Tema IV. Sucesiones y Series

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1 00 Tem IV. Sucesioes y Series Σ Gil Sdro Gómez Stos UASD 03/04/00

2 Tem IV. Sucesioes y Series Ídice Sucesió... 4 Límite de u sucesió... 4 Teorem 4.. Límite de u sucesió... 5 Teorem 4.. Leyes de límites pr sucesioes... 5 Teorem 4.3. Leyes de sustitucioes pr sucesioes... 5 Teorem 4.4. Teorem del ecje o del empreddo pr sucesioes... 6 Sucesió oscilte... 6 Sucesioes moótos cotds... 7 Sucesió Acotd... 7 Teorem 4.5 Teorem de l Sucesió Moóto... 7 Series... 8 Defiició de serie covergete y divergete... 9 Serie Geométric... 0 Teorem 4.6. Sum de u serie geométric... Teorem 4.7. Límite del térmio -ésimo de u serie pr l covergete... Teorem 4.7. Prueb del térmio -ésimo pr l divergeci Teorem 4.8. Propieddes de series ifiits... 3 El Criterio de l Itegrl... 3 Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

3 Tem IV. Sucesioes y Series Series p y Series Armóics... 4 Teorem 4.. Covergeci de series p... 5 Criterio de comprció direct... 5 Criterio de l Comprció e el Límite... 6 Series Alterds o Altertes... 7 Teorem 4.4. Prueb de l serie lterd... 7 Teorem 4.5. Estimció del residuo de u serie lterd 7 Covergeci Absolut... 9 Teorem 4.6. Covergeci bsolut... 9 Covergeci codiciol... 9 El Criterio del Cociete y el Criterio de l ríz... 0 Series de poteci... Rdio e itervlo de covergeci... Teorem 4.9. Covergeci de u serie de potecis... 3 Opercioes co series de potecis... 4 Derivció e itegrció de series de potecis... 5 Series de Tylor y Mcluri... 6 Teorem 4.. Fórmul de Tylor co residuo... 6 Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 3

4 Tem IV. Sucesioes y Series Sucesió Defiició de sucesió. Llmmos sucesió l fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros eteros positivos. Auque u sucesió es u fució, es comú represetr ls sucesioes empledo subídices e lugr de l otció hbitul de l fució. Por ejemplo, e l sucesió 0,,, 3,...,,, 3, 4,..., Al 0 se le sig, l se le sig, y sí sucesivmete. Los úmeros,...,, 3, 4, so los térmio s de l sucesió. El úmero es el termio -ésimo de l sucesió, y l sucesió complet se deot por { }. Ejemplo. Ecuetre los diez primeros térmios de ls siguietes sucesioes:. Los tér mi os de l sucesió { } 3 so : 4, 7, 0, 3, 6, 9,, 5, 9, 3,.... L sucesió de Fibocci { } que se defie como :,, pr,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,... Límite de u sucesió Defiició. Se L u úmero rel. El límite de u sucesió { } es L, escrito como lim L Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 4

5 Tem IV. Sucesioes y Series Si ddo culquier úmero 0, N \ L pr N. Si el límite de u sucesió existe, etoces l sucesió coverge L. Si el límite de u sucesió o existe, etoces l sucesió diverge. Teorem 4.. Límite de u sucesió Si f( ) pr cd etero positivo, etoces lim f ( x) L lim L x Ls leyes de los límites de fucioes e u vrible rel tiee logís co los límites de sucesioes. Teorem 4.. Leyes de límites pr sucesioes Se los límites lim L y lim b K, etoces. lim( b ) L K. lim c cl, c 3. lim( b ) LK L 4. lim, b 0 y K 0 b K Teorem 4.3. Leyes de sustitucioes pr sucesioes Si lim A l fució f es cotiu e x A lim f ( ) f ( A), etoces Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 5

6 Tem IV. Sucesioes y Series Teorem 4.4. Teorem del ecje o del empreddo pr sucesioes b c pr todo y Si lim L lim c etoces lim b L tmbié. Ejemplo. Determie el límite de l sucesió cuyo térmio -ésimo es 5 5 lim Aplicdo l regl de L Hôpitl: 0 lim lim 5 5 Teorem. L sucesió todos los demás vlores de r. r es covergete si r y divergete pr lim r 0 si r si r Teorem 4.5. Si u sucesió coverge L, etoces culquier subsucesió de tmbié coverge L. Sucesió oscilte Defiició. U sucesió etoces decimos que es oscilte. es divergete pero o diverge i, Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 6

7 Tem IV. Sucesioes y Series Ejemplo. U sucesió oscilte que tiee como térmio -ésimo ( ) Desrrolldo l expresió teemos que:,,,,,,... Sucesioes moótos cotds Sucesió decreciete. U sucesió es decreciete si 3... Sucesió creciete. U sucesió es creciete si U que sucesió de moóto. Sucesió Acotd 3... que es creciete o decreciete recibe el ombre Defiició. L sucesió es cotd si existe u úmero M tl que M. Teorem 4.5 Teorem de l Sucesió Moóto Tod sucesió cotd y moóto es covergete. Not: Tod sucesió covergete es cotd. L recíproc o es ciert. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 7

8 Tem IV. Sucesioes y Series Series Defiició de serie. L sum de los térmios de u sucesió ifiit, obtiee u expresió de l form ~ () se deomi serie ifiit, o solo serie, y se deot co el símbolo o L serie Al sumr suficietes térmios de l serie es posible hcer que ls sums prciles se t cercs como se quier. Por eso es rzoble decir que l sum de est serie ifiit es igul y escribir Aplicdo u ide similr pr determir si u serie geerl () tiee o o tiee u sum. Cosideremos ls sums prciles s s s 3 3 s y, e geerl, s i i Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 8

9 Tem IV. Sucesioes y Series Ests sums prciles form u uev sucesió lim teer o o u límite. Si existe s s s, l cul puede, se llm sum de l serie ifiit. Defiició de serie covergete y divergete Dd u serie ifiit s , l -ésim sum prcil está dd por Si l sucesió de sums prciles s coverge s, etoces l serie coverge. El límite s se llm sum de l serie. Si s s diverge, etoces l serie diverge. Ejemplo. Determie si l serie coverge o diverge. Si coverge determie su sum. Quizás es coveiete escribir los primeros cico térmios de l serie. ( ) S Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 9

10 Tem IV. Sucesioes y Series Usdo l descomposició de frccioes : A B ( ) A( ) B A, B Luego teemos que :... ( ) Hciedo l sumtori : S Por lo t to, lim S lim L serie es covergete y su sum es Serie Geométric Defiició. Se dice que l serie es u serie geométric si cd 0 térmio después del primero es u múltiplo fijo imedito del terior. Esto es, existe u úmero r 0. r, llmdo rzó de l serie, tl que Tod serie geométric se escribe de l siguiete form: 0 r r r r r Teorem 4.6. Sum de u serie geométric Si r, etoces l serie geométric coverge y su sum es Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 0

11 Tem IV. Sucesioes y Series r 0 r Si r y 0, etoces l serie geométric diverge. Ejemplo. Determie si l serie dd es covergete o o. E cso de serlo, hlle su sum prcil L serie dd es geométric : su primer tér mi o es 4 y su rzó es r 4 3 Como r, l serie es covergete L sum prcil es : 4 S 6 r 3 Teorem 4.7. Límite del térmio -ésimo l covergeci de u serie pr Si l serie es covergete, etoces lim 0 Not: El iverso del teorem terior o es cierto. Teorem 4.7. Prueb del térmio -ésimo pr l divergeci Si ocurre que lim 0 o bie que el límite o existe, etoces l serie ifiit diverge. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

12 Tem IV. Sucesioes y Series Ejemplo. Determie si l serie dd es covergete o divergete. Clculmos el límite de lim lim 0 : Pr teer u visió vmos escribir por lo meos los primeros cico térmios de l serie S Sumdo los tér mi os teemos que : S L sum prcil es igul : S lim S lim L serie es covergete y su sum prcil es - Ejemplo. Clcule el límite de l siguiete serie y dig si es divergete o o. l Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

13 Tem IV. Sucesioes y Series Clculmos el límite de : lim l l lim l l l Ddo que el límite de 0, l serie es divergete. Teorem 4.8. Propieddes de series ifiits, etoces ls series siguietes coverge ls Si A, b B y c sums idicds.. c ca. b A B El Criterio de l Itegrl Teorem 4.9. El criterio de l itegrl. Si f es positiv, cotiu y decreciete pr x y f ( ), etoces y f ( x) dx so covergetes o mbs so divergetes. Ejemplo. Verifique si l serie es covergete ( ) 3 Primero lizmos si l fució es positiv, cotiu y decreciete pr x. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 3

14 Tem IV. Sucesioes y Series f ( x), lizdo l fució e x, os dmos cuet f es 3 (x ) positiv, cotiu y decreciete; por t to podemos plicr el criterio de l it egrl. dx b dx b lim lim (x ) (x) (x) b 3 b 3 3 (x ) dx lim b lim lim b (b ) ( ) b (b) (3) lim b (b ) 9 ( ) Como f ( x) coverge tmbié coverge b Series p y Series Armóics U serie de l form... es u serie p p p p p p 3 4, dode p es u costte positiv. Pr p=, l serie es l serie rmóic. U serie rmóic geerl es de l form. b Teorem 4.. Covergeci de series p L serie p,... p p p p p 3 4. Coverge si p>. Diverge si 0<p Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 4

15 Tem IV. Sucesioes y Series Criterio de comprció direct Teorem 4.. Criterio de comprció direct Se 0< b pr todo.. Si b coverge, etoces coverge.. Si diverge, etoces b diverge. Ejemplo. Utilizdo el criterio de comprció direct, determie si l serie coverge. Est serie se prece es u serie tipo p, dode p>, por tto es coverge. L comprció térmio térmio d Aplicdo el criterio de l comprció direct, l serie es covergete. Criterio de l Comprció e el Límite Teorem 4.3. Criterio de l comprció del límite Si 0, b 0 y lim b L Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 5

16 Tem IV. Sucesioes y Series y b Dode L es fiito y positivo. Etoces ls dos series coverge o mbs diverge. Si L 0 y b coverge, etoces coverge. Ejemplo. Determie si l serie es covergete o divergete plicdo el criterio de comprció e el límite. 4 E el umerdor, el térmio domite es 4, por lo que b y e el deomidor lo es b es u serie tipo p, dode p=, esto idic que l serie es covergete. Ahor clculmos el límite 3 lim lim lim 4 3 b Como el límite es fiito y positivo y covergete. b coverge, etoces es Series Alterds o Altertes Hst el mometo solo hemos lizdo series co térmios positivos. Existe series co térmios positivos y egtivos. Ls series más secills de este tipo so ls series lterds, cuyos térmios lter e sigo. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 6

17 Tem IV. Sucesioes y Series Defiició. U serie lterte es u serie ifiit de l form ( ) o de l form ( ), dode 0 pr todo. Teorem 4.4. Prueb de l serie lterd Si ls series lterds ( ) y ( ) stisfce ests dos codicioes:. 0 pr todo y. lim 0, x etoces ls series ifiits coverge. Teorem 4.5. Estimció del residuo de u serie lterd Si u serie lterd covergete stisfce l codició, etoces el vlor bsoluto del resto R N que se tiee l proximr l sum S co S N es meor o igul que el primer térmio desechdo. Es decir, S S R N N N Ejemplo. Determie si l serie es covergete, e cso de serlo proxime l sum de l serie usdo los primeros seis térmios. ( ) 3 Primero plicmos el teorem del criterio de l serie lterd Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 7

18 Tem IV. Sucesioes y Series lim 0. ( ) lim 0 y Como podemos observr, l serie stisfce ls codicioes, por tto es covergete. Ahor psmos relizr l proximció medite los primeros seis térmios S L sum de los primeros seis térmios es S De cuerdo l teorem del residuo de l serie lterd: 3 S S6 R Así que, l sum de S está etre y , se cocluye que S Covergeci Absolut Defi ició. Se dice que l serie siempre que l serie coverge de form bsolut Coverj. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 8

19 Tem IV. Sucesioes y Series Teorem 4.6. Covergeci bsolut Si l serie coverge, etoces l serie tmbié coverge. Covergeci codiciol Defi ició. U serie coverge, pero es codiciolmete covergete si diverge. Ejemplo. Alice si l serie dd coverge ( ) Desrrollmos l serie hst los primeros seis térmios ( ) Alicemos si coverge. Aplicdo el criterio de l serie lterd teemos: lim lim 0 ( ) y ( ) Ddo que covergete. es covergete, etoces es bsolutmete Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 9

20 Tem IV. Sucesioes y Series El Criterio del Cociete y el Criterio de l ríz Teorem 4.7. Criterio del cociete Asummos que el límite lim u u L existe o es ifiito. L serie de térmios distitos de cero:. Coverge bsolutmete si L.. Diverge si L. 3. Si L, l prueb de l rzó o es cocluyete. Ejemplo. Determie si l serie dd es covergete o divergete u u lim u L Clculmos el límite lim lim lim Aplicmos l regl de L Hôpitl: lim como L l serie es covergete Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 0

21 Tem IV. Sucesioes y Series Teorem 4.8. El criterio de l ríz Se u serie.. coverge bsolutmete si lim.. diverge si lim lim o. 3. El criterio de l ríz o es cocluyete si lim. Ejemplo. Aplicdo el criterio de l ríz determie si l serie es covergete o divergete. 3 ( ) Procedemos clculr lim 3 3 lim lim 0 ( ) Como lim 0, etoces l serie es covergete. Series de Potecis Defiició. Si x es u vrible, etoces u serie ifiit de l form 0 x x x x... x Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

22 Tem IV. Sucesioes y Series se llm serie de potecis. De form más geerl, u serie ifiit de l form 0 ( x c) ( x c) ( x c) ( x c)... ( x c) se llm serie de potecis cetrd e c, dode c es u costte. Rdio e itervlo de covergeci U serie de potecis e x puede verse como u fució de x f ( x) ( x c) 0 dode el domiio de f es el cojuto de tods ls x pr l que l serie de potecis coverge. Dd ls forms e que ls potecis de x está ivolucrds, l prueb del cociete es efectiv pr determir los vlores de x pr los cules u serie de potecis coverge. Supogmos que el límite lim ~ ( ) existe. Este es el límite que se ecesit si queremos utilizr l prueb de l rzó l serie de costtes. Pr plicr l prueb del cociete l serie de potecis, escribimos límite u x y clculmos el Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

23 Tem IV. Sucesioes y Series u x lim lim x ~ ( b) u x Si 0, etoces etoces x coverge bsolutmete pr tod x. Si, x diverge pr tod 0 positivo, vemos de l ecució (b) que pr tod x tl que x, es decir, cudo x. Si es u úmero rel x coverge bsolutmete x R lim E este cso l prueb de l rzó tmbié implic que x diverge si x R pero o es cocluyete cudo x R Teorem 4.9. Covergeci de u serie de potecis Pr u serie de potecis cetrd e c, exctmete u de ls siguietes firmcioes es ciert.. L serie coverge solo e c.. Existe u úmero rel R 0 tl que l serie coverge bsolutmete pr x c R, y diverge pr x c R. 3. L serie coverge pr todo x. El úmero rel R es el rdio de covergeci de l serie de potecis. Si l serie solo coverge e c, el rdio de covergeci es R 0, y si l serie coverge pr todo x, el rdio de covergeci es R. El cojuto de todos los vlores de x pr los cules l serie de potecis coverge es el itervlo de covergeci de l serie de potecis. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 3

24 Tem IV. Sucesioes y Series Ejemplo. Determie el cojuto de covergeci de l serie de potecis dd. x ( )! Aplicmos el criterio del cociete bsoluto x ( )! u x x lim lim u ( )! ( )! x x x ( )! x x ( )! lim lim lim! ( )! ( )! x ( )! x x lim lim x x x 0 0 L serie es covergete pr todo x. Opercioes co series de potecis Se f ( x) x y g( x) bx.. f ( kx) k x 0 N. f ( x ) 0 x N 3. f ( x) g( x) ( b ) x 0 Not: Ls opercioes descrits puede modificr el itervlo de covergeci de l serie resultte. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 4

25 Tem IV. Sucesioes y Series Derivció e itegrció de series de potecis Teorem 4.0. Derivció e itegrció de series de potecis Si l fució dd por 3 sx ( ) ( x c) 0 ( x c) ( x c) 3( x c)... 0 Tiee u rdio de covergeci R 0, etoces, e el itervlo ( c R, c R), S es derivble y por tto cotiu. L derivd y l itegrl de S so como sigue:, 3. s() x ( x c) ( x c) ( x c) 3 3( x c) 4 3( x c) t x 3 4. s( t) dt 0 0 t dt x 0x x 3x 44x El rdio de covergeci de l serie obteid por medio de derivció e itegrció de u serie de potecis es el mismo que el de l serie de potecis origil. Si embrgo, el itervlo de covergeci puede ser distito como resultdo del comportmie to e los putos termiles. Series de Tylor y de Mcluri Defiició. Si u fució f tiee derivds de todos los órdees e x, etoces l serie 0 f c f c!! f () c ( x c)! '' ( ) ( ) ( x c) f ( c) f '( c)( x c) ( x c) Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 5

26 Tem IV. Sucesioes y Series se llm serie de Tylor pr ( ) f x e c. Además, si c 0 serie recibe el ombre de serie de Mcluri pr f., etoces l Teorem 4.. Fórmul de Tylor co residuo Se f u fució cuy ( ) - ésim derivd f ( ) it ervlo I que cotiee c. Etoces, pr cd x e I, ( ) f "( c) f ( c) f ( x) f ( c) f '( c)( x c) ( x c)... ( x c) R ( x)!! dode el residuo R ( x) está ddo por l fórmul y es lg ú puto etre x y c. ( ) f ( ) R ( x) ( x c) ( )! ( x) existe pr cd x e u Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 6