Lección 22: Extremos relativos y absolutos para funciones de una variable. Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

Transcripción

1 Lección 22: Extremos relativos y absolutos para funciones de una variable Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

2 Esquema: - Crecimiento - Puntos críticos y extremos relativos - Extremos absolutos

3 Crecimiento f : R R función, a R I R entorno centrado en a f creciente en a si para x 1, x 2 I, x 1 < x 2, se tiene que f(x 1 ) f(x 2 ) f decreciente en a si para x 1, x 2 I, x 1 < x 2, se tiene que f(x 1 ) f(x 2 )

4 Crecimiento f : R R función, a R, f derivable en a Si f (a) > 0, entonces f es creciente en a Si f (a) < 0, entonces f es decreciente en a

5 Crecimiento f : R R función, a R, f derivable en a Si f (a) > 0, entonces f es creciente en a Si f (a) < 0, entonces f es decreciente en a

6 Extremos relativos f : R R función, a R f tiene un mínimo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε)

7 Extremos relativos f : R R función, a R f tiene un mínimo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε) f tiene un máximo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε)

8 Extremos relativos f : R R función, a R f tiene un mínimo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε) f tiene un máximo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε)

9 Extremos relativos f : R R función, a R f tiene un mínimo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε) f tiene un máximo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε)

10 Extremos relativos f : R R función, a R f tiene un mínimo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε) f tiene un máximo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε)

11 Extremos relativos f : R R función, a R f tiene un mínimo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε) f tiene un máximo relativo en a si f(a) f(x), para todo x (a ε, a + ε)

12 Cálculo de extremos relativos: f : R R función

13 Cálculo de extremos relativos: f : R R función 1. Hallar los puntos críticos (puntos donde f no es derivable, o puntos donde f (x) = 0) Recta tangente horizontal

14 Cálculo de extremos relativos: f : R R función 1. Hallar los puntos críticos (puntos donde f no es derivable, o puntos donde f (x) = 0) 2. Sea a un punto crítico de f

15 Cálculo de extremos relativos: f : R R función 1. Hallar los puntos críticos (puntos donde f no es derivable, o puntos donde f (x) = 0) 2. Sea a un punto crítico de f - Si f no es derivable en a Estudio del crecimiento (a izquierda y derecha de a, y valores tomados por f)

16 Cálculo de extremos relativos: f : R R función 1. Hallar los puntos críticos (puntos donde f no es derivable, o puntos donde f (x) = 0) 2. Sea a un punto crítico de f - Si f es derivable en a f (a) > 0 a mínimo relativo f (a) < 0 a máximo relativo f (a) = 0 Sin información

17 Caso f (a) = 0, f (a) = 0: Buscar la primera derivada no nula de f en a: f n) (a) 0

18 Caso f (a) = 0, f (a) = 0: Buscar la primera derivada no nula de f en a: f n) (a) 0 - Si dicha derivada es par Criterio anterior

19 Caso f (a) = 0, f (a) = 0: Buscar la primera derivada no nula de f en a: f n) (a) 0 - Si dicha derivada es par Criterio anterior - Si dicha derivada es impar a es un punto de inflexión Punto de inflexión de la función

20 Ejemplos: (archivo extremos.mws) 1. f(x) = x f(x) = x 3 3. f(x) = e x 4. f(x) = 12x x 2 144x 2 5. f(x) = L n (x 4 + x 2 + 1) 6. f(x) = e 3x2 2x+2 7. f(x) = xe 4x

21 Extremos absolutos f : R R función, a R f tiene un mínimo absoluto en a si f(a) f(x), para todo x R

22 Extremos absolutos f : R R función, a R f tiene un mínimo absoluto en a si f(a) f(x), para todo x R f tiene un máximo absoluto en a si f(a) f(x), para todo x R

23 Extremos absolutos f : R R función, a R f tiene un mínimo absoluto en a si f(a) f(x), para todo x R f tiene un máximo absoluto en a si f(a) f(x), para todo x R

24 Extremos absolutos f : R R función, a R f tiene un mínimo absoluto en a si f(a) f(x), para todo x R f tiene un máximo absoluto en a si f(a) f(x), para todo x R Parábola: sólo un mínimo absoluto Exponencial: sin extremos absolutos

25 Extremos absolutos Candidatos: Los extremos relativos

26 Extremos absolutos Candidatos: Los extremos relativos Cálculo: Evaluamos la función en los extremos relativos, y hallamos los ĺımites: - en +, en (o en los puntos del borde del dominio de f) - en los puntos donde f no esté definida Los valores máximo y mínimo obtenidos los extremos absolutos

27 Ejercicios: - Hallar los extremos relativos y absolutos de f(x) = x 3 + a x 2 + 1, en función del parámetro a R. - Sea f : [ 4, 4] R, f(x) = x e a x, con a R. Calcular sus extremos relativos y absolutos.