MODELIZACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO Y BIS II

Transcripción

1 MODELIZACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO Y BIS II Frst RskLab Internatonal Conference Madrd, 8 de Octubre METODOLOGIA DE RIESGOS Juan Carlos García Céspedes

2 Resumen de Contendos -. El modelo de Merton -. El modelo de BIS II 3-. La dstrbucón de defaults defaults en BIS II 4-. La fórmula de captal en BIS II 5-. El mpacto de la LGD 6-. La Correlacón de actvos: estmacones 7-. Una extensón: modelo bfactoral 8-. Conclusones 9-. Bblografía Anexos Metodología de Resgos Corporatvos

3 -. El modelo de Merton de crédto El default de una compañía se produce cuando el valor de sus actvos cae por debajo del nvel de su deuda. N lqudando todos sus actvos podría repagar la deuda Nvel de deuda / valor de los actvos Actvo año Valor ncal del actvo Nvel de deuda Valor del actvo al cabo de un año En todos estos escenaros no se produce default Escenaro de default: El valor del actvo cae por debajo del nvel de deuda Metodología de Resgos Corporatvos 3

4 Es fácl vsualzar el modelo de Merton para dos contrapartdas. La correlacón entre los defaults vene determnada por la correlacón entre los actvos de las compañías... Sólo ncumple la compañía Las dos compañías ncumplen COMPAÑÍA Nnguna compañía ncumple Sólo ncumple la compañía COMPAÑÍA Metodología de Resgos Corporatvos 4

5 Cuanto maor es la correlacón entre los actvos de las compañías maor es la probabldad de default conjunto maor es por tanto la correlacón entre los defaults. Sólo ncumple la compañía Las dos compañías ncumplen COMPAÑÍA Nnguna compañía ncumple Sólo ncumple la compañía COMPAÑÍA Metodología de Resgos Corporatvos 5

6 .-El modelo de BIS II Es una aproxmacón nsprada en el modelo de Merton donde: El número de contrapartdas en el portfolo n tende a nfnto El tamaño de las exposcones de todas las contrapartdas es gual a /n, por tanto tende a cero. Todas las contrapartdas tenen gual probabldad ndvdual de ncumplmento, p. El valor de los actvos de todas las compañías sgue un proceso gaussano,..d.: donde f es un factor común a todas las compañías modelo unfactoral La correlacón entre los actvos de todas las contrapartdas es gual a En este contexto, exste formula cerrada para la dstrbucón de los defaults Metodología de Resgos Corporatvos 6 V f + ξ

7 La formula de la dstrbucón acumulada de defaults es Donde: F x P [ ] X x Φ Φ x Φ p Φ es la dstrbucón normal estándar acumulada Φ - es la dstrbucón normal estándar nversa es la correlacón de actvos p es la probabldad ndvdual de ncumplmento Dervando la expresón anteror se obtene la formula de la densdad de defaults: f x exp Φ x Φ p Φ x [ ] El truco para llegar a las fórmulas anterores estrba en condconar los defaults a la realzacón del factor utlzar la le de las esperanzas teradas. Metodología de Resgos Corporatvos 7

8 3.-Dstrbucón de defaults en el BIS II Conforme la correlacón de actvos es maor, la densdad de las pérddas credtcas es más asmétrca la cola mucho más gruesa. Las gráfcas corresponden a una cartera con contrapartdas con PD del 5% dferentes correlacones de actvos entre % 30%. Metodología de Resgos Corporatvos 8

9 Se puede ver en un nuevo gráfco: Todas las dstrbucones tenen de meda 5%, sn embargo la forma camba en funcón de las correlacones de actvos Las gráfcas corresponden a una cartera con contrapartdas con PD del 5% dferentes correlacones de actvos entre % 30%. Meda del 5% Colas más gruesas conforme crece la correlacón Metodología de Resgos Corporatvos 9

10 La dstrbucón acumulada mde el captal. El captal no es más que un determnado percentl de la dstrbucón de defaults. Metodología de Resgos Corporatvos 0

11 Por ejemplo, el percentl 99% con una correlacón de actvos del 7,5% mplca una tasa de defaults del 5%, mentras que el msmo percentl para una correlacón del 0% supone una tasa de defaults del 5%. Metodología de Resgos Corporatvos

12 El mpacto de la correlacón en los percentles de la dstrbucón por tanto en el captal es mportante. Por ejemplo pasar de una correlacón del 0% al 8% práctcamente es dvdr por el percentl. Metodología de Resgos Corporatvos

13 4.- La fórmula de Captal en BIS II BIS II utlza como base el modelo antes descrto, el captal se calcula para un nvel de confanza del 99,5%, con una correlacón de actvos del 0% suponendo que el Loss Gven Default LGD es constante. Adconalmente, exsten dos factores, uno que capta el efecto del plazo otro que determna el anclaje, que no serán objeto de análss en esta presentacón Captal Regulatoro LGD Φ Φ p Φ Q LGD Φ 0. Φ p 0. Φ..995 LGD Φ.8 Φ p.88 Metodología de Resgos Corporatvos 3

14 5.- El mpacto de la LGD Captal Regulatoro LGD Φ.8Φ p.88 S se representa la ecuacón anteror se obtenen las fguras sguentes, este es el núcleo de la propuesta de BIS II: Metodología de Resgos Corporatvos 4

15 Es posble obtener la funcón de captal para dstntos valores de LGD. Captal Regulatoro LGD Φ.8 Φ EL LGD.88 Metodología de Resgos Corporatvos 5

16 Una crcunstanca nteresante de BIS II es que dado que el captal, para un msmo nvel de pérdda esperada, pueda ser dferente, dependendo del valor de la LGD A gual pérdda esperada, una menor LGD da lugar a menores requermentos de captal. EL Captal Regulatoro LGD Φ.8Φ p.88 LGD Φ.8Φ.88 LGD Detalle Metodología de Resgos Corporatvos 6

17 El modelo de Baslea II tene entre otros muchos dos supuestos báscos que determnan en gran medda los requermentos de captal: La correlacón de actvos: supuesto del 0% para empresas El supuesto de modelo unfactoral Sería mu nteresante determnar empírcamente la valdez de dchos supuestos o al menos acotar su mpacto en el consumo de captal. Metodología de Resgos Corporatvos 7

18 6-. La Correlacón de actvos: estmacones Es complcado contrastar empírcamente el supuesto de correlacón mplícto en la propuesta por Baslea dada la poca dsponbldad de datos. Sn embargo es posble hacer algún ejercco utlzando datos de agencas de ratng. El gráfco presenta las tasa de default desde 970 hasta ho para los grados Baa, Ba B de Moods. 5% 0% 5% 0% 5% 0% Emprcal Default frequenc Baa Ba B Year Metodología de Resgos Corporatvos 8

19 Se puede obtener la dstrbucón acumulada empírca de defaults compararla con la propuesta por Baslea CDF for 0% asset correlaton 00% Ba corporates 00% B corporates 90% 90% 80% 80% 70% 70% 60% 60% 50% 50% 40% 30% 40% 30% Asset correlaton 0% 0% 0% 0% Asset Correlaton 0% 0% 0.0% 0.5%.0%.5%.0%.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 0% 0% 0% 3% 6% 9% % 5% 8% % 4% 00% Speculatve grade 00% All corporates 90% 90% 80% 80% 70% 70% 60% 60% 50% 50% 40% 30% Asset correlaton 0% 40% 30% Asset correlaton 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 0% 0.0% 0.5%.0%.5%.0%.5% 3.0% 3.5% Metodología de Resgos Corporatvos 9

20 La conclusón es que la dstrbucón propuesta por Baslea sobreestma el resgo, en la realdad las tasas de default en las colas son menores. 00% Ba corparates 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% 0.0%.0%.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% Defaults al 90% de confanza, dstrbucón empírca Metodología de Resgos Corporatvos 0 Defaults al 90% de confanza, dstrbucón BIS II

21 Un ejercco nteresante es estmar la correlacón de actvos mplcta en los datos empírcos. Dcha correlacón está en el entorno al 0% frente al propuesto 0% de Baslea. CDF for dfferent asset correlatons 00% Ba corporates 00% B corporates 90% 90% 80% 80% 70% 70% 60% 60% 50% 50% 40% 30% Asset Correlaton,7% 40% 30% Asset correlaton,6% 0% 0% 0% 0% 0.0% 0.5%. 0%.5%.0%.5% 3. 0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 0% 0% 0% 3% 6% 9% % 5% 8% % 4% 00% Speculatve grade 00% All corporates 90% 90% 80% 80% 70% 70% 60% 60% 50% 50% 40% 30% Asset correlaton 9,6% 40% 30% Asset correlaton 8,% 0% 0% 0% 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 0% 0% 0% 0.0% 0.5%.0%.5%.0%.5% 3.0% 3.5% Metodología de Resgos Corporatvos

22 Los gráfcos sguentes presentan: -las dstrbucón acumulada empírca -la propuesta por Baslea con correlacón del 0% - la curva que resultaría utlzando una correlacón del 0%. El ajuste con correlacón del 0% es claramente mejor en todos los percentles, ncludos los percentles por encma del 80%. 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% Speculatve-Grade 0% Speculatve-Grade 0% Emprcal 0% % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% All Corporates 0% All Corporates 0% Emprcal 0.0% 0.5%.0%.5%.0%.5% 3.0% 3.5% Metodología de Resgos Corporatvos

23 7-. Una extensón: modelo bfactoral En relacón al uso de un modelo unfactoral su mpacto en el consumo de captal se ha desarrollado un modelo bfactoral para poder así estudar las dferencas respecto del modelo unfactoral. Para vsualzar el modelo se puede pensar en los sguentes térmnos: Se supone que exsten dos economías-países, cada una de ellas drgda por un únco factor, e nterrelaconadas a través de la correlacón entre dchos factores para vsualzar el modelo, podría pensarse que el factor fuese el PIB de cada una de las economías-países. Exsten dos tpos de empresas, de manera que el valor de los actvos que toma cada una de las empresas depende del factor de nuevo pénsese en el PIB específco de la economía-país a la que pertenece Metodología de Resgos Corporatvos 3

24 En la economía exsten, por tanto, dos tpos de contrapartdas una por cada economía-país: Las contrapartdas de tpo, todas con gual probabldad de ncumplmento p e gual correlacón de actvos..el valor de sus actvos está afectado sólo por el factor f. Las contrapartdas de tpo, todas con gual probabldad de ncumplmento p e gual correlacón de actvos,. El valor de sus actvos está afectado sólo por el factor f. Relacón entre factores f f + F F corr f, f F ζ V f + ξ Metodología de Resgos Corporatvos 4 Valor de las empresas j j V f + ξ

25 Metodología de Resgos Corporatvos 5 La dstrbucón de defaults en este contexto no tene solucón analítca como en el caso unfactoral Es necesaro resolver la doble ntegral sguente. Ω, d d x F φ { } x K n K n a s Φ + Φ Ω.., Dcha ntegral se puede resolver medante métodos numércos.

26 A fn de ver con números el mpacto de utlzar un modelo unfactoral versus otro bfactoral, se han realzado algunas smulacones para las que se ha supuesto: p : Probabldad de ncumplmento de las contrapartdas afectadas por el factor contrapartdas de tpo : % p : Probabldad de ncumplmento de las contrapartdas afectadas por el factor contrapartdas de tpo : 3% n : Porcentaje de contrapartdas de tpo : varía entre 0% 00% n -n : porcentaje de contrapartdas de tpo : varía entre 0% 00% : Correlacón de actvos de las contrapartdas de tpo : 0% * : correlacón de actvos de las contrapartdas de tpo: 0% * f : Correlacón entre el factor el factor : varía entre 0% 00% * Para ser consstentes con el supuesto de BISII Metodología de Resgos Corporatvos 6

27 Prmera smulacón: sensbldad a la correlacón entre los factores p : Probabldad de ncumplmento de las contrapartdas afectadas por el factor contrapartdas de tpo : % p : Probabldad de ncumplmento de las contrapartdas afectadas por el factor contrapartdas de tpo : 3% n : Porcentaje de contrapartdas de tpo : 90% n : porcentaje de contrapartdas de tpo : 0% : Correlacón de actvos de las contrapartdas de tpo : 0% : correlacón de actvos de las contrapartdas de tpo: 0% f : Correlacón entre el factor el factor : varía entre 0% 00% Un banco ha ncorporado a su cartera un 0% de préstamos, en un nuevo país, con maor PD. Cuál es el mpacto en su captal económco? regulatoro? Metodología de Resgos Corporatvos 7

28 El gráfco adjunto presenta las colas de la dstrbucón de defaults de la cartera para 5 nveles dferentes de correlacón entre los dos factores países Metodología de Resgos Corporatvos 8

29 Se puede comparar, para cada nvel de confanza la cartera antes descrta, el ncremento porcentual de consumo de captal que supone asumr el modelo unfactoral respecto a otro bfactoral con dferentes grados de correlacón entre factores. Metodología de Resgos Corporatvos 9

30 Segunda smulacón: sensbldad a la estructura de la cartera p : Probabldad de ncumplmento de las contrapartdas afectadas por el factor contrapartdas de tpo : % p : Probabldad de ncumplmento de las contrapartdas afectadas por el factor contrapartdas de tpo : 3% n : Porcentaje de contrapartdas de tpo : varía entre 0 00% n : porcentaje de contrapartdas de tpo : varía en funcón de n : Correlacón de actvos de las contrapartdas de tpo : 0% : correlacón de actvos de las contrapartdas de tpo: 0% f : Correlacón entre el factor el factor : 5% Un banco está pensando en ncorporar a su cartera préstamos, en un nuevo país, con maor PD baja correlacón. Cuántos préstamos debería ncorporar? De nuevo, qué mpacto tendrá esto en el captal económco regulatoro? Metodología de Resgos Corporatvos 30

31 La línea roja mde el percentl 99,5% para dferentes combnacones de porcentajes de préstamos tpo consderando una correlacón entre factores del 5%. La línea morada es el caso unfactoral que es gual que suponer una correlacón de factores del 00%... El gráfco nferor mde el exceso de captal del modelo unfactoral respecto del modelo bfactoral con correlacón entre factores del 5% Metodología de Resgos Corporatvos 3

32 Añadr préstamos de peor caldad ncluso reduce el captal requerdo En el modelo unfactoral, añadr a la cartera con préstamos de PD % otros préstamos con PD superor 3% sempre ncrementa las necesdades de captal. Sn embargo, en el modelo bfactoral añadr préstamos con PD del 3% en cantdades razonables, nferores a un 30% ncluso dsmnue lgeramente las necesdades de captal debdo al efecto de dversfcacón. Metodología de Resgos Corporatvos 3

33 Resulta nteresante determnar cuál es el nvel de correlacón que bajo el modelo unfactoral genera las msmas necesdades de captal que el modelo bfactoral con correlacón de factores del 5%. Exsten combnacones de cartera que reducrían el nvel de correlacón mplícta hasta el.50%. Estos resultados están en línea con los obtendos del análss empírco de los defaults hstórcos Mood s Metodología de Resgos Corporatvos 33

34 8.- Conclusones I Modelo BIS II: Consste báscamente en la aplcacón del modelo de Merton a una cartera con nfntas contrapartdas guales dentro de una economía unfactoral. Este caso admte una solucón analítca.. Tratamento de la LGD: En el modelo BIS II la LGD no es aleatora, es un parámetro constante, esto derva en que la LGD afecta al captal de manera proporconal se puede convertr en un factor crítco en el modelo. Parametrzacon conservadora conservadora. En el caso de empresas, el parámetro de correlacón elegdo por Baslea es del 0%. Análss empírcos sobre muestras hstórcas de defaults nducen a pensar que la correlacón es del orden de la mtad 0%. Metodología de Resgos Corporatvos 34

35 8.- Conclusones II Es posble extender el modelo de BIS II al caso de economías n- factorales s ben a costa de perder la solucón analítca a la dstrbucón de defaults. Un ejemplo nteresante es el caso de un modelo bfactoral se puede nterpretar como el caso de nversones en dos economías-países unfactorales que tenen entre s un certo grado de correlacón. En este contexto el uso del modelo propuesto por BIS II: Es conservador desncentva la dversfcacón Para palar estos problemas dentro del modelo unfactoral una posble solucón sería modfcar, a la baja, el supuesto de correlacón. Metodología de Resgos Corporatvos 35

36 9.- Bblografía Factor Models for portfolo credt rsk. Phlpp J. Schönbucher. The New Basel Captal Accord. An Analtc Approach to Credt Rsk of Large Corporate Bond and Loan Portfolos. Andre Lucas, Peter Klaassen, Peter Sprej, and Stefan Straetmans Default and Recover Rates of CorporateBond Issuers: 000. Mood s Investors Servce. Modellng Dependences n Credt Rsk Management. Dploma Thess of Mark A. Nfeler. Swss Federal Insttute of Technolog Zurch. Portfolo Management of Default Rsk. KMV Corporaton Metodología de Resgos Corporatvos 36

37 ANEXO I FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE DEFAULTS PARA EL CASO UNIFACTORIAL Metodología de Resgos Corporatvos 37

38 Metodología de Resgos Corporatvos 38 f V ξ + [ ] [ ] Φ < < + < ξ ξ K f f K P f K f P f K T P V p p K K K P V p Φ Φ [ ] Y p X P Dervacón de la dstrbucón de Dervacón de la dstrbucón de defaults defaults en un modelo en un modelo unfactoral unfactoral I I El valor de los actvos de la empresa está drgdo por un factor común f Exste una relacón entre la probabldad de ncumplmento de la empresa la barrera de default K. Es posble calcular la probabldad de default condconada a la realzacón del factor f. Condconando a la realzacón del factor f, los defaults de la cartera son varables ndependentes. Aplcando la le de los grandes números se puede afrmar que con probabldad la tasa de defaults será gual a la probabldad condconada de default

39 Metodología de Resgos Corporatvos 39 [ ] [ ] Φ Φ Φ Φ + Φ Φ K x x K d d d Y x p X P x X P x K x K 0 φ φ φ [ ] Φ Φ Φ p x x X P x F Dervacón Dervacón de la dstrbucón de de la dstrbucón de defaults defaults en un modelo en un modelo unfactoral unfactoral II II Aplcando la le de las esperanzas teradas se tene... La ntegral anteror se puede resolver analítcamente Así se obtene la funcón de dstrbucón acumulada [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d Y x p X P d Y x X P Y x X P E x X P φ φ

40 ANEXO II FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE DEFAULTS PARA EL CASO BIFACTORIAL Metodología de Resgos Corporatvos 40

41 Metodología de Resgos Corporatvos 4 Dervacón de la dstrbucón de Dervacón de la dstrbucón de defaults defaults en un modelo en un modelo bfactoral bfactoral I I El valor de los actvos de las empresas están drgdos por dos factores correlaconados, f f F corr f V ξ + j j f V ξ + Es posble calcular la probabldad de default condconada a la realzacón de los dos factores f f. [ ] [ ] Φ Φ < < + < ξ ξ K f f K P f K f P f K P V p [ ] [ ] Φ Φ < < + < ξ ξ K f f K P f K f P f K P V p

42 Dervacón de la dstrbucón de defaults en un modelo bfactoral II Condconando en este caso a la realzacón de ambos factores, los defaults de la cartera son varables ndependentes, de nuevo se aplca la le de los grandes números... P [ X n p + n p Y, Y ] De nuevo aplcando la le de las esperanzas teradas... P [ X x] E[ P[ X x Y, Y ] + + P[ X x, ] φ, d d + + P[ X n p + n p x Y ] φ, d d En este caso la ntegral anteror se resuelve numércamente P [ X x] φ, d d n p + n p x Metodología de Resgos Corporatvos 4