24 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

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1 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

2 TEMA 7. INTEGRALES DEFINIDAS. ÁREAS.. Aproimación de áreas bajo una curva. Límite de la definición, integral definida.. Área comprendida por una función y el eje OX.. Área comprendida entre varias funciones José Luis Lorente Aragón 5

3 Conteto con la P.A.U. Los problemas relacionados con áreas en selectividad aparecen, bien en cuestiones de un punto, o bien en un apartado de un problema de funciones. Por lo general, cuando las integrales definidas aparecen en cuestiones de un punto, se suelen pedir las áreas encerradas entre parábolas y rectas; y cuando están en un apartado de un problema de funciones, el área es la comprendida entre la función del problema y el eje OX. ANEXO: Representación de parábolas: y=f()=a +b+c: - Vértice en V(,y ), donde =-b/a y y =f( ) - Si a> función cóncava hacia arriba ( ), y si a< cóncava hacia abajo ( ) - Los puntos de corte con el eje OX son las soluciones de la ecuación de segundo grado a +b+c=. Nota: Ejemplo: y= +5+6 Si y > y a>,no corta con el eje OX Si y < y a<,no corta con el eje OX V(,y ): =.5; y =f(-.5)=-.5. Por tanto V(-.5,-.5) Puntos de corte (-,), (-,) 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

4 . Aproimación de áreas bajo una curva. Límite de la definición, integral definida. Hay infinidad de funciones etraídas del mundo real (científico, económico, física ) para las cuales tiene especial relevancia calcular el área bajo su gráfica. Vamos a ocuparnos del cálculo de estas áreas. Veamos un ejemplo práctico; imaginemos que la función v(t) representa la velocidad de un cuerpo en el tiempo, con la siguiente gráfica: v a b t Queremos calcular el espacio recorrido entre t=a y t=b, por dicho cuerpo. El espacio será igual al área comprendida entre la gráfica y el eje de abscisas en el intervalo [a,b]. Una idea, utilizada desde la antigüedad para medir áreas, consiste en dividir el intervalo ( b a) [a,b] en n pequeños tramos amplitud ε =. Estos tramos tienen por etremos los n siguientes puntos: a= < < < n =b, donde =a+ε, =a+ε Podemos aproimar el área como la suma de los rectángulos con base ε y de altura m i o M i, donde m i es el menor valor de la función en el intervalo [ i, i+ ], y M i el mayor valor de la función en el intervalo [ i, i+ ]. Veamos gráficamente las áreas calculadas: a) Suma superior b) Suma inferior José Luis Lorente Aragón 7

5 Designemos al área calculada en a) como suma superior de Rieman, S(f()), siendo la calculada en b) la suma inferior de Rieman, s(f()). Se cumple: S(f()) área s(f()) Los valores de las sumas de Rieman son: S(f())=M ( - )+M ( - )+ +M n ( n - n- ) s(f())= m ( - )+m ( - )+ +m n ( n - n- ) Es fácil darse cuenta que cuanto mayor sea el número, n, de intervalos, y por tanto cuanto menor sea ε, más se aproimarán al área eacta S(f()) y s(f(). Así si n, s(f())=area=s(f()). Se cumple así que lim s ( f ( )) = lim S( f ( )) = f ( ) d, que es la integral definida de n f() con etremos a y b. n Regla de Barrow: Si F() es una primitiva de f(), el valor de la integral definida de f() b es: Área= f ( ) d = F( b) F( a) a Ejemplo, sea un movimiento con aceleración constante a, v = v + at. Sea v =m/s y a=g=-m/s v(t)=-t. Queremos calcular el espacio recorrido desde t= hasta que el cuerpo se pare t=s: v b a S = f 8 ( t ) dt = t t = [ v t + at ] = s s = ( 5 ) ( 5 ) = 8 = m S t. Área comprendida por una función y el eje OX En el apartado anterior la función f() siempre estaba sobre el eje OX (f()>). En el caso de que la función por debajo del eje OX (f()<) el área que obtendremos por el método de la integral definida será la misma pero negativa. De esta forma, para calcular el área comprendida entre la función f() y el eje OX, tendremos que ver primero los intervalos donde la función es positiva, y cuando es negativa. Supongamos que queremos calcular el área de la siguiente curva y el eje OX: 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

6 A c A d A c Area=A +A +A = f ( ) d f ( ) d + a c f ( ) d d d Conclusión, pasos para calcular el área entre una curva y el eje OX: ) Calcular los puntos de corte de la función con el eje OX ) Estudiar el signo de la función entre los puntos de corte ) Calcular una primitiva de f(), F(). ) Calcular el área en cada intervalo y sumarlas. Ejemplos: Septiembre del 5. Prueba A. PR-.b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f() y las rectas =-, =, y=. Siendo f()= ln, Corte con eje OX: f()= ln(+ )= + =e = = = Intervalo (-,) (,) Signo f() + + b Área A = d A = ln( + ) d A = d = = = u =. u F= ln( + ) d = ln(+ )- d = ln(+ )-+arctg() + d + u=ln(+ ) du = d + dv=d v= A = ln( + ) d = F() F() = ( ln() + arctg() ) ( ln( ) + arctg() ) = José Luis Lorente Aragón 9

7 =ln()-+ /-( )=ln()+/-,6 u A=A +A =/+ln()+/-= ln()+/-5/,6 u Nota: el resultado de los arcotangentes, arcosenos y arcocosenos se dan en radianes. Ayuda para el cálculo de F(): + d = d + + = arctg( ) { Junio del 6. Prueba B PR-. b) Calcúlese el área de la región limitada por f()= y las rectas =, =, y=. Corte con eje OX: f()= = A A Intervalo (,) (,) Signo f() - + Área A = - + d A = + d A=A +A + A = d = [ ln( + ) ] = [ ( ln() ) ( ln() )] = ( ln() ),7 u Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

8 + = + = A = d [ ln( ) ] ( ln() ) ( ln() ) 9 ln() ln( ) d = + d A=8-ln()+ln(),67 u d = ln( + ) + = + u,u Ejercicio Calcular el área comprendida entre el eje, =-, =7 y la función f()= Corte con el eje OX: f()= = Intervalos (-,) (,7) Signo f() - + Área A = + d 7 A = + d A A F ( ) = d = ln( + ) + [ ln( + ) ] = ( ln() ) ( ln() ) A = d = [ ] ln() =,7 u + = 7 7 d = [ ln( + ) ] = ( ln(5) ) ( ln() ) [ ] ln(5) A =,9 u + A=ln()+ln(5),6 u. Área comprendida entre varias funciones Cuando queremos calcular el área comprendida entre dos funciones, f() y g(), tendremos que restar al área de la función que está por encima menos la función que está por debajo. Pasos José Luis Lorente Aragón

9 Calcular los puntos donde se cortan las dos funciones. Estos se obtienen resolviendo la ecuación f()=g(), En los intervalos definidos por los puntos de corte vemos si f() está por encima de g() f()>g() o por debajo f()<g(). El área en cada intervalo es la integral definida con etremos los del intervalo y función de integración (f()-g()) si f()>g() ó (g()-f()) si f()<g() Ejemplo gráfico: A A A a b c d Intervalo (a,b) (b,c) (c,d) Encima g() f() g() Debajo f() g() f() Área b A = g ( ) f ( ) A = ) a c b f ( g( ) A = g ( ) f ( ) c d Ejercicios: Septiembre 6. Prueba A C-. Estudiar el área del recinto limitado por la curva y= - + y su recta tangente en =. a) recta tangente, m=f ()= (,f())=(,) y= Puntos de corte f()= - + y g()= - += - = =, = Gráfico de la función f() y la recta tangente: Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

10 Cuando no nos dan los intervalos de integración en, entonces se supone que el área pedida es el área entre sus dos puntos de corte. Intervalo (,) Encima A Debajo - + Área A = ( + ) 8 = ( + ) d = + = + 7 ( ) 88 7 = = u 6,75 u Junio 6. Prueba A C-.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y=- y la recta y=-. Puntos de corte f()=- y g()=- = + = =, =- Intervalo (-,) Encima - Debajo - ( ) Área A= ( ) d José Luis Lorente Aragón

11 A = = ( ( ( + ) ( )) d = ( + ) ) = u,7 u d = + = Junio 5, Prueba B C-.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y=f()=, y=g()= /, y=h()= Puntos de corte gráficas f() y g() = / = = f() y h() = =, = g() y h() /= = =, = / Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

12 Intervalo (,) (,) Encima Debajo / / Área A = ( ) d A = ( ) A = ( ) d = d = = ( ) d 8 = u, u 6 6 A = ( ) A=A +A = u d = = 6 = = u,7 u Septiembre de, Prueba A C-.- Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas y=f()=6- e y=g()= -. Veamos los puntos de corte: 6- = - -8= =, = Intervalo (,) Encima 6- Debajo - Área A= ( ( ) ) 6 d 8 6 ( 6 + ) ) d = ( 8 ) d = = 6 ( ) = u, u A = José Luis Lorente Aragón 5

13 Septiembre de, Prueba B C-.- Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=f()=-, y=g()=- Veamos los puntos de corte: - =- --= =, =- Intervalo (-,) encima - debajo - Área A= ( ( ) ) d A = =,5 u ( + ) ) d = ( + ) ) d = + = = 9 Junio de 7, Prueba B C-. Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones cuyas epresiones analíticas son y=f()= -, y=g()=-6 Puntos de Corte: -=-6 -+= =, =. Intervalo (,) Encima -6 Debajo - Área ( 6 ( ) ) d ( 6 ( ) ) A = d = ( + ) d = 8 = ( + 6 ) ( + ).7 u + = 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

14 Junio. Prueba A PR-. Sea la función y= e -. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas = y = -. y e = e = e si si < Veamos si f() corta el eje OX: (y=) = e - no solución. Luego sólo hay que considerar en el intervalo el valor = (donde cambia de epresión analítica). Se cumple que f()> en todo intervalo: Intervalo (-,) (,) Área A = d e A = e d e F( ) = e = = e G( ) A = A = = e e = = e e d = F() F( ) = e,86 u d = G() G() =,86 u A=A+A,7 u Junio 5. Prueba A PR-.- b) f()=, calcúlese. f ( ) d = ( e d = F() F() = e t dt t F( ) = e = e dt = e 8 e ).5 dt = t = dt dt = José Luis Lorente Aragón 7

15 Junio. Prueba B PR-.- Sea f()= +a +b+c. Determínense a, b y c de modo que f() tenga un etremo relativo en =, la recta tangente a la gráfica de f() en = sea paralela a la recta y-=, y el área comprendida por la gráfica de f(), el eje OX y las rectas =, =, sea igual a. Calculemos las derivadas f ()= +a+b a) Etremo relativo en = f ()=b b= b) Recta tangente en = y paralela a y= f ()=+a= a=/ c) f()= +.5 +c ( c) d = + + c = + + c = Junio 7. Prueba A PR- b) Sea f()= =, =. 6 6 c=7/. Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas Veamos en este intervalo si la función está por encima o debajo del eje OX f()= =. Además tiene asíntotas verticales son en =y =-. Pero ninguno de estos valores de están en el intervalo (-,-) y por esto f() mismo signo en este intervalo: Intervalo (-,-) Signo(f()) - Área A=- d F( ) = d = d = ln( ) A=- d =-(F(-)-F(-))=-(.5ln()-.5ln(5))=,5ln(5),85u 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

16 Junio 8. Prueba B PR- Sea f()=, b) Calcular Como, cumple que ó ó = cos( ( ) ( ) = sen f d d = sen( ) d = ) Junio 7. Prueba A = (cos( cos( )) = ( ( )) = sen( ) d = C-.- Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y=ln(), el eje OX y las rectas = y =. Tenemos que ver el signo de la función en el intervalo (,): ln()= =e =. Como (,) la función no cambia de signo, veamos el signo: Intervalo (,) Signo(f()) + Área A= ln( ) d d F( ) = ln( ) = ln( ) = dv = d ( ln( ) ) u = ln( ) du = v = A= ln( ) d =F()-F()=[ ln()--(ln()-)]=ln()-.9 u Septiembre 7. Prueba B PR-.- Sea la función eje OX y las rectas =-, =. d. El área de la región limitada por la gráfica de f, el Tenemos que ver el signo de la función en el intervalo (-,): f()= =. Como (-,) cambia de signo: Intervalo (-,) (,) Signo(f()) - + Área A =- + d A = + d José Luis Lorente Aragón 9

17 F ( ) = d = = ln( + d d= ln() ln( 8) = ln(). 5 A =- [ ] + A =- d = [ ln(8) ln() ] = ln(). u 5 A= A + A =ln(),7 u ) u Septiembre 5. Prueba B PR-.- Sea P(a, sen a) un punto de la gráfica de la función f()=sen() en el intervalo [,]. Sea r p la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y A p el área de la región determinada por las rectas r p, =, =, y=. Calcúlese el punto P para el cual el área A p es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta r p se mantiene por encima del eje X entre y ) Calculemos la recta r p : m=f (a)=cos(a) y que pasa por P(a, sen(a)) r p : y=cos(a)(-a)+sen(a)=cos(a)-a cos(a)+sen(a) A = = ( cos( a) a cos( a) + sen( a) ) cos( a) a cos( a) + sen( a) = cos( a) d = cos( a) + ( a cos( a) + sen( a)) a cos( a) + sen( a) Luego la función a minimizar es f(a)= cos( a) a cos( a) + sen( a) f (a)= sen( a) + asen( a) cos( a) + cos( a) = sen( a)( a / ) = a- /= a =, sen(a)= sólo a=. Sólo a = (,) Demostremos que para este valor de a el área es máima f (a)=cos(a)(a- /)+sen(a) f ( )> mínimo. = Luego la recta es y= cos - cos +sen r p : y=. Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

18 José Luis Lorente Aragón