i = 5 % mensual Si despejamos i de la fórmula (1.4), obtenemos: i = M C 1 n i = i = i = 0 05 i = 5 % mensual

14 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE El día de hoy obtenemos un préstamo por S/ y después de un año pagamos S/ Calcular el interés y la tasa de interés. C = S/ n = 1 año M = S/ I =? i =? Cálculo del interés, es decir: I = M C I = I = S/900 Despejando i de la fórmula (1.4), obtenemos: i = M C 1 n i = i = i = % Determinar el monto que obtendríamos del banco dentro de 4 años, si el día de hoy invertimos S/ al 9.2 % para el primer año con incrementos del 1.3 % para los próximos tres años. M =? n = 4 años C = S/ i 1 = 9.2 % = 0.092, es el interés para el primer año i 2 = 10.5 % = 0.105, es el interés para el segundo año i 3 = 11.8 % = 0.118, es el interés para el tercer año i 4 = 13.1 % = 0.131, es el interés para el cuarto año Para calcular el monto en este caso no aplicamos directamente la fórmula (1.4), por cuanto el tipo de interés en cada período es diferente. Debemos sumar al principal los interés de cada período, calculado siempre sobre el capital inicial, pero a la tasa vigente en cada mommento. Así, tenemos que: M = C + C.i 1 + C.i 2 + C.i 3 + C.i 4

15 CAPÍTULO 1. INTERÉS SIMPLE 13 M = C (1 + i 1 + i 2 + i 3 + i 4 ) M = 3500 ( ) M = 3500 (1 446) M = S/ Si depositamos S/ en una cuenta de ahorros al 9 % anual. Calcular el monto después de 10 meses. C = S/ i = 9 % anual = 0.09 n = 10 meses = 10 años 12 M =? Aplicando la fórmula (1.4), es decir: M = C (1 + i.n) M = 4500 [ 1 + (0 09) ( )] M = 4500 (1 075) M = S/