TRIEDROS. B c C O. A escribimos A. 0 A + B + C 360 Por otro lado una cara ha de ser menor que la suma de las otras dos mayor que su diferencia.

Transcripción

1 TRIEDRS triedro. TRIEDR tres rists,, y tres seiplnos deliitdos, d uno, por dos rists que llreos rs,,. Teniendo en uent que los plnos,,. Por ser de l rist es de los plnos,. triedro is y ontenids un en d seiplno. interseionr on los plnos del diedro definido por l rist,un en d seiplno y oinidentes en un punto del rist). NMENLTUR ELEMENTS QUE DEFINEN UN TRIEDR Y SS QUE SE PRESENTN esriios. PH = Plno Horizontl PV = Plno Vertil VM = Verdder Mgnitud Heos visto que un triedro viene definido por seis eleentos: tres diedros y tres rs pueden presentr son: iden sore un plnos uxilires perpendiulres d rist Penseos en un prgus de tres vrills l ul rios norlente o lo rios hst onvertir l tel en un plno, PRGUS IERT. V= infinito Por otro ldo un r h de ser enor que l su de ls otrs dos yor que su difereni. PRGUS ERRD En este so l igen de prgus errdo requiere iertos retoques. Ls rists vn signifi que si hn de perneer distints porque en el triedro siepre teneos tres rists, lo que ourre es que se onvierten en tres rets prlels pr lo que heos de = 180

2 DESRRLL S,, En d so vos relizr priero un s y que llreos DESRRLL pr luego PREDIMIENT. Si poneos un ulquier de ls rs, elegios l, soreph y tios l rist del espio on oo tios on oo hrnel tendreos l r en VM luego l izqd de onstruios el dto de l r de ser 0 = 1. Por ello sore 0 elegios un punto ulquier 0 on entro en y rdio 0 ros sore 1 el punto 1 posiiond, se trz un perpendiulr l hrnel que prolongndo ps por el punto tido. Luego si desde 0 trzos un perpendiulr su hrnel y desde 1 un perpendiulr l suy,, s Sen d0 y d1 los puntos de orte on ls hrnels porque l ser d0 es deir, el diedro (el vlor del diedro de l rist ). Proediendo del is ner on 1 tendreos. Y teneos onoidos dos diedros. Pr el terero lo que heos es ortr el triedro por un plno uxilir y perpendiulr l rist del espio lo tendreos en VM el vlor del diedro l rist por estr en un plno perpendiulr l rist. En el tiiento l perpendiulridd se onserv, luego si tios M on oo hrnel oteneos 2. tiiento de M on oo hrnel y teneos 2=3, oo =M MT, en el tiiento 3 = 2 2t. Por ello y desde 2 trzos un perpendiulr 3 y en el orte on tendreos T. heos tido M on oo hrnel y teneos 2T en VM, luego lo que heos es on entro en T y rdio 2T, trzr sore el punto 3 tido de M on XY oo hrnel. hor unios 2X y 2Y y teneos el diedro M M X T Y M () T Y 2 T 00 3 d0 X 0 0 3

3 PREDIMIENT 1 1 ' d1 00 d0 0 0 Elegios un punto ulquier en el PH (plno horizontl) prtir de diujos l r lo que nos d ls rists y. L r l dereh de lo que nos d l rist 0 tid de on hrnel L r l izquierd de lo que nos d l rist 1 tid de on hrnel Elegios un punto 0 ulquier sore 0 y l distni 0 l llevos, prtir de, sore 1 => 1 Desde 0 un perpendiulr que ort en d0 Desde 1 un perpendiulr que ort en d1 l rist Por trzos un prlel y on entro en d0 y rdio d00 teneos que 00 = ' el vlor de l ot de M, lo que nos y el teto que no es prlelo l rist. Por trzos un prlel y un perpendiulr => d1 (hor ntes on 0, pero si nos dos uent de que tnto 0 oo 1 for en el tiienro h de tener el iso vlor '=ot de M sore l prlel l hrnel luego...) on entro en y rdio ' ortos l prlel en 10. Unios d1 on 10 y teneos. NTINU EL DIUJ Y NSERV L ESENIL PR MS DETLLE Y LRIDD 1 Y T 3 X 2 0 NTINUMS... Por un perpendiulr l ret y prolongos un ntidd ' => 2 (tido de M on hrnel ) Uniendo 2 es l ret tid de M respeto de oo hrnel Por 2 perpendiulr 2 y prolongos hst on y teneos los puntos X e Y on entro en T y rdio T2 ros el punto 3 sore. Unios 3 on X e Y y teneos el diedro.

4 DESRRLL S,, ( en relidd del plno que ontiene l r ). L trz horizontl Q de l r oinide on l rist por lo que l situr l rist perpendiulr l plno, l r tiene ls trzs de un PPV (plno proyetnte vertil). Elegios un punto 0 ulquier sore 0 y destios: Trzr perpendiulr por 0 on punto de orte en => d0 y prolongos ) horizontl de l rist. en VM y el diedro hor onoeos ls tres rs y dos diedros y estos en ondiiones de terinr el prole plindo lo prendido en el prier so. Q'=' ' ot 0 0 ' d0 00 ot 10 d1 1 Q 1 0 ' Y ' t 2 0 X

5 S,, DESRRLL D' Q' 1 '1 ' '2 ' l ser tid on oo hrnel '1 Si poneos l r sore el plno horizontl y l rist perpendiulr l LT. Lleos M l punto del PV que es trz de l rist. undo tios l rist on seiirunfereni sore el plno vertil dejndo un rstro hst tor l LT en un punto que oinide on el punto de orte D' de l rist tid 0. Luego ' D' es el rdio del tid lrededor del rist. Por otro ldo si relizos un io de plno vertil trzndo por ' un nuev LT que en VM. que trzreos y desheos el io de plno pr tener Q' que es l trz de l r. Est trz h de ortr l rist en el espio en un punto que h de ser un punto del trz l seiirunfereni en dos puntos 1, 2, tendreos dos soluiones, si en un punto, un Uniendo en el espio on 1 tendreos l rist en el espio, luego si unios ' on n1, hor y l izqd de trzos l r => 0 rist tid de on oo hrnel. Seos que 1 es un punto de rist situdo en el plno vertil, luego su ot es 0, por lo que jndo un perpendiulr LT en el punto de orte lo unios on y teneos l ph de tios 1 on oo hrnel => 1 y el punto tido 11y en VM l r Y teneos ls tres rs, podeos resolver el prole oo seos. 0 Q' '1 ' 1 LT1 11 PREDIMIENT Trzr l LT perpendiulr LT. Por ' un perpendiulr l rist que llreos LT1 (nuev LT pr el io de plno) y en el punto de orte trzr el diedro. Por ' levntos un perpendiulr hst ortr l ldo del diedro => '1 tierr) levntos un perpendiulr LT y on entro en ' y rdio ''1 oteneos '2 Unios '2 on l trz de en l LT => Q' es un ret situd en el plno vertil y que es l trz de l r, luego undo desheos el io de plno lo que tendreos es l trz Q' de l r l que ps por l trz horizontl de l rist siendo '2 el otro punto de l trz. l izqd de trzos l r en VM => 0 (rist tid de on hrnel ) y D' (trz de 0, es deir punto de orte de 0 on LT) Seguios on '1 (igul pr '2). Unios '1 on ' y teneos l trz vertil ' de. 1 del que seos que es de y de l trz vertil Q' de l r que es 1 y que por ser de l es 1=0. 0 jos por '1 un perpendiulr LT y donde l orte 1 unios on y teneos El punto 1 lo tios on rist de hrnel y tendreos en VM l r pr lo que trzos por 1 un perpendiulr l rist y prolongos. hor si pensos en 1 oo punto de l trz de Q' y que tios l trz de un plno, lo que heos es ro on entro en el punto donde ort l LT y rdio desde ese punto hst '1 y donde orte el ro l perpendiulr tendreos 11 punto tido de N1. Uniendo ' on 11 teneos 1 rist tid de on hrnel y teneos l r en VM. Y podeos resolver el prole. oo teneos perpendiulr LT el diedro l LT. n.

6 S,, DESRRLL D' Q' 1 '1 ' '2 ' l ser tid on oo hrnel '1 Si poneos l r sore el plno horizontl y l rist perpendiulr l LT. Lleos M l punto del PV que es trz de l rist. undo tios l rist on seiirunfereni sore el plno vertil dejndo un rstro hst tor l LT en un punto que oinide on el punto de orte D' de l rist tid 0. Luego ' D' es el rdio del tid lrededor del rist. Por otro ldo si relizos un io de plno vertil trzndo por ' un nuev LT que en VM. que trzreos y desheos el io de plno pr tener Q' que es l trz de l r. Est trz h de ortr l rist en el espio en un punto que h de ser un punto del trz l seiirunfereni en dos puntos 1, 2, tendreos dos soluiones, si en un punto, un Uniendo en el espio on 1 tendreos l rist en el espio, luego si unios ' on n1, hor y l izqd de trzos l r => 0 rist tid de on oo hrnel. Seos que 1 es un punto de rist situdo en el plno vertil, luego su ot es 0, por lo que jndo un perpendiulr LT en el punto de orte lo unios on y teneos l ph de tios 1 on oo hrnel => 1 y el punto tido 11y en VM l r Y teneos ls tres rs, podeos resolver el prole oo seos. 0 Q' '1 ' 1 LT1 11 PREDIMIENT Trzr l LT perpendiulr LT. Por ' un perpendiulr l rist que llreos LT1 (nuev LT pr el io de plno) y en el punto de orte trzr el diedro. Por ' levntos un perpendiulr hst ortr l ldo del diedro => '1 tierr) levntos un perpendiulr LT y on entro en ' y rdio ''1 oteneos '2 Unios '2 on l trz de en l LT => Q' es un ret situd en el plno vertil y que es l trz de l r, luego undo desheos el io de plno lo que tendreos es l trz Q' de l r l que ps por l trz horizontl de l rist siendo '2 el otro punto de l trz. l izqd de trzos l r en VM => 0 (rist tid de on hrnel ) y D' (trz de 0, es deir punto de orte de 0 on LT) Seguios on '1 (igul pr '2). Unios '1 on ' y teneos l trz vertil ' de. 1 del que seos que es de y de l trz vertil Q' de l r que es 1 y que por ser de l es 1=0. 0 jos por '1 un perpendiulr LT y donde l orte 1 unios on y teneos El punto 1 lo tios on rist de hrnel y tendreos en VM l r pr lo que trzos por 1 un perpendiulr l rist y prolongos. hor si pensos en 1 oo punto de l trz de Q' y que tios l trz de un plno, lo que heos es ro on entro en el punto donde ort l LT y rdio desde ese punto hst '1 y donde orte el ro l perpendiulr tendreos 11 punto tido de N1. Uniendo ' on 11 teneos 1 rist tid de on hrnel y teneos l r en VM. Y podeos resolver el prole. oo teneos perpendiulr LT el diedro l LT. n.

7 S, N M n n0 D ' n' DESRRLL Si oloos l r en PH y l rist perpendiulr l LT, teneos en VM el diedro Toeos un punto N ulquier sore el plno que ontiene l r y desde N podeos onstruir del siguiente odo: Trzr un ret xy perpendiulr l rist por un punto ulquier D de l is. Sore xy elegios un punto ulquier n y Insistios en que l ret ND por estr onstruid on el diedro es un ret que tenido M psos tirlo on oo hrnel y nos d 1 sore 1 y undo toos oo hrnel teneos 2 oo punto tido 2 oo rist tid. De uno y de otro teneos en VM ls rs y r. Y teneos los sufiientes dtos pr terinr el prole. '=Q' 1 1 ' d1 y ' n' d' n0 n d x 2 2 PREDIMIENT Trzos l lt Por ' Trzos el diedro Trzr l r sore PH poniendo l dereh de l rist Por un punto ulquier de trzos un perpendiulr xy y sore ell y prtir del punto d de orte trzos el diedro Por n levntos un perpendiulr LT y prolongos prtir de l LT un ot = nn0 => n' perpendiulr LT desde d y sore l is LT. Unios n'd' y prolongos hst ortr ' en ' Desde ` trzos l perpendiulr LT y prolongos hst ortr xy en. Y teneos un punto M (', ) de l rist. Por trzos un perpendiulr y por un prlel. En est prlel y desde llevos l ot ' de M y teneos 10; y on entro d1 y rdio d110 enontros en l perpendiulr 1 que es el tido de M on oo hrnel. Unir 1 y teneos 1 que on nos d en VM l r Repitiendo el proeso pr M y oo hrnel teneos: desde prlel y perpendiulr.en l prlel llevos ' y nos d 20. on entro en d y rdio d20 ortos l perpendiulr en el punto 2. Unios 2 y teneos en VM l r Y podeos terinr el ejeriio plindo lo visto nteriorente '=Q' ' ' d1 d 2 2

8 S, Plno que ontiene l r M DESRRLL rist y ' que es l trz del plno que ontiene l r.. l poyr el ono en l r del triedro teneos que l genertiz del ono que es tngente on el Lo que hreos en el proediiento es, prtir del dto de l r, tir l rist l dereh de l hrnel y teneos 0. on un punto 0 ulquier de 0, lo destios y teneos M(', ) un punto de l rist. y teneos irunfereni. tro detlle de este ono es que l irunfereni d l se es tngente l rist, luego undo PH Y podeos terinr de resolver el triedro. PREDIMIENT Trzos l LT y un punto en PH. Por trzos l rist perpendiulr LT => ' Por ' trzos el diedro => '=' teneos l pv de l rist y l trz vertil del plno que ontiene l r l iqd de trzos el dto de l r tid on oo hrnel lo que e d en VM l r y teneos 0 oo rist tid. '=' prolongos.. ' on entro d0 y rdio d00 trzos un ro hst 01. Por 01 levntos un perpendiulr LT y teneos ' sore ' y teneos sore l ret 0d0. ' f'1 f'2 de l irunfereni de entro en. Por trzos un tngente l irunfereni => l rist. Est rist on nos d l r tios M on oo hrnel y pr ello trzos desde un prlel y un perpendiulr l rist. Sore l prlel llevos ' y teneos 10. Trzos un ro de entro d1 (orte de l perpendiulr on ) y rdio d1 10 pr otener 1 punto tido de M on hrnel. Unios 1 y teneos 1 que es l rist tid lrededor de y or tnto nos d en VM l r. Y teneos ls tres rs y dos diedros, plindo lo estudido ntes terinos de resolver el triedro. 0 d0 f1 d1 f2 1 1

9 S En est figur teneos dos onos retos los que denoinos prtir de sus insrit un is esfer. En ests ondiiones se uple V Lleos (P), (Q) los plnos de l propiedd. serveos que, si el ono V tiene l se poyd en el plno horizontl: Los ejes de los onos psn por el entro de l esfer. E n V1 r (Q) (P) T L genertriz del ono V es l tngente donde se poy el plno (P) que ps (P) tiene un trz horizontl P que ps por l trz T de l ret r. L trz P es tngente l se del ono V L genertriz n del ono V1 es l que es tngente l plno (P) y l esfer onos y l esfer. los dos onos en genertries un por d ono (ntes P V V1 r n Q P s PH

10 NMENLTUR PH = Plno horizontl. PV = Plno vertil. PPV = Plno proyetnte vertil. VM = Verdder Mgnitud. DESRRLL L propiedd enunid nteriorente es l que vos usr pr resolver el triedro. ono y situd en PH. luego l rist l teneos en PH. y est se estr es l rist y est rist pertenee dos rs,. Desde luego si teneos l rist en PH, h de ser un de ls que ontienen l rist, es deir, o. (g) l trz ' del plno que ontiene l r. de un ret ontenid en (). Veos que () es un PPV. Un ret frontl ontenid en este plno es un ret que tiene l pv onfundid on l del plno ' y oo ph un prlel l LT. D, D' estos puntos sore l LT deterinn el di irunsrito l esfer pr poder plir l propiedd en l que nos sos. Esto signifi que el eje del ono es perpendiulr l plno () y que h de psr por el entro de l esfer y ser y los ldos igules del tri Pr ello rzoneos sore los ejes de los onos. El eje de V1 es un ret frontl y que su trz horizontl es perpendiulr l trz y por tnto prlel LT. os ejes deterinn un plno que es un plno frontl psndo por v. de tierr por k'. teneos en VM l r. Teneos un r y dos diedros y estos en uno de los sos estudidos nteriorente y podeos resolver el triedro ' D1 '=' v' n' v D2 v'1 k' t PREDIMIENT on LT. Trzos l pv ' del plno que ontiene l r y '. v'. 1, D2. ulquier de l pv de v'. igules hn de ser tngentes l esfer, es deir, en pv los ldos igules hn de ser tngentes l irunfereni de entro n' => v'1 Unios v'v'1 y prolongos hst l LT en k'. Trzos un prlel LT por v. Pr k' jos un perpendiulr LT y teneos t que es un punto de l rist. Por t trzos un tngente l irunfereni de entro v y se del ono V y prolongos hst orts en. Teneos l r y tres diedros luego estos en ondiiones de resolver el prole

11 TR FRM DE RESLVER EL S DEL TRIEDR UND SE NEN LS TRES DIEDRS Desde un punto ' del espio se trzn perpendiulres ls rs. teneos otro diedro que se ll polr del priero. Lleos ', ', ' ls rs del diedro polr. ' es un plno deterindo rets, ls que forn l r ' deterinn un plno que es perpendiulr l rist. son supleentrios, Luego si onoeos los tres diedros, onoeos ls vlores de ls tres rs del diedro polr y lo podeos resolver. onoidos los diedros ', ', ' del polr teneos ls rs,, del diedro pedido sin ' + = '