Resumen TEMA 6: Momentos de inercia

Transcripción

1 EMA 6: Momntos d nrca Mcánca Rsumn EMA 6: Momntos d nrca. Dfncons Sstma matral d puntos matrals d masa m, =, 2,...,. a) Momnto d nrca rspcto d un plano π md (d = dstanca d la masa m al plano π) π =Σ 2 b) Momnto d nrca rspcto d una rcta md (d = dstanca d la masa m a la rcta ) =Σ 2 c) Momnto d nrca rspcto d un punto O md (d = dstanca d la masa m al punto O) =Σ 2 O d) Producto d nrca rspcto a dos planos qu s cortan, π, λ =Σmd δ (d = dstanca d la masa m al plano π) πλ (δ = dstanca d la masa m al plano λ) 2. Rlacons ntr los momntos d nrca = + s una rcta cualqura λ, π son dos planos ortogonals nt s qu s cortan n la rcta a) π λ b) o = + π O s un punto cualqura π un plano qu contn a O la rcta prpndcular a π n O = + + π, λ, ϕ, son trs planos ortogonals s s cortan n l punto O c) o π λ ϕ 3. ormas d Stnr 2 a) = + Md s la rcta paralla a qu pasa por l cntro d masas ' d s las dstanca ntr ambas rctas

2 2 b) o = G + Md G s l cntro d masas dl sstma d = OG (dstanca ntr O G) c) πλ π' λ ' EMA 6: Momntos d nrca Mcánca = + Md δ π, λ, son los planos parallos a π λ rspctvamnt qu pasan por G. d s la dstanca ntr π π (con su sgno) 4. Eprsón analítca dl momnto d nrca a una rcta cualqura z m n vctor untaro parallo a la rcta. Entoncs d = modulo ( r n), lugo o r n r n). r n) [ n ( r n) ] r = m( ( = m. s: n=α +β j+ γk ( α +β + γ ) = Y: r = + j+ zk Hacndo opracons (hágalas) rsulta qu: dond: z z z =α +β + γ 2 αβ 2 αγ 2 βγ (),, z son los momntos d nrca rspcto los js,, z = m, = m z, z = m z z Matrcalmnt () s pud scrbr dl modo sgunt: dond: = {} [ ]{} n n (2) O {} n s la matrz fla ( α, βγ, )

3 EMA 6: Momntos d nrca Mcánca { n } la matrz columna [ ] α β γ z O = z s una matrz 33 ral smétrca z z z 5. Elpsod d nrca n un punto O a) Dfncón: s l lugar gométrco d los puntos P, stuados n la radacón d rctas con cntro n l punto O, d modo n cada una d las rctas l punto P sa tal qu: OP = (3) A partr d (2) s dduc qu OP = n= r n= r (4) dond r = + j+ z k (,, z son las coordnadas cartsanas d un punto P gnérco). Llvando (4) a (2): {} [ ]{} {} [ ]{} = r r = r r (5) O O qu s la cuacón matrcal dl lugar gométrco, qu rsulta sr una cuádrca d dámtros fntos,, por tanto, un lpsod. Su cuacón cartsana s: z z z = + + z 2 2 z 2 z b) Ejs prncpals d nrca n un punto: Los dámtros prncpals dl lpsod d nrca n un punto son los js prncpals d nrca n dcho punto. omando tals js como sstma coordnado, la cuacón dl lpsod d nrca adqur su forma canónca: z = + + z

4 EMA 6: Momntos d nrca Mcánca Corolaro: los productos d nrca rspcto a los planos dtrmnados por los js prncpals d nrca (llamados tambén planos prncpals d nrca n l punto O) son nulos. c) Dtrmnacón d los js prncpals d nrca: Las drccons corrspondn a las d los vctors propos corrspondnts a la. matrz [ ] O 6. Aplcacón a los sstmas planos: lps d nrca n un punto os lmtamos a sstmas matrals planos, a rctas puntos contndos n l msmo plano qu l sstma matral (s los puntos rctas no prtncran a s plano, ha qu aplcar la toría gnral). 6.. Dfncons Producto d nrca rspctos d dos rctas qu s cortan r, s: =Σmd δ rs d dstanca d la masa m a la rcta r (con su sgno) δ dstanca d la masa m a la rcta s (con su sgno) 6.2. Cálculo dl momnto d nrca rspcto a una rcta cualqura Oprando análogamnt al caso gnral (hágalo) s obtn: m = cos ϕ + sn ϕ 2 snϕcos ϕ o r n ϕ dond = m

5 EMA 6: Momntos d nrca Mcánca 6.3. Elps d nrca n un punto a) Dfncón: s l lugar gométrco d los puntos P sobr las rctas dl haz contndo n l plano con cntro n O, tals qu OP = Razonando d modo análogo al gnral, la cuacón d s lugar s = + 2 corrspond a una lps cuo cntro s l punto O b) Ejs prncpals d nrca n O: Son los dámtros prncpals d la lps d nrca n O. Y s llos s toman como js cartsanos la cuacón d la lps s: = + F DEL EMA 6