Polinomios y Fracciones Algebraicas

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1 Polinomios y Fracciones Algebraicas UNIDAD DIDÁCTICA 2 1 o de Bachillerato CCSS Diana Barredo Blanco 1 1 Profesora de Matemáticas

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3 1 o Bachiller (CCSS) 1. POLINOMIOS 1. POLINOMIOS Polinomio: Un polinomio es la suma de dos o más monomios, no semejantes, llamados términos. Se denota por: P () = a n n + a n 1 n a 1 + a Binomio (Polinomio de 2 términos) Trinomio (Polinomio de 3 términos) (Polinomio de 4 términos) (Polinomio de 5 términos) Grado de un polinomio: El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos, es decir, el mayor de los eponentes de la indeterminada. Denotaremos el grado dep () por P. P () = = P = 1 Q() = = Q = 2 R() = = R = 3 S() = = S = 7 Coeficientes de un polinomio: Los coeficientes de un polinomio son los coeficientes de cada uno de sus términos. El coeficiente del término de mayor grado se llama coeficiente principal, y el coeficiente del término de grado cero se llama término independiente. Es decir si P = n, entonces el coeficiente principal es a n y el término independiente es a 0. Coficientes P() Independ. grado 1(a 1 ) grado 2 (a 2 ) grado 3 (a 3 ) Principal Polinomio Mónico: Un polinomio se llama mónico, si su coeficiente principal es igual a uno. P () polinomio de grado n, es mónico a n = 1 De los polinomios del ejemplo anterior, fijándonos en la columna de los coeficientes principales, observamos que hay tres polinómios mónicos, a saber: Autor: Diana Barredo 3 5

4 1. POLINOMIOS Valor Numérico de un Polinomio: El valor numérico de un polinomio para = a, es el número real que resulta de sustituir la indeterminada por el número real a en el polinomio y realizar las operaciones. Se denota por P (a). Dado el polinomio P () = , calcula el valor numérico de dicho polinomio para = 2, = 1, = 0, = 1 y = 2. Para = 2 P ( 2) = ( 2) 2 3( 2) + 2 = 12 Para = 1 P ( 1) = ( 1) 2 3( 1) + 2 = 6 Para = 0 P (0) = = 2 Para = 1 P (1) = = 0 Para = 2 P (2) = = 0 - El valor numérico de un polinomio en = 0, coincide siempre con el término independiente. P (0) = a 0 - El valor numérico de un polinomio en = 1, coincide siempre con la suma de sus coeficientes. P (1) = a n + a n a 1 + a 0 Raíz de un Polinomio: Es el número para el que el valor numérico del polinomio es cero, es decir, = a es una raíz de P () si se verifica que P (a) = 0. Observando los valores numéricos del polinomio P (), del ejemplo anterior, descubrimos dos raíces, a saber, = 1 y = 2, dado que los valores numéricos del polinomio para esos dos valores son cero, según se comprobó. Obtención de Raíces: Para obtener las raíces de un polinomio P () hay que resolver la ecuación P () = 0. a) Si grado de P () es uno: Se trataría de una ecuación de primer grado que sabemos resolver y que tiene siempre una única solución. Luego: Todo polinomio de grado uno, tiene una única raíz Buscar la raíz del polinomio P () = 3 6. Se trata de encontrar el número real para el que el valor numérico del polinomio sea cero. Es decir: P () = = 0 = 2 es la única raíz b) Si grado de P () es dos: Se trataría de una ecuación de segundo grado, que también sabemos resolver siempre, y que puede tener dos, una o ninguna solución. Luego: Un polinomio de grado dos, puede tener dos, una o ninguna raíz Buscar la raíz del polinomio P () = Se trata de encontrar el número real para el que el valor numérico del polinomio sea cero. Es decir: P () = = 0 2 = 1 pero esta ecuación no tiene solución pues 2 no puede ser un número negativo. Así es que el polinomio P () = no tiene ninguna raíz real. 4

5 1 o Bachiller (CCSS) 1. POLINOMIOS Buscar la raíz del polinomio P () = Se trata de encontrar el número real para el que el valor numérico del polinomio sea cero. Es decir: P () = = 0 ( 1) 2 = 0 1 = 0 = 1 Así es que el polinomio P () = tiene una única raíz, a saber = 1. Buscar la raíz del polinomio P () = 2 1. Se trata de encontrar el número real para el que el valor numérico del polinomio sea cero. Es decir: P () = = 0 2 = 1 = ±1 Así es que el polinomio P () = tiene dos raíces, a saber = 1, y = 1. c) Si grado de P () es mayor de dos: Se trataría de una ecuación de grado superior a dos, que no siempre sabremos resolver, pero que tiene a lo sumo tantas soluciones como grado y, además, si el polinomio tiene coeficientes enteros y es mónico, las soluciones enteras son divisores del término independiente. - El número de raíces de un polinomio es menor o igual que su grado - Las raíces enteras de un polinomio mónico de coeficientes enteros son divisores del término independiente. Buscar las raíces de P () = 3 8. P () = = 0 3 = 8 = 2 En este caso sencillo, sí hemos sabido resolver la ecuación de tercer grado, y hemos obtenido una única raíz, a saber = 2. Buscar las raíces de P () = P () = = 0 En este caso, no sabemos resolver esta ecuación de tercer grado (no eiste un método general para resolver ecuaciones de grado superior a 2), luego buscaremos las raíces enteras por tanteo, sabiendo que siempre tienen que ser divisores del término independiente y que a lo sumo hay 3 (por ser un polinomio de tercer grado). El término independiente de P () es (-2), y los divisores del número (-2) son: ±2 y ± 1. Comprobamos si son raíces, calculando los valores numéricos de P () para dichos valores: P ( 2) = ( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 = = 0 = 2 raíz P ( 1) = ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 = = 0 = 1 raíz P (1) = = 0 = 1 raíz Ya no hace falta seguir, pues no puede tener más de tres raíces, no obstante, comprobamos el otro divisor: P (2) = (2) (2) = = 2 NO raíz Autor: Diana Barredo 5

6 1. POLINOMIOS 1. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios, en los puntos que se indican: a) P () = para = 2, 1, 0, 1, 2 b) P () = para = 5, 4, 3, 2, 1, 0 c) P () = ( + 1)( 1) para = 2, 1, 0, 1, 2 d) P () = ( 3) 4 para = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e) P () = ( + 2) ( + 1) ( 1) ( 1) ( 2) para = 2, 1, 0, 1, 2, 3 2. Indica cuál es el grado, coeficiente principal y término independiente, en los polinomios del ejercicio anterior. 3. Escribe un polinomio que cumpla todas las condiciones siguientes: a) Es un trinomio b) Es mónico c) Es de grado 5 Eiste algún otro polinomio verificando esas condiciones?. En caso afirmativo, escribe otro distinto que verifique esas mismas condiciones. 4. Escribe un polinomio que cumpla todas las condiciones siguientes: a) Tiene grado 2 b) El valor numérico en = 0 vale 5. c) Es un binomio d) Es mónico Eiste algún otro polinomio verificando esas condiciones? 5. Escribe un polinomio, P (), que cumpla todas las condiciones siguientes: a) Tiene grado 2 b) El valor numérico en = 1 vale 3. c) El valor numérico en = 0 vale 0. d) Es un binomio Eiste algún otro polinomio verificando esas condiciones?. En caso afirmativo, escribe otro polinomio distinto que cumpla esas condiciones. 6. Escribe un polinomio, P (), que cumpla todas las condiciones siguientes: a) Tiene grado 2 b) El valor numérico en = 1 vale 5. c) El valor numérico en = 0 vale 1. d) El coeficiente de grado 1 vale 2 Eiste algún otro polinomio verificando esas condiciones?. En caso afirmativo, escribe otro polinomio distinto que cumpla esas condiciones. 7. Buscar las raíces enteras de: a) P () = b) P () = 3 7 c) P () = 2 ( 6) d) P () = e) P () = 2 25 f) P () = 2 3 g) P () = h) P () = i) P () = 2 ( + 1) 2 8. Buscar las raíces de: a) P () = b) P () = ( 3) 3 c) P () = 4 1 d) P () = e) P () = 4 4 f) P () = g) P () = h) P () = i) P () =

7 1 o Bachiller (CCSS) 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA DE POLINOMIOS: La suma de dos polinomios, P () y Q(), es otro polinomio que se obtiene sumando los términos semejantes de los polinomios P () y Q(). P () = Q() = P () + Q() = (4 5) + ( 2 + 3) = RESTA DE POLINOMIOS: La resta de dos polinomios, P () y Q(), llamados minuendo y sustraendo, respectivamente, es otro polinomio que se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Para calcular P () Q(), tenemos que sumar a P () el opuesto de Q(). P () = Q() = P () Q() = (4 + 5) + ( 2 3) = PRODUCTO DE POLINOMIOS: El producto de dos polinomios, P () y Q(), es otro polinomio, cuyo grado es la suma de los grados de P () y Q(), y que se obtiene multiplicando cada término del polinomio P () por todos los del polinomio Q() y reduciendo términos semejantes. Para calcular P () Q(), aplicamos la propiedad distributiva, multiplicando cada término de P () por cada término de Q() y reduciendo luego los términos semejantes. P () = Q() = P () Q() = ( ) ( ) = = 3 2 ( ) + 4 ( ) 2 ( ) = = ( ) + ( ) + ( ) = = ( ) + ( ) + ( ) 6 = = DIVISIÓN DE POLINOMIOS: Definición: Dados dos polinomios, P () y Q(), con P Q, y llamados dividendo y divisor, respectivamente, eisten siempre otro par de polinomios C() y R(), llamados cociente y resto respectivamente, que verifican: P () = Q() C() + R() siendo el grado de C() la diferencia de los grados de P () y Q(), y el grado de R() estrictamente menor que el grado de Q(). Tipos de división: Eisten dos tipos de divisiones de polinomios, según que el resto de dicha división sea, o no, nulo: Autor: Diana Barredo 7

8 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS - División Entera (R() 0) o, análogamente: P () = Q() C() + R() P () R() = C() + Q() Q() Como puede verse, cuando la división es entera (R() 0), el resultado de dividir dos polinomios NO es un polinomio. - División Eacta (R() = 0) P () = Q() C() o, análogamente: P () Q() = C() Cuando la división es eacta (R() = 0), el resultado de dividir dos polinomios SI es un polinomio, a saber, el polinomio cociente. Técnica de división: Para dividir dos polinomios podemos utilizar la técnica de la división por caja, válida siempre, y la regla de Ruffini, válida eclusivamente cuando el divisor es un polinomio de la forma ( ± a), siendo a un número real cualquiera. a) División por caja: Puede utilizarse para dividir cualquier pareja de polinomios, siempre y cuando, el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor. Y en este caso: - El grado del cociente será siempre la diferencia entre el grado del dividendo y divisor: C = P Q - El grado del resto será siempre estrictamente menor que el grado del divisor: R < Q Dividir P () = entre Q() = {z } cociente {z} resto 1. El primer término del cociente (3 3 ) se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del dividendo (3 4 ) entre el monomio de mayor grado del divisor (). 2. El producto de este primer monomio (3 3 ) por el divisor ( 2), cambiado de signo, ( ), se coloca bajo el dividendo y se suma. 3. Obtenemos el primer resto, a saber, , pero no hemos terminado pues todavía su grado (3) no es inferior al del cociente (1). 4. Repetimos los pasos anteriores hasta obtener un resto de grado inferior al del divisor. 8

9 1 o Bachiller (CCSS) 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS b) Regla de Ruffini: La regla de Ruffini, es un algoritmo numérico que permite obtener los coeficientes del polinomio cociente (C()) y resto (R(),) sin necesidad de dividir los polinomios. Es más rápido y sencillo que dividir utilizando la caja, pero solo puede utilizarse cuando el polinomio cociente es un polinomio de grado uno y mónico, es decir, de la forma: (±a). Obtener el cociente y resto de dividir P () = entre Q() = 2. - Podemos usar Ruffini, pues el divisor es un polinomio mónico de grado uno. - El grado del cociente será la diferencia de grados del dividendo y del divisor: C = P Q = 4 1 = 3 - El grado del resto tiene que ser menor que el grado del cociente: R < Q R = 0 - Colocamos todos los coeficientes del dividendo, P (), ordenados de mayor a menor grado y aplicamos la regla {z } coeficientes cociente Resto - Obtenemos, también ordenados de mayor a menor grado, los coeficientes del cociente. C() = El último número hallado, es el resto de la división. R = 63 - Podemos escribir la siguiente igualdad, que surge de la conocida prueba de la división ( dividendo es igual a divisor por cociente más resto ) = ( 2) ( ) + 63 POTENCIAS DE POLINOMIOS: Para elevar un polinomio a una potencia, basta multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indique el eponente. Para el cuadrado de un binomio, cubo de un binomio y cuadrado de un trinomio, utilizaremos las siguientes igualdades notables: Cuadrado de un binomio (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ( ) 2 = (2 2 ) (2 2 ) 3 = Cubo de un binomio (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( ) 3 = (2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) = Cuadrado de un trinomio (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ( ) 2 = (2 2 ) 2 + ( ) (2 2 ) ( ) + 2 (2 2 ) ( ) 3 = = = Autor: Diana Barredo 9

10 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS 9. Dados los polinomios, calcula: P () = Q() = R() = + 2 a) P () + Q() b) P () + R() c) Q() + R() d) P () Q() e) P () R() f) Q() R() g) P () Q() h) P () R() i) Q() R() j) [P () + R()] Q() k) Q() [P () R()] l) P () Q() R() 10. En los siguientes casos, divide el polinomio P () entre el polinomio Q(), utilizando la caja de división (en todos los casos): a) ( 2 + 1) ( + 2) b) ( ) ( + 2) c) ( ) ( 2 + 1) d) ( ) ( + 2) e) ( ) ( 2 + 1) f) ( ) ( ) y epresa el resultado en la forma: P () = C() Q() + R() y P () R() = C() + Q() Q() 11. Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) ( 2 4) ( + 2) b) ( ) ( 2) c) ( ) ( 9) d) ( 2 + 1) ( ) e) ( ) ( 1 3 ) f) ( ) ( + 1) Di cuáles de ellas son eactas, epresando el resultado de la forma: P () = C() Q() Y cuáles son no eactas (enteras) epresando el resultado de la forma: P () R() = C() + Q() Q() 12. En una división de polinomios, el dividendo es de grado 5 y el divisor de grado 2. Cuál es el grado del cociente?. Qué puedes decir del grado del resto? 13. Cuánto han de valer a y b para que la división: a) Sea eacta b) Tenga por resto R() = 3 7 ( a + b) ( ) 14. Calcula las siguientes potencias de polinomios directamente, aplicando la definición de potencia: a) (2 1) 2 b) ( ) 2 c) ( + 1) 3 d) (2 3) 3 e) ( ) 2 f) ( ) 2 g) ( ) 2 h) ( 3 1) 2 i) ( 2 1) ( 2 + 1) 15. Calcula las potencias del ejercicio anterior, aplicando las igualdades notables, y comprueba que obtienes el mismo resultado que antes. 10

11 1 o Bachiller (CCSS) 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 3.1. Múltiplos y Divisores Un polinomio P () se dice que es DIVISIBLE entre otro polinomio Q(), cuando la división de P () entre Q() da eacta, es decir, cuando eiste un polinomio C() que verifica: P () = Q() C() En tal caso, C() y Q() se llaman DIVISORES de P () o, equivalentemente, que P () es un MÚLTIPLO de Q() y de C(). Sean los polinomios ( ) y ( 1). Si dividimos el primero entre el segundo, se obtiene el polinomio cociente ( 2) y un resto cero (división eacta). Por lo tanto, ( ) es divisible entre ( 1) y podemos escribir: ( 1) y ( 2) son divisores de ( ) ( ) es múltiplo de ( 1) y de ( 2). ( ) = ( 1) ( 2) 3.2. Polinomio irreducible Un polinomio se dice IRREDUCIBLE si no es divisible entre ningún otro polinomio de menor grado. Los únicos polinomios irreducibles que eisten son de grado 1 ó 2. Los polinomios irreducibles juegan el papel de los números primos - Todo polinomio de grado 1 es irreducible - Un polinomio de grado 2 es irreducible si y sólo si no tiene raíces reales. P () = a, 2 + b + c es irreducible b 2 4ac < 0 - Todo polinomio de grado mayor que 2 NO es irreducible. Sean los polinomios P () = (2 + 3), Q() = , R() = y S() = P () = es irreducible, por ser de grado 1. Q() = es irreducible, al ser un polinomio de grado 2 sin raíces. R() = NO irreducible, por ser un polinomio de grado 2 con raíces. S() = NO irreducible, por tener grado superior a dos Criterio de Divisibilidad de Polinomios Para descomponer un número en factores primos teníamos los criterios de divisibilidad que me decían cuando una división de dos números iba a dar eacta sin necesidad de hacerla. Para polinomios, pasa algo similar, el criterio de divisibilidad (consecuencia del teorema del Resto) me informa de cuándo una división de polinomios va a dar eacta sin necesidad de hacerla. Autor: Diana Barredo 11

12 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Teorema del Resto El resto que se obtiene al dividir el polinomio P () entre el factor irreducible ( a), coincide con el valor numérico del polinomio P () en = a, es decir, R = P (a). Demostración: Al dividir P () entre el factor irreducible ( a), obtenemos un polinomio cociente, C(), resto, R(), verificando: P () = C() ( a) + R() donde C = P 1 y R < 1. Al ser el resto un polinomio de grado cero, es un número real, que llamaremos R. P () = C() ( a) + R Ahora bien, si evaluamos la epresión anterior en = a : Aplicaciones: P (a) = C(a) (a a) + R P (a) = C(a) 0 + R P (a) = R I.- Nos permite conocer el resto de la división de cualquier polinomio P () entre el factor irreducible ( a), sin necesidad de hacer dicha división, con tan sólo evaluar el polinomio en = a. Cuál es el resto de la siguiente división? ( ) ( 1) Utilizando el teorema del resto, sabemos que el resto de esa división coincide con el valor numérico del polinomio ( ), en el punto = 1, luego: R = P (1) = = 1 1 = 0 Sin haber hecho la división, sabemos que el resto es cero y, por lo tanto, ( ) ( 1) es una división eacta. II.- Nos permite calcular el valor numérico de un polinomio aplicando la regla de Ruffini. Calcula el valor numérico del polinomio P () = en = 2. Utilizando el teorema del resto, sabemos que P ( 2) coincide con el resto de la división: luego dividimos por Ruffini ( ) ( + 2) Resto = P ( 2) y un Criterio de Divisibilidad Demostración: Todo polinomio es divisible entre ( r), si y sólo si r una raíz del polinomio P () es divisible entre el factor irreducible ( r) si y sólo si, el resto de la división P () ( r) es cero pero, por el teorema del resto, sabemos dicho resto es el valor numérico del polinomio P () en = r, luego: 12

13 1 o Bachiller (CCSS) 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS P () es divisible entre el factor irreducible ( r) si y sólo si, el valor numérico de P (), en = r, es cero. Ahora bien, como el número real que hace cero el valor numérico de un polinomio es lo que habíamos llamado raíz, se tiene que: P () es divisible entre el factor irreducible ( r) si y sólo si, r es una raíz de P (). Consecuencias: (criterios de divisibilidad) I.- Todo polinomio sin término independiente es divisible entre. Demostración: Como P (0) = a 0, para cualquier polinomio, si a 0 es nulo, entonces P (0) = 0, lo que significa que r=0 es raíz de P () y, por el criterio de divisibilidad, P () es divisible entre ( 0), es decir, entre. II.- Todo polinomio cuyos coeficientes sumen cero, es divisible entre ( 1). Demostración: Como P (1) = a 0 + a 1 + a a n para cualquier polinomio, si a 0 + a 1 + a a n = 0, entonces P (1) = 0, lo que significa que r=1 es raíz de P () y, por el criterio de divisibilidad, P () es divisible entre ( 1). III.- Todo polinomio cuya suma de coeficientes de grado par coincida con la suma de coeficientes de grado impar es divisible entre ( + 1). Demostración: Como P ( 1) = a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4 ± a n = (a 0 + a 2 + a 4 + ) (a 1 + a 3 + a 5 + ) si (a 0 + a 2 + a 4 + ) = (a 1 + a 3 + a 5 + ), entonces P ( 1) = 0, lo que significa que r = 1 es raíz de P () y, por el criterio de divisibilidad, P () es divisible entre ( ( 1)), es decir, entre ( + 1). Dado el polinomio P () = decir, sin efectuar la división, si es divisible entre los siguientes factores irreducibles: ( 1) ( + 1) ( + 2) ( + 3) ( 2) ( 3) - SI es divisible entre porque su término independiente es cero (a 0 = 0). - SI es divisible entre ( 1) porque la suma de sus coeficientes es cero: a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = = 0 - NO es divisible entre ( + 1) porque la suma de los coeficientes de grado par NO coincide con la suma de coeficientes de grado impar: a 0 + a 2 + a 4 = = 24 y a 1 + a 3 = = 24 - NO es divisible entre (+2) porque = 2 NO es una raíz del polinomio: P ( 2) = NO es divisible entre (+3) porque = 3 NO es una raíz del polinomio: P ( 3) = SI es divisible entre ( 2) porque = 2 es una raíz del polinomio: P (2) = 0. - SI es divisible entre ( 3) porque = 3 es una raíz del polinomio: P (3) = 0. Autor: Diana Barredo 13

14 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 3.4. Descomposición factorial de polinomios Así como un número compuesto lo descomponíamos en producto de potencias de números primos (descomposición factorial en factores primos), también un polinomio vamos a descomponerlo en producto de potencias de polinomios irreducibles (descomposición factorial en factores irreducibles). a) Si un polinomio de grado n tiene n raíces reales y, por cualquier razón, las conocemos, entonces la factorización es inmediata: P () = a n ( r 1 ) ( r 2 ) ( r n ) donde a n es el coeficiente de mayor grado y r 1, r 2,, r n son sus raíces. Factoriza el polinomio P () = , sabiendo que sus cuatro raíces son: = 0, 1, 2, 3. P () = a 4 ( r 1 ) ( r 2 ) ( r 3 ) ( r 4 ) Sustituimos los valores: a 4 = 2; r 1 = 0; r 2 = 2; r 3 = 2; r 4 = 3; ( ) = 2 ( 1) ( 2) ( 3) b) En caso contrario, podemos utilizar el siguiente método: 1.- Se mira el término independiente. Si no hay término independiente (es nulo), entonces el polinomio es divisible entre. Repetimos el proceso con el cociente hallado, hasta que éste no sea divisible entre, es decir, hasta que el término independiente sea distinto de cero. 2.- Se suman los coeficientes. Si la suma es cero, el polinomio es divisible entre 1, y lo dividimos por el método de Ruffini. Repetimos el proceso con el cociente hallado, hasta que éste no sea divisible entre 1, es decir, hasta que la suma de todos los coeficientes no de cero. 3.- Se suman todos los coeficientes de grado par y los de grado impar. Si ambas sumas coinciden, el polinomio es divisible entre + 1, y lo dividimos por el método de Ruffini. Repetimos el proceso con el cociente hallado, hasta que éste no sea divisible entre + 1, es decir, hasta que la suma de los coeficientes de grado par no coincida con la suma de los coeficientes de grado impar. 4.- Se calculan los divisores (distintos de ±1) del término independiente, anteponiéndoles el doble signo (±) para considerar tanto los divisores positivos como negativos. Estos divisores son los únicos candidatos a raíces. 5.- Tomamos uno de ellos (el de menor valor absoluto), y evaluamos el polinomio en él. Si dicho valor numérico es no nulo, pasamos al siguiente divisor y así hasta encontrar un divisor que sea raíz del polinomio, en cuyo caso efectuamos la división por Ruffini. 6.- Tomamos el cociente que hemos obtenido en el caso anterior y volvemos al paso 4. Se repite el proceso hasta obtener un cociente que sea irreducible (es decir, de grado uno, ó de grado dos sin raíces reales). Vamos a factorizar el polinomio No es divisible entre, pues su término independiente es Es divisible entre ( 1), pues la suma de sus coeficientes es cero. Lo dividimos entre ( 1) hasta que dicha suma sea distinta de cero. 14

15 1 o Bachiller (CCSS) 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS ( 1) ( 1) Ya no seguimos dividiendo entre ( 1), pues la suma de los coeficientes ya es distinta de cero. a 0 + a a 6 = = Es divisible entre ( + 1), pues la suma de sus coeficientes de grado par coincide con la suma de coeficientes de grado impar. (a 0 + a 2 + a 4 + a 6 ) = = 18 = = a 1 + a 3 + a 5 Lo dividimos entre ( + 1) hasta que dichas sumas sean distintas: ( 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) Ya no seguimos dividiendo entre ( + 1), pues ya no es divisible: a 0 + a 2 + a 4 = = 9 0 = = a 1 + a 3 4. Buscamos los divisores del término independiente (a 0 = 16), que serán: ±2, ±4, ±8, ±16 5. Empezamos viendo si son o no raíces, empezando por el de menor valor absoluto: = 2 es raíz, pues P ( 2) = ( 2) 4 8( 2) = = 0, luego es divisible entre ( + 2). Dividimos: ( 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) ( + 2) ( + 2) Autor: Diana Barredo 15

16 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 6. Repetimos los dos pasos anteriores, pero ahora, el término independiente es 4, y los divisores de 4, distintos de ±1 y de 2, son: 2, 4, 4. Empezamos por el menor, averiguando si es raíz o no: = 2 es raíz, pues P (2) = = = 0, luego el polinomio es divisible entre ( 2), y dividimos mientras podamos: ( 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) ( + 2) ( + 2) ( 2) 2 ( 2) Una vez descompuesto el polinomio en factores irreducibles, lo factorizamos: P () = = ( 1) 2 ( + 1) 2 ( + 2) 2 ( 2) Máimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Para calcular el m.c.d. y/o el m.c.m de dos ó más polinomios, tenemos que descomponer cada uno de ellos en factores irreducibles, y... - El m.c.d de dos ó más polinomios es el polinomio que se obtiene tomando los factores comunes (a todos los polinomios) con menor eponente. - El m.c.m. de dos ó más polinomios es el polinomio que se obtiene tomando los factores comunes y no comunes con mayor eponente. Calcular el máimo común divisor y mínimo común múltiplo de: P () = y Q() = Factorizamos: P () = = ( 1) 2 ( + 1) 2 ( + 2) 2 ( 2) 2 Q() = = ( 1) 3 m.c.d(p, Q) = ( 1) 2 m.c.m(p, Q) = ( 1) 3 ( + 1) 2 ( + 2) 2 ( 2) 2 16

17 1 o Bachiller (CCSS) 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 16. Aplicando la relación: Dividendo igual a divisor por cociente más resto D = d C + R halla el polinomio que dividido entre ( 2 1) tiene por cociente ( + 3) y de resto ( 2). 17. Sin hacer la división, calcula el resto de las siguientes divisiones y dí cuáles de ellas son eactas. a) ( ) b) ( ) ( 1) c) ( ) ( 2) d) ( ) e) ( ) ( 1) f) ( ) ( + 1) g) ( ) ( + 1) h) ( ) ( + 1) i) ( ) ( + 5) 18. Dado el polinomio P () = 4 k a) Halla el valor de k para que = 3 sea raíz de P (). b) Halla el valor de k para que sea divisible entre ( 1) c) Halla el valor de k para que al dividirlo entre ( + 2), el resto valga Dado el polinomio Q() = m a) Halla el valor de m para que = 0 sea raíz de P (). b) Halla el valor de m para que sea divisible entre ( + 1) c) Halla el valor de m para que al dividirlo entre ( 2), el resto valga Di, justificando la respuesta, cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles: a) b) c) d) e) f) 2 4 g) h) i) Descompón en factores irreducibles y factoriza los siguientes polinomios: a) P = b) Q = c) R = d) S = e) T = f) U = g) V = h) W = i) Z = Con los polinomios del ejercicio anterior, calcula: a) m.c.d(p,q) b) m.c.d (P,Q,R) c) m.c.d(s,t) d) m.c.d (R,S,V) e) m.c.d.(p,z) f) m.c.d.(r,s) g) m.c.m(r,s) h) m.c.m(r,u) i) m.c.m(s,u) 23. Factoriza los siguientes polinomios, y calcula sus raíces: a) M() = b) N() = c) O() = d) P () = e) Q() = f) R() = Dados los polinomios P () = y Q() = Razona, sin efectuar la división, si los polinomios siguientes son divisores de P (), de Q(), de ambos o de ninguno. a) b) ( 1) c) ( + 1) d) ( 2 1) Autor: Diana Barredo 17

18 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS 4. Fracciones Algebraicas Fracción algebraica : Una Fracción Algebraica es el cociente indicado de dos polinomios. Son fracciones algebraicas: P () Q() Fracciones equivalentes : Dos fracciones algebraicas se dicen Equivalentes cuando una de ellas se obtiene a partir de la otra, multiplicando o dividiendo numerador y denominador por un mismo polinomio de grado mayor o igual a uno. De las fracciones del ejemplo anterior, las dos últimas son equivalentes, pues la cuarta se obtiene a partir de la tercera multiplicando el numerador y denominador por ( 1). + 1 = ( 1) ( + 1) ( 1) = De las fracciones del primer ejemplo, las dos primeras también son equivalentes, pues la segunda se obtiene a partir de la primera dividiendo el numerador y denominador entre el factor irreducible ( 1) = (2 1) ( 1) ( ) ( 1) = Simplificación de fracciones algebraicas : Simplificar una Fracción Algebraica es obtener otra fracción equivalente a la dada, con numerador y denominador de menor grado. Para simplificar una fracción, basta dividir numerador y denominador por un divisor común de grado mayor o igual a uno. En el ejemplo anterior, obtuvimos dos fracciones equivalentes: = donde el numerador y denominador de la segunda son de menor grado que los de la primera, por lo que la segunda es una simplificación de la primera. Observa que para hacer esa simplificación, dividimos numerador y denominador entre el polinomio ( 1), de grado uno, que era divisor tanto del numerador como del denominador, pues = 1 es raíz tanto de 2 1 como de ( 2 1) ( 1) ( ) ( 1) =

19 1 o Bachiller (CCSS) 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción irreducible : Una fracción algebraica se dice que es Irreducible cuando no se puede simplificar, es decir, cuando el numerador y denominador no tienen divisores comunes de grado mayor o igual a uno. Para obtener la fracción irreducible a una dada, basta dividir numerador y denominador entre el máimo común divisor de ambos, o bien, factorizarlos en producto de factores irreducibles y cancelar aquellos que se repitan en el numerador y denominador. Simplificar la siguiente fracción hasta hacerla irreducible: Método 1: Observamos que tanto el numerador como el denominador son polinomios sin término independiente, luego ambos son divisibles entre. Lo hacemos: = ( ) ( ) = Observamos que, ahora, tanto el numerador como el denominador son polinomios cuyos coeficientes suman 0, luego ambos son divisibles entre ( 1). Lo hacemos: = ( ) ( 1) ( ) ( 1) = Observamos que, ahora, tanto el numerador como el denominador son polinomios cuyos coeficientes de grado par suman lo mismo que los de grado impar, luego ambos son divisibles entre ( + 1). Lo hacemos: = ( 2 2) ( + 1) ( ) ( + 1) = Observamos que, ahora, tanto el numerador como el denominador son polinomios que se anulan para = 2, luego ambos son divisibles entre ( 2). Lo hacemos: 2 ( 2) ( 2) 2 = 4 ( 2 4) ( 2) = Esta fracción ya no se puede simplificar más, luego ya es irreducible. - Método 2: Factorizamos el numerador y denominador: = ( 1) ( + 1) ( 2) ( 1) ( + 1) ( 2) ( + 2) cancelamos todos los factores que se repiten en el numerador y denominador: = Método 3: Calculamos el máimo común divisor del numerador y denominador: m.c.d ( ), ( ) = ( 1) (+1) ( 2) = dividimos numerador y denominador entre dicho mínimo común múltiplo: = ( ) ( ) ( ) ( ) = Autor: Diana Barredo 19

20 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS Reducción de fracciones a común denominador : Reducir dos fracciones a común denominador es buscar otras dos fracciones, respectivamente equivalentes a las dadas y que tengan, entre sí, el mismo denominador. Para reducir dos o más fracciones a común denominador, hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el denominador común, y calcularemos cada numerador dividiendo ese denominador común entre el que tuvieran y multiplicando el cociente obtenido por el numerador que tenían. Reducir a común denominador las fracciones Descomponemos, en factores irreducibles, y factorizamos los denominadores: - Hallamos el m.c.m. de los denominadores: = ; 2 + = ( + 1); + 1 = ( + 1) m.c.m., ( 2 + ), ( + 1) = ( + 1) = Calculamos los numeradores correspondientes: Operaciones con Fracciones : = ( + 1) ( + 7) 2 + = 1 ( 2) 2 + = = ( ) 2 + (2 + 1) = 2 = Suma: La suma (resta) de dos fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica, con el mismo denominador, y cuyo numerador es la suma (resta) de los numeradores. P () D() + Q() D() R() P () + Q() R() = D() D() Para sumar (restar) dos o más fracciones con distinto denominador, se reducen previamente a común denominador y luego se suman (restan). Producto: El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica, cuyo numerador es el producto de los numeradores; y cuyo denominador es el producto de los denominadores. P () Q() R() P () R() = S() Q() S() Cociente: El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera (dividendo) por la inversa de la segunda (divisor). P () Q() R() S() = P () Q() S() P () S() = R() Q() R() Potencia: Para elevar una fracción algebraica, a una potencia, se eleva el numerador y denominador a dicha potencia. n P () (P ())n = Q() (Q()) n Opera, dejando el resultado lo más simplificado posible: = = =

21 1 o Bachiller (CCSS) 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS 25. Justifica, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes: a) b) c) y y y 2 ( 1) d) e) f) y y ( + 3) y Simplifica las siguientes fracciones hasta hacerlas irreducibles: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Completa las siguientes igualdades de modo que obtengas fracciones equivalentes: a) b) c) =? = 2? =? 2 + d) e) f) 1 5 =? =? 4? = Reduce a común denominador: a) b) c) ,,, 2, ( 2 9) 2 6, , d) e) f) 2 3 1, 2 2, ( ) ,, ,, 4 4 ( + 2) Opera, dejando el resultado en forma de fracción irreducible: a) b) c) ( 2) ( 2) Demuestra las siguientes igualdades: d) 1 e) f) ( 1 2 1) ( 1 1) a) a 2 1 a 2 3a + 2 a2 + 2a + 1 a 2 a 2 = 1 b) a + 2 a 2 a 2 a + 2 a 4 a =8 c) 2a b 2a + b 2a + b 2a b a b b 4a = d) =2 e) = f) = Autor: Diana Barredo 21