Sist. Lineales de Ecuaciones

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1 Ttulacó: Asgatura: Autor: Igeero Geólogo Aálss Numérco César Meédez Ultma actualzacó: //007 Sst. Leales de Ecuacoes Plafcacó: Materales: Coocmetos prevos: 6 Teoría+4 Práctcas+ Laboratoro MATLAB Coocmetos de Álgebra: valores y vectores propos, ormas, sstemas leales, determates,

2 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Descrpcó ó Dado u sstema leal Ax=b buscamos ua matrz K y u vector c tal que la solucó úca del sstema Objetvos y=ky+c sea gualmete solucó del sstema cal. Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía Ax = b y = Ky + c La forma del sstema sugere u método de resolucó teratva x x = Kx c Dado el método teratvo se debe asegurar su: Covergeca Cossteca lm x = Cossteca y = Ky+ c = A b Ejemplo Cossteca Covergeca x x A b + = S No Demo = + No S x x A b y

3 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Defcoes y teoremas (I) T ma : U método teratvo es cosstete s y solamete s: Descrpcó ó (I-K) es versble Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía c=(i-k)a - b Defcó: covergeca de ua sucesó vectoral { } T ma : Dada ua matrz cuadrada d cualquera y ua orma matrcal, se tee que Demo x y s ε > 0 N ε Z / > N ε : y x < ε ρ ( A) A ε 0 A / A ρ ( A) ε Demo > + ε ε x = Kx + c T ma : Dado u método teratvo cosstete, las sguetes proposcoes so equvaletes: El método es covergete Para algua orma matrcal K < ρ ( K ) < Demo lm K = [ 0]

4 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Defcoes y teoremas (II) T ma : S algua orma matrcal de la matrz de teracó es Descrpcó ó meor que la udad, etoces el método es covergete y Objetvos se verfca las sguetes cotas de error: Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía 4 yx K yx 0 K y x x x K 0 Demo T ma : Dada ua matrz regular A, la matrz (A A) es defda postva. Demo Esto permte cambar el sstema Ax=b a otro equvalete (A A)x=(A b) cuya matrz sea defda postva. T ma : S A, C, (A+C) y (A+BCD) so matrces cuadradas o sgulares se verfca la sguete detdad matrcal (A+BCD) - =A - - A - B(C - +DA - B)DA - Demo

5 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descomposcó ó y Métodos Sea A ua matrz regular co elemetos o ulos e la Descrpcó ó dagoal, etoces admte la sguete descomposcó: a a a a Objetvos j j j a a a a D = aδ j j A= a ; s >j, 0 resto a a a = DL U L = a Cuestoes prevas j j ( U) =a s <j, 0 resto Métodos Drectos Métodos Iteratvos a a a a Ax = b D L U x = b x = Kx + c - Covergeca Bblografía Jacob: D L U x b Dx L U x b x D = = + + = L+ U x+ D b Gauss Sedel D L U x b D L x Ux b x D L Ux D L b ( ) = ( ) = + = ( ) + ( ) Relajacó (SOR) D ω D ω L D + U x = b L x = D + U x+ b ω ω ω ω 5 ( ) x = DωL ω D+ ωu x+ DωL ωb

6 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Jacob x = D L+ U x + D b Dx = b+ L+ U x Descrpcó ó a x b 0 a a a x Objetvos 0 a 0 0 x b a 0 a a x 0 0 a 0 x = b a a 0 a x Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos a x a a a 0 b x - Covergeca Bblografía 6 Algortmo Bucle para desde hasta el úmero de teracoes Bucle para desde hasta (orde del sstema) x F bucle F bucle = j j j j j = j = + b a x a x NOTA: La matrz de teracó de Jacob tee la dagoal ula a

7 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Gauss-Sedel = + = + + x D L Ux D L b Dx b Ux Lx Descrpcó ó ax b 0 a a a x x Objetvos ax b 0 0 a a a x x ax = 0 0 b a x a a x Cuestoes prevas Métodos Drectos ax b x a a a 0x Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía 7 Algortmo Bucle para desde hasta el úmero de teracoes Bucle para desde hasta (orde del sstema) x = j j j j j = j = + a b a x a x F bucle F bucle NOTA: La matrz de teracó de Gauss Sedel tee la prmera columa ula

8 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía 8 Relajacó ( ) ( ω) ω x = DωL ω D+ ωu x + DωL ωb Dx = - Dx + ( b + Ux + Lx ) ax ax b 0 a a a x x ax ax b 0 0 a a a x x ax ( -ω) ax ω b a a x = + a 0 0x ax ax b x a a a 0x Algortmo Bucle para desde hasta el úmero de teracoes Bucle para desde hasta (orde del sstema) x F bucle j j j j b a x a x j = j = + = ( -ω) x + ω a F bucle NOTA: Gauss Sedel es u caso partcular de relajacó para ω=

9 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez SOR y Matrces defdas d postvas Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos T ma : S a 0 etoces ρ ( K SOR ) ω y por tato el método SOR sólo puede coverger cuado 0<ω< (Kaha). Todos los métodos vstos se basa e descompoer A=M- Métodos Iteratvos N, co M versble, para geerar el método x=m - Nx+M - b - Covergeca T ma : S A es ua matrz defda postva, descompuesta e Bblografía la forma A=M-N, co M versble, y la matrz (M +N) també es defda postva, etoces ρ(m - N) < y el método es covergete. 9 Corolaro I: S A es defda postva, el método de Jacob coverge para cualesquera eleccó del vector cal. Corolaro II: S A es defda postva, el método de relajacó coverge para cualesquera eleccó del vector cal sempre que 0<ω<. < (Ostrows-Rech ) Demo Demo

10 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Matrces trdagoales y especales Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía ma j T : S la matrz A del sstema verfca que a > 0 j : a 0 etoces será válda ua y sólo ua de las afrmacoes sguetes (Ste-Roseberg): ( KGS ) ( KJ ) 0 ( KGS ) ( KJ ) ρ( K ) ρ( K ) ρ( K ) ρ( K ) ρ = ρ = ρ = ρ = 0 < < < GS J J GS T ma : S la matrz A del sstema es trdagoal, los rados espectrales de Jacob y Gauss-Sedel está relacoados medate. ρ ( K ) = ρ GS K J Demo Demo 0 T ma : S la matrz A del sstema es defda postva y trdagoal, el valor óptmo del parámetro de ralajacó y el rado expectral vee dados por ωopt = ρopt ( K SOR ) = ωopt + ρ(j) Demo

11 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Matrces dagoales domates Def: Ua matrz se deoma estrctamete dagoal dom- Descrpcó ó ate cuado para cada fla, la suma e valor absoluto de sus elemetos es meor que el valor absoluto del Objetvos elemeto de la dagoal. S la relacó se verfca co meor o gual, etoces es dagoal domate, Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía T ma : S la matrz A del sstema es de dagoal estrctamete domate, el método de Jacob coverge para cualesquera eleccó del vector cal. Demo T ma : S la matrz A del sstema es de dagoal domate y algua fla es estrctamete domate, el método de Gauss-Sedel coverge para cualesquera eleccó del vector cal. Demo NOTA: Auque e alguos casos hay relacoes etre el comportameto de los métodos de Jacob y Gauss- Sedel, o sempre la covergeca (o dvergeca) de uo de ellos asegura la del otro.

12 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Covergeca de Jacob y o GS (I) x y = z 5 K J 0 - = D ( L + U) = Bblografía P ( x ) = x σ ( K ) = { 0 } ρ ( K ) = 0 < J = J J K G = ( D L) U = P G ( x) ( x ) σ( K ) = { 0,,} ρ( K ) = > = G G

13 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía Covergeca de Jacob y o GS (II) - { } KS = D-ωL - ω D+ ωu = -ω -ω ω = -ω -ω ω ω+ ω ω - ω - ω -4 ω + 6 ω ω 4 ω ω ω+ ω = 0. 0'8 0'4 0'4 K S = -0'6 0'88 0'8 0'56-0'9 0'75 ρ K = 0'96 < S

14 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Covergeca de GS y o Jacob Descrpcó ó x y = 6 Objetvos z 0 Cuestoes prevas 0 Métodos Drectos = Métodos Iteratvos K J D ( L + U) = Covergeca 0 Bblografía P = + + J ( x) x x ρ ( K = ) 4 J 4 K G P G = ( D L) U 0 = x ρ K = 0'5 < 4 ( x) x + x + = J

15 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía Covergeca de GS y o Jacob (II) - { } KS = D-ωL - ω D+ ωu = -ω ω ω = -ω( -ω) - ω ω+ - ω( ω+ ) - ω ( -ω) 4ω( ω+ )( -ω) 4ω 4ω ω+ ω = 0.85 ρ =

16 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Ejemplo completo (I) x = y Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía 6 Dado el sstema ateror:. Calcular las matrces de teracó de los dferetes métodos. Estudar su covergeca. Determar el úmero de teracoes ecesaras para teer u error feror a partedo del orge y utlzado la orma fto 4. Realzar las teracoes aterores y comprobar cuatas hubera sdo realmete ecesaras. Jacob: 0 0'5 K D ( L U ) 0 0'5 KG D L U cj J = + = 0'5 0 '5 = b = '5 Gauss-Sedel D c G = = 0 0'5 '50 = D L b = 0'75 = ( K ) = 0'5 PG ( x) x x ρ ( K G) PJ x x ρ 4 J = = 0'5< 4 Como cabía esperar (matrz trdagoal, de dagoal estrctamete domate y defda d postva ), ambos métodos coverge, y, el rado espectral de Gauss-Sedel es el cuadrado del de Jacob, por lo que su covergeca es más rápda.

17 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Ejemplo completo (II) x = y Descrpcó ó Relajacó (SOR) Objetvos KS ( D-ωL) {( - ω) D+ ωu} Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía 7 cs - -ω ω = = ω( -ω) 4ω ω+ - '5ω = ( D-ωL) ωb = 0'75ω( ω ) ω = K S = c= PS ( x ) = x 0.05 x ρ ( K S ) = 0' ω opt = = ρ K = opt S

18 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Ejemplo completo (III) x = y Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía 8 Número de teracoes K () ( 0) ( ) ( 0 ) l ε - K l x x x x x x - K l K K ( 0) x x = c Jacob Gauss-Sedel Relajacó Jacob x = Gauss Sedel x = Relajacó x - x j j j j j= j= + a b ax ax j j j j j= j= + a b a x a x > j j j j b a x a x j= j= + = ( ω) + ω a

19 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez x = Ejemplo completo (IV) y Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía 9 Jacob Gauss-Sedel Relajacó b ax b ax b ax x = = x = = x = ( -ω) x ω + = a a a + x + x + x = = = 0.x. + b ax b ax x = = x = = b ax x a = ( -ω) x + ω = a a + x + x + x = = 0.x. = + Jacob Gauss-Sedel Relajacó x = = x = = x = = x = = x = = x = = x = = x = = x = = x = = x = = x = 0. ( 0.745) +. =

20 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Ejemplo completo (V) x = y Jacob Gauss-Sedel Relajacó (w=.) Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos Covergeca Bblografía

21 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez x = Ejemplo completo (VI) y Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Métodos Drectos Métodos Iteratvos - Covergeca Bblografía

22 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Aexo Demostracoes de los teoremas

23 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Mét. Drectos: Gauss Mét.D.: Factorzacó Aplcacoes de MD Codcoameto Métodos Iteratvos - Itroduccó - Covergeca Bblografía Demo: Cossteca y covergeca Ejemplo Cossteca Covergeca lm x = x x A b = + x = + x A b S No x+ = x A b y = y A b y = A b y = A b x + x = x x = x x 0 x+ = x A b y = y A b y = A b No S x+ x = x x = x x 0 y Volver

24 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Demo: Acotacó del rado espectral Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Mét. Drectos: Gauss Mét.D.: Factorzacó Aplcacoes de MD Codcoameto Métodos Iteratvos - Itroduccó - Covergeca Bblografía 4 ρ ( A) A : 0/ ( A) : A A ( A) λ σ A x Ax= λx A x Ax = λ x λ σ λ ρ ε > 0 A / A ρ A + ε ε ε λ b b b λ b b δ U utara : U AU =. Defmos D = dagδ, etoces λ b λ δ ( UD) A( UD) λ δb δ b δ b λ δ b δ b j j =. S elegmos δ : δ b ε, j=+ λ b λ A UD A UD b A j j = = max ε λ + δ ρ + ε j=+ Volver

25 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Demo: Covergeca Descrpcó ó Objetvos [ ] Covergeca lm K = 0 x = Kx + c y x = K y x = K yx y = Ky+ c 0 [ ] [ ] lm y x = lm K y x = 0 y x = 0 lm x = y 0 0 Cuestoes prevas Mét. Drectos: Gauss < Covergeca Mét.D.: Factorzacó Aplcacoes de MD Codcoameto Métodos Iteratvos - Itroduccó - Covergeca Bblografía K 0 0 y x = K yx yx K yx [ ] [ ] lm lm lm y x K y x = y x = x = y Covergeca K < y x 0 K y x = yx yx puesto que K K K K ( 0 ) K y x K y x lm y x lm K yx lm K = 0 K < ( A) A ρ < < ε > 0 A / A ρ A + ε < ε A < ρ A A < ε Volver

26 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Demo: Acotacó del error x = Kx + c y x = K y x0 y x K y x0 Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Mét. Drectos: Gauss Mét.D.: Factorzacó Aplcacoes de MD Codcoameto Métodos Iteratvos y = Ky+ c Sea m xm x xm xm xm x+ x > = ± ± ± = = ( xm xm ) + ( xm xm) + ( xm xm ) + ( x+ x) x x x x + x x + x x + x x m m m m m m m + como + 0 x x K x x m m m - Itroduccó m ( ) - Covergeca Bblografía x x K + K + K + K x x sere geométrca = a aa r = r m 0 K K K xm x x x0 y tomado límtes K 6 lm m K xm x = yx x x K 0 Volver

27 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Mét. Drectos: Gauss Mét.D.: Factorzacó Aplcacoes de MD Codcoameto Métodos Iteratvos - Itroduccó - Covergeca Demo: Matrz ormal t t B defda postva x: x Bx 0 x Bx= 0 x= 0 λ σ B : λ > 0 t ( ) t t t x: x A A x= Ax Ax = x x= x 0 x = Ax = x= A regular 0 0 Bblografía A BCD A A B( C DA + = + B) DA BCDA BCDA B ( C DA B) DA = A BCD A A B C DA B DA I B C DA B DA Volver + + = Volver 7

28 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Mét. Drectos: Gauss Mét.D.: Factorzacó Aplcacoes de MD Codcoameto Métodos Iteratvos - Itroduccó - Covergeca Demo: Matrz ormal t t B defda postva x: x Bx 0 x Bx= 0 x= 0 λ σ B : λ > 0 t ( ) t t t x: x A A x= Ax Ax = x x= x 0 x = Ax = x= A regular 0 0 Bblografía A BCD A A B( C DA + = + B) DA BCDA BCDA B ( C DA B) DA = A BCD A A B C DA B DA I B C DA B DA Volver + + = Volver 8

29 Aálss Numérco Sstemas de ecuacoes por César Meédez Ferádez Descrpcó ó Objetvos Cuestoes prevas Mét. Drectos: Gauss Mét.D.: Factorzacó Aplcacoes de MD Codcoameto Métodos Iteratvos - Itroduccó - Covergeca Demo: Matrz ormal t t B defda postva x: x Bx 0 x Bx= 0 x= 0 λ σ B : λ > 0 t ( ) t t t x: x A A x= Ax Ax = x x= x 0 x = Ax = x= A regular 0 0 Bblografía A BCD A A B( C DA + = + B) DA BCDA BCDA B ( C DA B) DA = A BCD A A B C DA B DA I B C DA B DA Volver + + = Volver 9

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