Tema 1 : INTRODUCCIÓN

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1 Introduccón a la Econometría Tema 1: ITRODUCCIÓ Tema 1 : ITRODUCCIÓ 1.1 Análss de datos bdmensonales. Cuando estudamos un enómeno con dos característcas observables que creemos puedan tener relacón o cuando analzamos la posble relacón entre dos enómenos dstntos se denomna varable bdmensonal al conunto de pares de valores (X,Y) en que se puede concretar una observacón conunta cualquera. Así tenemos que del enómeno sonomía de los ndvduos se puede observar conuntamente las característcas altura y peso de cada ndvduo, del enómeno mercado de un ben lo aríamos con las característcas preco y cantdad o, tambén, podríamos relaconar el enómeno ngreso amlar con el enómeno educacón observando conuntamente las característcas salaro y años de estudo. En todos estos casos se dene una varable bdmensonal (X,Y). Se llama varable estadístca bdmensonal a una coleccón de observacones conuntas de (X,Y), que una vez ordenadas da lugar a lo que llamamos dstrbucón bdmensonal de recuencas que podemos representar de las sguentes ormas: 1) Con observacones agrupadas por recuencas: [ (, y ) ; n ] 1,..., 1,..., donde (, y ) representa a cualquer par observado n veces de la varable (X,Y). n es la recuenca absoluta conunta, cumpléndose que: sendo el número total de observacones. 1 1 n ) Con observacones sn agrupar: (, y ) 1,..., que descrbe la sere completa de valores observados, repetdos o no. Esta será la orma que abtualmente utlzaremos para representar los pares de valores obtendos. ótese que en el prmer caso tenemos que utlzar dos subíndces y, mentras que en el segundo sólo tenemos que utlzar un subíndce. Se denomnan dstrbucones margnales a las dstrbucones undmensonales que resultan de consderar por separado cada una de las dos varables que orman la varable bdmensonal. Dstrbucones condconadas son las dstrbucones undmensonales que surgen al ar un valor de una de las varables (condconante) y consderar la dstrbucón de los valores de la otra (condconada), sempre que acompañen al únco valor de la varable condconante. Se observa que: - al condconar reducmos el número de elementos de la dstrbucón al arnos eclusvamente en los que cumplen una determnada condcón denda por un valor concreto de la otra varable. - el número total de dstrbucones condconadas es +. 1

2 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) En el Apéndce de este Tema se repasan las dencones y epresones de los momentos en una dstrbucón bdmensonal, a partr de la orma que consdera los datos agrupados según su recuenca conunta, ncluyendo algunas demostracones báscas. Para el caso en que la dstrbucón bdmensonal se presente como el conunto de pares (, y ) con 1,...,, entonces los momentos respecto al orgen se epresarán de la sguente orma: a rs y r s y y a10 a y a 0 a 0 a11 1 y Y los momentos con respecto a las medas: m rs r s ( - ) ( y - y) ( - ) 1 m S 0 y m S 0 ( y - y) y - y 1 - Sendo la covaranza gual a: m S 11 y ( - ).( y - y) 1 1 y -.y Se dce que la varable Y es ndependente de la varable X cuando las dstrbucones condconadas de Y/X (una para cada valor de ) son guales entre sí. Análogamente, decmos que la varable X es ndependente de la varable Y cuando las dstrbucones condconadas de X/Yy (una para cada valor de ) son guales entre sí e guales a su vez a la dstrbucón margnal de la varable X. Se puede observar que cuando se da la ndependenca en un sentdo se da tambén en el otro, sendo la ndependenca recíproca. La condcón necesara y sucente de ndependenca estadístca en el caso de observacones agrupadas por recuencas es: 1,..., 1,..., n.. n n.. Esta dencón de ndependenca es muy egente y dícl de cumplr en la práctca, aunque los enómenos que representen las varables X e Y no tengan nnguna relacón entre sí. El alumno ya la a utlzado en la Teoría de la Inerenca Estadístca para la construccón del test χ de ndependenca. S X e Y son ndependentes se verca que:

3 Introduccón a la Econometría Tema 1: ITRODUCCIÓ a y. y.... y. a. a s las varables son ndependentes a 11 a 10.a y por tanto la covaranza: S y a 11 - a 10.a a 10.a - a 10.a 0 S las varables son ndependentes la covaranza toma el valor cero. Pero el recíproco no sempre es certo, es decr: s la covaranza es cero no podemos asegurar que las varables sean ndependentes. Se dce que la varable Y depende unconalmente de la varable X s para cada valor que toma X le corresponde un únco valor y a la Y. La dstrbucón condconada de Y/X esta ormada por ese valor únco y con recuenca no nula, sendo su meda gual a ese valor y su varanza gual a cero. Análogamente se denría la dependenca unconal de X respecto de Y. S se cumple en los dos sentdos se dce que la dependenca unconal es recíproca o bunívoca. Lo abtual, en el campo de la estadístca aplcada, es que trabaemos con varables cuyo grado de dependenca esté comprenddo entre la ndependenca y la dependenca unconal. De tal orma que los métodos estadístcos tratarán de cuantcar ese grado de dependenca, de estudar la orma unconal más adecuada y de medr la nluenca que una de las varables pudera tener sobre la otra. Aspectos que se tratan en el estudo del modelo de regresón lneal smple. S nos encontramos en el caso en que las recuencas conuntas necesaramente an de ser untaras porque nngún valor de la X n de la Y se repte, como cuando se recogen en una tabla las cras anuales de consumo y renta, evdentemente dcas varables no son ndependentes, mentras que aparentemente se puede pensar que este una dependenca unconal bunívoca dado que a cada valor observado de la X le corresponde un únco valor observado de la Y. Sn embargo, lo que ocurre, generalmente, en estos casos es una lmtacón de normacón que no nos permte tener más de un par observado dstnto, ben porque los datos sean temporales e rrepetbles, o ben porque los datos sendo de corte transversal corresponden a varables de tpo contnuo sn posbldad práctca de repetcón (eemplo: gastos santaros e mpuestos pagados por 500 amlas españolas elegdas al azar). En este últmo caso se puede agrupar los datos de cada una de las varables por ntervalos y construr una tabla de correlacón determnando las cras de las recuencas conuntas correspondentes, mentras que en el otro caso, admtendo que no son ndependentes, tampoco podemos aceptar que esta una dependenca unconal, a no ser que reconozcamos el carácter determnsta del enómeno que estemos estudando. Recordemos que la covaranza es una medda del grado de asocacón lneal entre las dos varables X e Y: 3

4 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) y ( - ) < 0 ( y-y ) > 0 ( - ) ( y-y ) >0 > 0 II I y III IV - < y -y < - > 0 y-y< 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) Como se puede ver en esta gura, que supone una relacón crecente o postva entre las varables, cuanto más cerca de la línea recta magnara que pasa por el punto (,y) estén los puntos observados abrá más puntos pertenecentes a los cuadrantes I y III, donde los sumandos que determnan la covaranza son postvos y tendrán más mportanca en su cálculo que los puntos de los cuadrantes II y IV donde abrá menos. En el caso de una relacón lneal perecta no abrá puntos en estos cuadrantes y los térmnos de la covaranza serán todos postvos. S la relacón uese decrecente o negatva la covaranza tomaría un valor negatvo. Luego, cuanto mayor sea el valor absoluto de la covaranza mayor será el grado de relacón o asocacón lneal entre las varables. S la covaranza es postva la relacón es crecente o en el msmo sentdo, s la covaranza es negatva la relacón es decrecente o en sentdo contraro. S la covaranza tomase el valor cero, aunque no podamos armar que las varables son ndependentes, el grado de relacón lneal es nulo. 1. Concepto de modelo. El modelo econométrco. Un modelo es una representacón smplcada de la realdad y lo ace utlzando epresones smbólcas por medo de un conunto de relacones matemátcas. Un modelo económco representa a un enómeno económco de orma smplcada y en térmnos matemátcos. Se puede decr que un modelo económco es la epresón matemátca de una determnada teoría económca. Un modelo econométrco es aquel modelo económco que contene las especcacones necesaras para su aplcacón empírca. Incorpora varables aleatoras permtendo el uso de los métodos de la nerenca estadístca a partr de los datos observados sobre las magntudes ncludas en el propo modelo. Un modelo econométrco es un conunto de relacones matemátcas que representa las dependencas e nluencas entre dversas magntudes económcas ncorporadas al 4

5 Introduccón a la Econometría Tema 1: ITRODUCCIÓ modelo por medo de varables, que suelen representar a las posbles observacones muestrales de dcas varables, y podrán ser aleatoras. Un modelo econométrco tambén recoge certas característcas del enómeno que se estuda por medo de parámetros, cuyo valor desconocdo deberá estmarse aplcando el correspondente método estadístco, y suele ntroducr certas varables aleatoras denomnadas perturbacones aleatoras o térmnos de error, no observables, que representan al conunto de posbles causas e nluencas no ncludas en el modelo. La ormulacón del modelo se ace, abtualmente, a partr del contendo de una determnada teoría económca que se pretende contrastar empírcamente. 1.3 Eemplo 1: La uncón de Consumo eynesana La teoría económca en que se basa este modelo podemos recogerla drectamente de la obra de Keynes: La ley pscológca undamental en que podemos basarnos con entera conanza, tanto a pror partendo de nuestro conocmento de la naturaleza umana como de la eperenca, consste en que los ombres están dspuestos, por regla general y en promedo, a aumentar su consumo a medda que su ngreso crece, aunque no tanto como el crecmento de su ngreso. Esto quere decr que s C es el monto del consumo e Y el ngreso (ambos meddos en undades de salaro), ΔC tene el msmo sgno que dc ΔY, pero es de menor magntud, es decr, es postvo y menor que la undad. ( pág. dy 96)... la satsaccón de las necesdades prmaras nmedatas de un ombre y su amla es un motvo más uerte que los relatvos a la acumulacón... Estas razones mpulsarán cas sempre a aorrar mayor proporcón del ngreso cuando el ngreso real aumenta ( pág. 97 )... (Teoría general de la ocupacón, el nterés y el dnero, J.M. Keynes) Es decr, s C es el consumo prvado y R es la renta dsponble, epresados en precos constantes (o delactados) se denen las sguentes pótess del modelo: 1º) C depende de R. Por tanto, s se escoge la orma lneal para epresar la relacón entre C y R el modelo económco queda: C α + βr º) La propensón margnal al consumo está comprendda entre cero y uno: dc 0 < < 1 d R al ser dc dr β esto supone que 0 < β < 1. 3º) La propensón margnal al consumo debe ser menor que la propensón meda: dc < dr α + β R De aquí se deduce que β < β R < α + β R α > 0 R C R 5

6 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) El modelo econométrco correspondente se obtene rerendo las varables C y R a los nstantes temporales de observacón e ntroducendo las varables que representan a los térmnos de error o perturbacones aleatoras. Modelo econométrco: C t α + βr t + u t para t 1,,..., C t : Consumo prvado delactado del perodo t R t : Renta dsponble delactada del perodo t α y β : parámetros ut : Varable aleatora denomnada perturbacón aleatora Es evdente que s prescndmos de u t y susttumos C t y R t por sus valores observados la ecuacón C t α + βr t no se cumplrá de orma eacta, para unos valores os de α y β, en los perodos consderados. Las varables u t representan todas las demás causas que aectan al consumo, derentes del nvel de renta, y no están ncludas en el modelo, ntroducendo la aleatoredad en el msmo y pudendo, así, aplcar métodos de nerenca estadístca para la estmacón de los parámetros α y β. Las pótess sobre los valores de los parámetros ( 0 < β <1 y α > 0 ) deberán ser aceptadas o recazadas estadístcamente utlzando alguno de los métodos de contrastes de pótess que nos proporcona la Inerenca Estadístca. A partr de este prmer eemplo se pueden deducr las sguentes característcas sobre los elem entos que consttuyen un modelo econométrco: - Cada magntud que relacona un modelo se representa por una varable que puede tomar cualquer valor dentro de un conunto establecdo. A la varable que representa a la magntud que el modelo ntenta analzar estudando las posbles causas de sus varacones se la denomna varable endógena (tambén: dependente o eplcada) y a las que representan esas posbles causas y, por tanto, sus varacones nluyen sobre la varable endógena se las denomna varables eógenas (tambén: ndependentes o eplcatvas). En el eemplo 1 la varable endógena es C, que representa al consumo prvado del perodo a precos constantes, y la únca varable eógena es R, que representa a la renta dsponble del perodo tambén a precos constantes. - Las varables u t, que, como ya se a dco antes, contenen a todas las causas e nluencas sobre la varable endógena no representadas por las varables eógenas n por los parámetros, recben el nombre de perturbacones aleatoras. Al ser el valor de los parámetros desconocdo serán varables no observables o latentes. 6

7 Introduccón a la Econometría Tema 1: ITRODUCCIÓ - Los datos que generan las varables observables pueden ser: Seres temporales: las observacones se realzan en dstntos perodos de tempo. Datos de seccón cruzada o de corte transversal: cuando corresponden a dstntos ndvduos o amlas o empresas pero reerdos al msmo perodo de tempo. Datos de panel: supone una combnacón de los anterores al obtenerse los datos sobre un msmo conunto de ndvduos(o amlas o empresas) en dstntos perodos de tempo. En nuestro eemplo los datos son seres temporales: C t y R t representan, respectvamente, a las cras delactadas del consumo prvado y de la renta dsponble en un país o regón determnada correspondentes al perodo de tempo t. - Al realzarse las observacones temporalmente podemos dstngur entre varable sn retardos, smbolzada por X t, que recoge el valor que toma la varable X en el perodo t y varable retardada, smbolzada por X t-, que representa al valor que tomó la varable X perodos antes del perodo t. En el eemplo las varables son sn retardos. - S el modelo se dene, como en nuestro eemplo, por medo de una únca ecuacón se denomna modelo unecuaconal, y s necesta de dos ecuacones o más modelo multecuaconal. - S los datos son de seccón cruzada o s son seres temporales pero todas las varables ncludas en el modelo aparecen sn retardos, el modelo se denomna estátco y s aparecen, en alguna ecuacón del modelo, varables retardadas el modelo recbe el nombre de dnámco en el sentdo que ntentará captar el comportamento en el tempo de las varables mplcadas. - S la orma en que ntervenen varables y parámetros en cada una de las ecuacones que denen el modelo es lneal respecto a los parámetros, es decr, se puede epresar como una combnacón lneal en que los coecentes son los parámetros y los elementos de la combnacón son las varables orgnales o alguna transormacón de las msmas, se dce que el modelo es lneal, mentras que en cualquer otro caso será un modelo no lneal. - Los parámetros son magntudes que permanecen constantes durante la realzacón completa del enómeno. Aectan a las varables, como coecentes, marcando su eecto o peso en la relacón y pueden tener nterpretacón económca. En el eemplo 1 los parámetros son α y β, sendo β la propensón margnal al consumo y α el denomnado consumo autónomo. 7

8 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) 1.4 Etapas del trabao econométrco. I. ESPECIFICACIÓ Teoría económca Matemátcas Estadístca matemátca Eemplo 1: C t α + βr t + u t para t 1,,..., II. ESTIMACIÓ Inerenca estadístca (estmacón) Teoría económca Eemplo 1: estmadores de α y β: α * y β * C t * α * + β * R t III. VERIFICACIÓ Inerenca estadístca (contrastes de pótess) Teoría económca Eemplo 1: H o : β 0 H 0 : β 1 H o : α 0 H 1 : β 0 H 1 : β < 1 H 1 : α > 0 IV. APLICACIÓ Puede ser, por eemplo, predccón: Métodos estadístcos Teoría económca Eemplo 1: S R t+ R 0 C p t+ α * + β * R 0 8

9 Introduccón a la Econometría Tema 1: ITRODUCCIÓ EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Las alturas (en cm.) y los pesos (en g.) de 40 mueres, elegdas al azar entre las que orman un determnado colectvo, an sdo: Alturas: X Pesos: Y X Y X Y X Y X Y º: Calcule las medas y las varanzas de las dstrbucones margnales de alturas y pesos. º: Elabore la tabla de correlacón de la dstrbucón bdmensonal, establecendo para cada varable 6 ntervalos de ampltud gual a 5. 3º: Calcule, a partr de la tabla construda en el apartado anteror, las medas y varanzas margnales, comparándolas con las obtendas en el prmer apartado. 4º: Obtenga las medas de las ses dstrbucones de recuencas de los pesos condconadas a las alturas. 1. Las calcacones obtendas por 3 alumnos, elegdos al azar entre los asstentes a un determnado Curso de especalzacón, en el eamen prevo de ngreso ( X ) y en el eamen nal ( Y ), an resultado ser : X Y X Y X Y X Y º: Calcule las medas y las varanzas de las dos dstrbucones margnales. º: Elabore la tabla de recuencas de la dstrbucón bdmensonal. 3º: Calcule la covaranza. 4º: Calcule las medas y las varanzas de las ses dstrbucones de Y condconadas a los dstntos valores que puede tomar la X. 9

10 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) 1.3 Tenendo en cuenta los datos anuales de la Renta Dsponble y del Consumo Prvado, ambos epresados en mles de mllones de dólares de 000, de la economía de Estados Undos durante el perodo de 1960 a 004: Renta dsponble (mles de mllones de $ de 000) Consumo prvado (mles de mllones de $ de 000) Año Renta dsponble (mles de mllones de $ de 000) Consumo prvado (mles de mllones de $ de 000) Año Renta dsponble (mles de mllones de $ de 000) Consumo prvado (mles de mllones de $ de 000) Año Fuente: Economc Report o te Presdent 1º: Calcule las medas y las varanzas de las varables Renta dsponble y Consumo prvado, así como su covaranza. º: Cuáles serían los valores de las medas y las varanzas de las dstrbucones del Consumo prvado condconadas a los dstntos valores de la Renta dsponble?. 1.4 Calcule las medas, las varanzas y la covaranza de las varables X e Y s los datos los conocemos de las sguentes ormas: A) 15 ; X 70 ; X 554 ; Y 84 ; Y 56,5 ; X Y 1340 B) 15 ; Y t 84 ; (Y t - Y ) 56,1 ; (Y t - Y )(X t - X ) -17 X t 70 ; (X t - X ) 68 C) 15 ; a ; a 5,6 ; a 0 369, ; a 0 35,1 ; a

11 Introduccón a la Econometría Tema 1: ITRODUCCIÓ APÉDICE Los momentos en una dstrbucón bdmensonal. La covaranza. Sea la dstrbucón bdmensonal de recuencas [ (, y ) ; n ] 1,..., 1,...,, denmos el momento de orden (r,s) respecto al orgen como : a rs 1 1 y n r s 1 1 y r s Se deduce que a y a y ya que 1 a 0 y a 0 y a 0 y y a 1 0 y Así msmo ya que 1 y 1 1 y Por tanto, s uno de los elementos del par (r,s) se anula, el momento resultante es el correspondente en la dstrbucón margnal. El momento de orden (1,1) o momento producto es: a 11 y 1 1 Denmos el momento de orden (r,s) respecto a las medas como : m rs r s ( - ) ( y - y) 1 1 Con demostracones análogas a las utlzadas en los momentos respecto al orgen se obtene que: 10 0 m 0 ( - ) S a 0 - a 0 - a10 1 m ( y - y) S a - y a - 0 m 0 y 0 0 a 1 m Se dene la covaranza como: 11

12 Departamento de Estadístca e Investgacón Operatva II (Métodos de Decsón) COV(X, Y) m ( - ) ( y - y) 11 Sy 1 1 para el cálculo en uncón de los momentos respecto al orgen: S y m 11 a 11 - a 10.a S y ( - ) ( y - y) ( y - y - y +.y) (sumatoro de una suma suma de sumatoros) 1 y y 1 - y y 1 (tenendo en cuenta los resultados anterores y que ΣΣ 1 ) a 11 - a - ya10 +.y a11 - a10a - a a10 + a10a a11 - a10a 1 Transormacones lneales en una dstrbucón bdmensonal. Sea la varable (X,Y) de la que a partr de su dstrbucón bdmensonal de recuencas se obtenen los momentos : a a y m S m S m S 10 0 S realzamos las transormacones lneales: 0 y X a + bx Y c + dy 11 y los momentos en la dstrbucón de recuencas de la nueva varable (X,Y ) serían: a' 10 ' a + b a' y' c + dy m' 0 S' b S m' 0 Sy' d Sy Para las desvacones típcas: S ' bs S y' d S y Para la covaranza: Demostracón: S ' y' m' 11 S'y' bdsy ( ' ' ) ( y' y' ) ( a + b a b) ( c + dy c dy) 1 1 b ( ) d( y y ). bd( ) ( y y) bdsy