Obtención de la matriz de varianzas y covarianzas a través de los productos Kronecker en modelos balanceados de dos y tres vías con aplicaciones en R

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1 Matrz d varazas covarazas modlos balacados d dos trs vías Dspobl lía : Vol. 6 N : 6-7 SICI: 7-5(9/)6:<6:ODLMDVYCADLPKEMBDDYVCAER>..S;-L Artículo orgal Obtcó d la matrz d varazas covarazas a través d los productos Krockr modlos balacados d dos trs vías co aplcacos R Luz Mara Moa-Moa, Mlto Jauaro Ruda-Varó Dpartamto d Matmátcas, Grupo d Físca Matmátca. Facultad d Ccas, Potfca Uvrsdad Javraa, Bogotá, D.C., Colomba : luz.moa@javraa.du.co; mlto.ruda@javraa.du.co Rcbdo: 5-6-; Acptado: 8-- Rsum Objtvo. Prstar ua mtodología basada l cocpto d productos Krockr qu faclta la costruccó d la matrz d varazas covarazas para dsños co structura balacada d datos a -vías ua aplcacó ralzada R para facltar su cálculo aplcacó dfrts áras. Matrals métodos. S proporcoa u puto d partda para prsoas trsadas utlzar R l aálss d varaza. Rsultados. S utlza ua aplcacó ralzada R dod s dsarrolla la mtodología basada productos Krockr mdat la cual s costru la matrz d varazas covarazas cuado s trabaja dsños co structura balacada d datos dsarrollada por Moa. D gual forma s prsta ua aplcacó dl método co datos rals. Coclusos. La mtodología xpusta prmt aglzar l dsarrollo solucó d alguos problmas práctcos. El método propusto pud sr aplcado a modlos mxtos co fctos fjos o alatoros co cualqur úmro d factors. Palabras clav: productos Krockr, matrz d varazas covarazas, dsños balacados, modlos lals, R Gu. Abstract Obtamt of th varac-covarac matrx through Krockr products for balacd modls of two ad thr was wth applcatos R. Objctv. o prst a mthodolog basd o th cocpt of Krockr products that facltats th costructo of th varac ad covarac matrx for dsgs wth balacd data structur for ad was, ad a applcato R to facltat ts calculato ad applcato dffrt aras. Matrals ad mthods. W provd a startg pot for popl trstd usg R th aalss of varac. Rsults. W us a applcato mad R for a mthodolog basd o Krockr products through whch w buld th covarac matrx for workg wth dsgs wth balacd data structur dvlopd b Moa (). W also prst a applcato of th mthod wth ral data. Coclusos. Wth ths mthodolog w ca acclrat th dvlopmt ad soluto of som practcal problms. h proposd mthodolog ca b appld to mxd modls wth fxd or radom ffcts wth a umbr of factors. K words: Krockr products, varac ad covarac matrx, balacd dsgs, lar modls, R Gu. Rsumo Obtção da matrz d varâca-covarâca através dos produtos Krockr m modlos balacados d duas três vas com aplcaçõs m R. Objtvo. Aprstar uma mtodologa basada o cocto d produtos d Krockr para facltar a costrução da matrz d varâca-covarâca para dshos com strutura balacada d dados m vas uma aplcação ralzada m R para 6

2 Uvrstas Sctarum,, Vol. 6 N : 6-7 o cálculo fácl aplcação m dfrts áras. Matras métodos. É forcdo um poto d partda para as pssoas trssadas m utlzar R a aáls d varâca. Rsultados. Usa-s uma aplcação ralzada m R, od é dsvolvda a mtodologa basada os produtos d Krockr com a qual s costró a matrz d varâca-covarâca quado s trabalha m dshos com strutura balacada d dados sgudo Moa (). Da msma forma, s aprsta uma aplcação do método com dados ras. Coclusõs. A mtodologa dscrta pod aclrar o dsvolvmto solução d algus problmas prátcos. O método proposto pod sr aplcado a modlos mstos com ftos fxos ou alatóros com qualqur úmro d fators. Palavras-chav: produtos d Krockr, matrz d varâca-covarâca, dshos balacados, modlos lars, R Gu. Itroduccó Ho día l avac d los procsadors l dsarrollo d softwar stadístco ha prmtdo qu los vstgadors dvrsas áras dl coocmto tga a su dsposcó ua gra catdad d hrramtas computacoals qu ls prmt u aálss óptmo d la formacó. Dtro d stas hrramtas, s cutra aplcacos d dstrbucó lbr, como s l caso dl R, l softwar stadístco más mplado a vl mudal vstgacó. Lamtablmt, dfrts áras aplcadas, su uso s ha vsto lmtado por l dscoocmto d sus procdmtos su lta dvulgacó. El objtvo d st artículo s proporcoar u puto d partda para prsoas trsadas utlzar R l aálss d varaza, prstar ua aplcacó ralzada l msmo softwar, dod s dsarrolla la mtodología basada productos Krockr mdat la cual s costru la matrz d varazas covarazas cuado s trabaja dsños co structura balacada d datos a -vías dsarrollada por Moa (). Los algortmos prstados pud sr mplados modlos a -vías co cualqur úmro d factors. La matrz d varazas covarazas s costru bajo los supustos usuals para modlos ftos utlzado l método propusto por Moa (). S ha scogdo utlzar R, dbdo a la uvrsaldad d su uso lbr dstrbucó. R s ofrc gratutamt bajo los térmos d la GNU Gral Publc Lcc; su dsarrollo dstrbucó so llvados a cabo por varos stadístcos coocdos como l Grupo Nuclar d Dsarrollo d R. S ha tratado d smplfcar las xplcacos al máxmo co l f d hacrlas lo más comprsvas posbls para qu usuaros d cualqur vl puda utlzar los dsarrollos aquí platados. Para profudzar la toría subact al aálss d la varaza sus aplcacos s pud cosultar, tr otros, Carmoa (), McCulloch (), Sudhr Saha (4) o los cláscos Hartl Rao (5) Sarl (6). S s qur profudzar l aprdzaj d R o dsarrollar otro tpo d aplcacos, l lk s cutra toda la formacó csara. ambé s pud cosultar Crawl (7) Dalgaard (8), dod s prsta alguas aplcacos d R. Matrals métodos Co l f d ralzar ua adcuada dscrpcó d los métodos d stmacó d compots d varaza, s prsta la forma más gral d u modlo lal domado modlo mxto gral. La formulacó dl modlo mxto gral orgalmt propusto por Hartl Rao (5) acptada como stádar l campo d la stmacó d las compots d varaza sta dada por: Dod: Nx : Vctor d obsrvacos = Xb + ZU + [] X NxK : Matrz asocada a los fctos fjos b Kx : Vctor d parámtros asocados a los fctos fjos U qx : Vctor asocado a los fctos alatoros. Z Nxq : Usualmt s ua matrz d cdca asocada a fctos alatoros Nx : Vctor d térmos dl rror. Como: U U U S ZU Nx [ Z Z S ] =,, = Z U [] S = 64 Moa-Moa t al

3 Matrz d varazas covarazas modlos balacados d dos trs vías Dod: por lo tato: Z so los vctors columa d Z. S = Xb + Z U [] = D sta forma, la varaza d pud sr dfda como: S = Z Z + I = N [4] A s l atrbu la structura usual d varaza-covaraza d u compot d rror, dado por: E( ) = Var ( ) = I N [5] E prmr lugar s prsta los algortmos ralzados R para ralzar aálss d varaza a -vías. Dsño Alatoro a -vía Co l f d lustrar la utlzacó d R l aálss d varaza, s pud dfr l modlo a -vía como: = µ + +, =,, Dod: dota l factor co ~ N (, ) l trmo corrspod al rror dfdo atrormt co ~ N (, ). E prmr lugar s db grsar los datos (ot qu xst k vls), para tal f s usa las sguts struccos: > Data.Nvl <- c(,,..., ) : > Data.Nvlk <- c( k, k,..., kk ) S mbargo dbdo a la structura d R, xst ua forma adcuada para orgazar la formacó qu s prtd aalzar. Prmro qu todo s orgaza los datos u úco vctor s agrga ua varabl cualtatva o factor qu os dqu la poblacó corrspodt a cada caso, así:. [6] >Data <- c(data. Nvl, Data. Nvl,..., Data. Nvlk) > Nvl <- rp(:k, ach= ) > Nvl <- factor(ratamto, labls=c( Data. Nvl,..., Data. Nvl k ) Es csaro otar qu R, s mprscdbl dfr l vctor tratamto como u factor, a qu caso cotraro s podría cofudr co u vctor umérco sto afctaría l aálss, admás st caso = =...= k. Exst ua struccó qu mplmta los dos pasos atrors: > Data <- gl(k,, labls=c( Data.Nvl, Data. Nvl,..., Data.Nvlk ) ) Ua vz s t los datos orgazados R, s pud obtr alguas stadístcas dscrptvas o u gráfco d mdas. D gual forma, rsulta útl para aálss d sta aturalza, ralzar u boxplot múltpl, mdat las struccos: > tappl(data, Nvl, summar) >plotmas(data$data, Data$Nvl, rror.bars= s ) > plot(data~ Nvl) S s asum qu la varabl Data sgu ua dstrbucó ormal co gual varaza las k poblacos, l ANOVA o la tabla d aálss d varaza, s obt co: > Data.av <- aov(data~ Nvl) > summar(data.av ) S s qur sr más spcfco o más formal, s pud utlzar la dfcó dl modlo lal obtr los msmos rsultados mdat > Data.glm <- lm(data~ Nvl) > aova(data.glm) Admás, las stmacos d los rspctvos parámtros, pud sr calculadas co la struccó: > modl.tabls(data.av ) U rsum d todo l modlo co la formacó prtt s obt co >summar (Data.glm) 65

4 Uvrstas Sctarum,, Vol. 6 N : 6-7 Dsño Alatoro a -vías E prmr lugar, s csaro dfr l modlo. Así, El modlo a -vías pud sr xprsado como:, = µ + + +,, =,,,, = [7] Dod: dota l factor co ~ N (, ), dota l factor co ~ N (, ), l trmo, corrspod al rror dfdo atrormt co ~N (, )., E st caso los datos so troducdos mdat: > Data <- c(,,...,,..., pk, pk,..., pkk ) > ratamto <- gl(k, p) > ratamto <- factor(rp(:k, p)) > xtabs(data ~ ratamto+ ratamto) Usado comados smlars a los prstados l caso a -vía, s pud grar u rsum d los datos los rspctvos gráfcos qu acompaña st aálss utlzado las struccos: > tappl(data, ratamto, summar) > tappl(data, Bloqu, summar) > strpchart(data ~ ratamto, mthod = stack ) > strpchart(data ~ ratamto, mthod = stack ) > tracto.plot(ratamto, Bloqu, Data) > tracto.plot(bloqu, ratamto, Data) Y l modlo lal la tabla dl aálss d la varaza s costru co: > Data.glm <- lm(data ~ ratamto+ ratamto) > aova(data.glm) Como s pud obsrvar los atrors procdmtos, s utlza struccos smlars a las prstadas l caso d -vía, s dcr al lctor trsado ralzar aálss a maor vl, l rsultará scllo stablcr u patró d gralzacó d las struccos d acurdo al úmro d compots qu rqura. A cotuacó s prsta ua aplcacó R qu prmt la costruccó d la matrz d varazas covarazas cuado s trabaja dsños co structura balacada d datos a -vías basada la mtodología propusta por Moa (). E st tpo d modlo s mportat dtrmar los mjors stmadors lals ssgados (MELI), los mjors prdctors lals (BLUP). Estos stmadors juga u mportat papl a la hora d ralzar frca putual por trvalos sobr los parámtros. ato los MELIS como los BLUPS dpd dl coocmto d la structura apropada d la matrz d varazas covarazas, así como d su vrsa s allí dod radca la mportaca d la aplcacó aquí prstada. Rsultados Costruccó d la matrz d varazas covarazas U dsño factoral s aqul l qu s vstga todas las posbls combacos d los vls d los factors cada sao complto o réplca dl xprmto. Por jmplo, s xst vls dl factor vls dl factor, tocs cada rplca dl xprmto cot todas las combacos d los tratamtos. A mudo, s dc qu los factors stá cruzados cuado stos s arrgla u dsño factoral. E st artículo s dtrma la matrz d varaza covarazas (V ) para dsños a dos trs vías s tr cuta l fcto d réplca. Para l cálculo d la matrz V l caso d dos vías co fcto d réplca vr Moa (). Modlo Alatoro a -vías A cotuacó d prsta la mtodología mdat la cual, s costru la matrz V d mara sclla drcta. D gual forma, s propo ua mtodología para hallar la vrsa d sta matrz. E la dtrmacó d la matrz d structura V, = = Z Z [9] s Dod: Z Z s la matrz d covarazas pud sr scrta térmos d productos Krockr [ ] d matrcs I s (matrz dtdad d tamaño SxS) J s (matrz d uos co tamaño SxS) como s prsta a cotuacó, s la varaza d., Sa P l úmro d subídcs asocados a la varabl rspusta ( st caso, P = ), los cuals dpd d los fctos traccos fjas /o alatoras dl modlo, 66 Moa-Moa t al

5 Matrz d varazas covarazas modlos balacados d dos trs vías p tocs s t partcos d productos Krockr co matrcs I s J, las cuals so rsumdas por la s xprsó: p = I I ; I J ; J I ; J J ] [] [ dfdo la fucó dcadora: γ fcto S pud rscrbr = para l caso P =, como: p = [ ; ; ; ] Caractrzado l vctor, s costru l vctor asocado co las compots d varaza θ = θ, p sgú l sgut crtro: θ p = co sto V = [ θ ] Dod: s la matrz fal d prmutacos rprsta ua prmutacó d θ dada por P Dod:, d varaza. θ = [ ; ; ;] Por otro lado, dfdo s t qu V P θ so los rspctvos compots λ = θ s aparc J s [] s aparc I s s xst co rlacó tr l subídc dl fcto la poscó dl cro caso cotraro P P = P λp, [] [] [4] [5] [6] [7] Dod: p = = p A cotuacó s costru ua fucó R qu ralza st cálculo d mara sclla co l f d facltar su aplcacó práctca. El prmr paso la costruccó d la matrz V, s la dfcó dl vctor asocado a las compots d varaza θ, como: Dod:, d varaza. θ = [ ; ; ;] so los rspctvos compots Est vctor srá l sumo dl algortmo ralzado R, al gual qu qu corrspod a los vls dl prmr sgudo factor alatoro ( ), rspctvamt. Para calcular la matrz V, prmro qu todo, s db complar la fucó (V_vas) qu aparc a cotuacó: #Costruccó d V_vas la matrz d varazas covarazas > V_vas <- fucto(s,s,s,,){ + (Sdag()) + (S krockr ((dag()),matrx (, col=, row=)))+ + S krockr(matrx(, col=, row=),(dag())) + } Lugo para obtr la matrz V, basta co utlzar la struccó: >V_vas (S,S,S,,) [8] [9] [] Dod: S corrspod a, S a, S a, corrspod al total d vls d, rspctvamt. Falmt para calcular la vrsa d la matrz V, prmro qu todo, s db complar la fucó (Vv_vas) qu aparc a cotuacó: 67

6 Uvrstas Sctarum,, Vol. 6 N : 6-7 > Vv_vas <- fucto(s,s,s,,) + { + hta <- matrx(c( S, S, S, ),row =, col = 4) + p <- matrx(c(,,,,,,,,,,,,,,,( )),row = 4, col = 4) + Lambda <- hta %% t(p) + Lambda <- / Lambda + p <- solv(p) + M<- p %% t(lambda) + D <- dag()m[,] + D <- (krockr ((dag()),matrx(, col=, row=))) M[,] + D <- (krockr(matrx(, col=, row=),(dag()))) M[,] + D4 <- (matrx(, col=(), row=())) M[4,] + D+D+D+D4 + } D sta forma, para obtr la matrz vrsa V -, basta co utlzar la struccó: > Vv_vas (S,S,S,,) Admás V = P λp Dod: λ P s dfdo como [6], p = p = A cotuacó s costru la rspctva fucó R mdat la cual s ralza los cálculos atrormt xpustos. Como l caso a -vías, l prmr paso la costruccó d la matrz d V s la dfcó dl vctor asocado a las compots d varaza θ, así: θ = [ ;;;;; ; ; ;] [4] [5] [6] [7] Dod: S corrspod a, S a, S a, corrspod al total d vls d, rspctvamt. Dod:, varaza., so los compots d Modlo -vías Utlzado ua mtodología smlar a la aplcada l modlo a -vías, V pud sr calculada como Dod: V = [ θ ] θ = [ ;;;;; Dod:,, varaza, ; ; ;] [] [] so los compots d Est vctor srá utlzado por l algortmo ralzado R, al gual qu,, qu corrspod a los vls dl prmr, sgudo trcr factor alatoro (, ), rspctvamt. Para calcular la matrz s varazas covarazas, prmro qu todo, s db complar la fucó (V_vas) qu aparc a cotuacó: > V_vas <- fucto(s,s,s,s,,,){ + (Sdag()) +S krockr(matrx(, col=, row=),(dag()))+ + S krockr(krockr(matrx(, col=, row=),(dag())), matrx(, col=, row=))+ + (S krockr ((dag()),matrx(, col=, row=))) + } ; J = [ I I ; J ; I I J J ; I ; I J J I ; J ; J I ] [] Para obtr la matrz V, s utlza la struccó: >V_vas (S,S,S,S,,,). 68 Moa-Moa t al

7 Matrz d varazas covarazas modlos balacados d dos trs vías Dod: S corrspod a, S a, S a, S a,, corrspod a los vls d,, rspctvamt. Para calcular la vrsa d la matrz V, prmro qu todo, s db complar la fucó (Vv_vas) qu aparc a cotuacó: > Vv_vas <- fucto(s,s,s,s,,,) + { + hta <- matrx(c( S,,,,S,S, S, ),row =, col = 8) + p <- krockr(matrx(c(,,,),row =, col = ), matrx(c(,,,),row =, col = )) + p<- krockr(matrx(c(,,,),row =, col = ),p) + Lambda <- hta %% t(p) + Lambda <- / Lambda + p <- solv(p) + M<- p %% t(lambda) + D <- dag()m[,] + D <- (krockr ((dag()),matrx(, col=, row=))) M[,] + D <-krockr(dag(), (krockr(matrx(, col=, row=),(dag())))) M[,] + D4 <- krockr(matrx(, col=, row=), (matrx(, col=(), row=()))) M[4,] + D5 <- krockr(matrx(, col=(), row=()), (matrx(, col=, row=))) M[5,] + D6 <-krockr(matrx(, col=, row=), (krockr(dag(),matrx(, col=, row=)))) M[6,] + D7 <- (krockr ((dag()),matrx(, col=(), row=()))) M[7,] + D8 <- matrx (, col=(), row=()) M[8,] + D+D+D+D4+D5+D6+D7+D8 + } Así, para dtrmar la matrz V -, s utlza la struccó: >Vv_vas (S,S,S,S,,,) Dod: S corrspod a, S a, S a, S a,, corrspod a los vls d,, rspctvamt. Dscusó La stmacó d compots d varaza s útl la dtfcacó d futs d varacó. Exst varos métodos d stmacó d compots d varaza. El problma d la stmacó d los compots d varaza s ha abordado hstórcamt dsd dos prspctvas dfrts: structuras balacadas dsbalacadas d datos. Para la prmra, la stmacó rca xclusvamt l método propusto por Hdrso, mtras qu para la sguda, xst varos procdmtos, tr llos, trs xtsos dsttas dl método utlzado para datos balacados. S db dstgur tr stas dos structuras pusto qu ambas s basa la posbldad qu xst d cotrar formas cuadrátcas o dfdas postvas ua structura dsbalacada d datos. Dspués d tr u algortmo qu prmt dducr la matrz d varazas covarazas la corrspodt vrsa, rsulta d gra utldad las fucos ralzadas R, mdat las cuals s pud llvar a cabo múltpls aplcacos. La dscusó toro a st tma quda abrta st trabajo prmt xplorar dfrts tpos d modlos co structuras dfrts a los aquí xpustos. Aplcacó dl modlo Gozálz (9), valúa l fcto dl agua rsdual urbaa co dfrts vls d tratamto lamas d rgo sobr las caractrístcas físcas, químcas carga bactróloga d u sulo agrícola. Los tratamtos s stablcro a través dl dsño compltamt al azar co arrglo combatoro factoral 4x, corrspodt a tratamtos. Los factors furo caldad dl agua (sulo rgado co agua cruda, sulo rgado co agua tratada a vl prmaro, sulo rgado co agua tratada a vl scudaro sulo rgado co agua blaca), l sgudo factor fu las lamas d rgo 8,8 mm/día. El autor ralzó u aálss d varaza a cada ua d las varabls valuadas para dtrmar l fcto d los tratamtos. Para sta aplcacó s tomó l aálss d varaza para l cotdo d arclla l sulo rgado co agua rsdual. D sta forma los compots d varaza stá dados por: θ = [8 8.; 8.4; 8.5; ] [8] 69

8 Uvrstas Sctarum,, Vol. 6 N : 6-7 Etocs aplcado la fucó V_vas (Para st caso V_vas (8., 8.4, 8.5, 4.)), s obt la matrz d varazas covarazas (V ) dada por: [9] D gual forma, aplcado la fucó Vv_vas s obt la vrsa ( V ) dada por:,7 -, -, -,6,8,8 -,6,8,8 -,6,8,8 -,,7 -,,8 -,6,8,8 -,6,8,8 -,6,8 -, -,,7,8,8 -,6,8,8 -,6,8,8 -,6 -,6,8,8,7 -, -, -,6,8,8 -,6,8,8,8 -,6,8 -,,7 -,,8 -,6,8,8 -,6,8,8,8 -,6 -, -,,7,8,8 -,6,8,8 -,6 -,6,8,8 -,6,8,8,7 -, -, -,6,8,8,8 -,6,8,8 -,6,8 -,,7 -,,8 -,6,8,8,8 -,6,8,8 -,6 -, -,,7,8,8 -,6,8,8 -,6,8,8 -,6,8,8,7 -, -, -,,8 -,6,8,8 -,6,8,8 -,6,8 -,,7 -,,8,8 -,6,8,8 -,6,8,8 -,6 -, -,,7. [] Coclusos La mtodología xpusta prmt aglzar l dsarrollo solucó d alguos problmas práctcos mdat la stmacó d la matrz d varazas covarazas. El método propusto pud sr aplcado a modlos mxtos co fctos fjos o alatoros co cualqur úmro d factors mdat la aplcacó ralzada R s logra mplmtar los cálculos d mara óptma fct. E st tpo d modlo s mu mportat dtrmar los mjors stmadors lals ssgados (MELI), los mjors prdctors lals (BLUP), co l objto d ralzar frca putual por trvalos para tomar dcsos apropadas muchos problmas d aplcacos. Como los MELIS los BLUPS dpd dl coocmto d la structura apropada d la matrz d varazas covarazas d su vrsa, l algortmo xpusto prmt optmzar l cálculo d stos stmadors. Facacó Est trabajo o tuvo gú tpo d facacó xtra fu ralzado dtro d las labors académcas d los autors. Coflcto d trss No xst coflcto d trss. 7 Moa-Moa t al

9 Matrz d varazas covarazas modlos balacados d dos trs vías Rfrcas. Moa LM. Obtcó d la matrz d varazas covarazas a través d los productos Krockr para modlos balacados. Uvrstas Sctarum ; 8 (): Carmoa F. Modlos lals. Volum d Elctrocuvrst mathmatcal books. EdtorPublcacos Edcos, Uvrstat d Barcloa, Barcloa, España. 5, 66 p.. MacCulloch, C.E. Gralzd mxd modls. Volum. NSF-CMBS Rgoal Cofrc Srs Probablt ad Statstcs., 84 p. 4. Sudhr P, Saha K. h gralzd lar modl ad xtsos: A rvw ad som bologcal ad vromtal applcatos. Evromtrcs 7; 8: Hartl HO, Rao JNK. Maxmum lklhood stmato for th mxd aalss of varac modls. Bomtrka 967; 54: Sarl SR. Bult rstrctos o bst lar ubasd prdctors (BLUP) of radom ffcts mxd modls. h Amrca Statstca 997; 5: Crawl M. Bodvrsdad statstcs: a troducto usg R. Prmra dcó. Joh Wl & Sos. Lodo. Eglad. 5, 7 p. 8. Dalgaard P. Itroductor statstcs wth R. Prmra dcó. Sprgr. Nw York, USA. 8, 6 p. 9. Gozálz J. Efcto d la adcó d agua rsdual urbaa sobr las caractrístcas d u sulo Agrícola. ss Doctoral, ára: Botcología. Uvrsdad d Colma, comá, Méxco,, p. 7