y se dice que dicha aplicación σ = σ(t) es una parametrización de la curva C.

Transcripción

1 Cpítulo I Concepto de curv 1. Curvs regulres Intuitivmente, un curv en R n es un conjunto C R n que puede describirse con un único prámetro que vrí en un intervlo I de l rect rel R. Dich descripción se hce medinte un plicción σ : I R n t σ(t) C, y se dice que dich plicción σ = σ(t) es un prmetrizción de l curv C. Ejemplo 1.1 Un mism curv puede dmitir muchs prmetrizciones distints. Así, si C es l semirrect biert de R 2 que determin el eje positivo de bsciss, C = {(x, 0) R 2 : x > 0}, entonces podemos considerr ls siguientes prmetrizciones de C: () σ : (0, + ) R 2 t σ(t) = (t, 0) ; (b) (c) (d) φ : R R 2 t φ(t) = (e t, 0), ; ϕ : ( 1, + ) R 2 t ϕ(t) = (t 3 + 1, 0) ; g : ( 1, + ) R 2 (t + 1, 0) si 1 < t < 0, t g(t) = (1, 0) si 0 t 1, (t, 0) si 1 < t ; 1

2 2 Cpítulo I. Concepto de curv (e) (f) f : (0, + ) R 2 { (1 t, 0) si 0 < t < 1, t f(t) = (t, 0) si 1 t ; h : (0, + ) R 2 { (t, 0) si 0 < t < 1, t h(t) = (2t 1, 0) si 1 t. Ls prmetrizciones (), (b) y (c) son diferencibles, l (d) y l (f) son continus pero no son diferencibles, y l (e) ni siquier es continu. En este curso queremos plicr los métodos del cálculo diferencil l estudio de ls curvs en R 3, y es por eso que en generl considerremos prmetrizciones diferencibles. 1.2 En delnte I denotrá un intervlo bierto de R (cotdo ó no). Recordemos que tod plicción que vlor en R n tiene sus funciones componentes : sobre R n tenemos ls funciones coordends crtesins x 1,..., x n, donde ddo i {1,..., n} es R n x i R (λ 1,..., λ n ) λ i. Ahor, dd un plicción σ : I R n, si denotmos σ i = x i σ, i = 1,..., n, entonces tenemos σ : I R n t σ(t) = (σ 1 (t),..., σ n (t)) ; ls funciones σ 1,..., σ n son ls componentes de l plicción σ, y brevidmente escribimos σ = (σ 1,..., σ n ). Del Análisis Mtemático sbemos que l plicción σ es continu si y sólo si sus componentes σ 1,..., σ n son funciones continus, y σ es diferencible si y sólo si σ 1,..., σ n son diferencibles; nótese que σ 1,..., σ n son funciones reles de vrible rel (que son ls funciones que se estudin en el bchillerto). En generl, σ = σ(t) es un plicción de clse C r (r 0) cundo sus componentes son funciones de clse C r. Recordemos que si σ = (σ 1,..., σ n ) es de clse C r con r 1, entonces l plicción σ = (σ 1,..., σ n) es de clse C r 1 (r 1 0). Definición 1.3 Llmremos representción prmétric regulr (brevidmente, prmetrizción regulr) tod plicción σ : I R n, σ = (σ 1,..., σ n ), que cumpl: (i) σ es de clse C 1 ; (ii) σ (t) = (σ 1 (t),..., σ n(t)) 0 pr todo t I. Ejemplo 1.4 Pr ls prmetrizciones dds en el ejemplo 1.1 tenemos: () y (b) son regulres; (c) es de clse C 1 pero no es regulr; (d) y (f) son de clse C 0 (continus) pero no son de clse C 1 (y por tnto no son regulres); (e) ni siquier es de clse C 0.

3 1. Curvs regulres Aunque tods ls prmetrizciones de clse C 1 del ejemplo 1.1 son plicciones inyectivs, no es cierto que tod prmetrizción de clse C 1 se inyectiv (ni unque se regulr). Por ejemplo, σ : R R 2 t (cos t, sen t) es un representción prmétric regulr de l circunferenci de rdio 1 de R 2 centrd en el origen. Cundo el prámetro t recorre R, el punto σ(t) se mueve sobre dich circunferenci en el sentido contrrio l de ls gujs del reloj, de modo que cundo t vnz un intervlo de longitud 2π, σ(t) complet un vuelt: pr todo t R y pr todo k Z se cumple σ(t) = σ(t + 2kπ). Lem 1.6 Tod representción prmétric regulr es loclmente inyectiv. Demostrción. Utilizremos el conocido teorem de Rolle. Ddos, b R con < b, se f : [, b] R un función continu que es diferencible en el intervlo bierto (, b); dicho teorem firm que si f() = f(b) entonces existe c (, b) tl que f (c) = 0, o lo que es equivlente, si f (t) 0 pr todo t (, b) entonces f() f(b). Se hor σ : I R n, σ = (σ 1,..., σ n ), un prmetrizción regulr y fijemos t 0 I. Tenemos que probr que existe un entorno bierto J de t 0 dentro de I tl que l restricción de σ J es inyectiv. Por hipótesis tenemos σ (t 0 ) = (σ 1 (t 0),..., σ n(t 0 )) 0, por lo que lgun de ls coordends de σ (t 0 ) no se nul; supongmos, por ejemplo, que es σ 1 (t 0) 0. Entonces σ 1 tmpoco se nul en lgún entorno de t 0 dentro de I porque es un función continu (σ 1 es de clse C 1 ), es decir, existe ϵ > 0 tl que (t 0 ϵ, t 0 + ϵ) I, y tl que si t (t 0 ϵ, t 0 + ϵ) entonces σ (t) 0. Aplicndo el teorem de Rolle obtenemos que σ 1 es inyectiv sobre el intervlo (t 0 ϵ, t 0 + ϵ), y por lo tnto σ tmbién es inyectiv sobre el mismo intervlo. 1.7 Pr obtener prmetrizciones de lguns curvs plns (curvs que ycen en un plno), veces puede resultr útil l utilizción de coordends polres, cuy noción recordmos continución. Ddo un punto (x, y) de R 2 {(0, 0)}, existe θ R, único slvo múltiplos enteros de 2π, tl que x = r cos θ, y = r sen θ, donde r = x 2 + y 2. Diremos que (r, θ) son coordends polres del punto (x, y). Ejercicios 1.8 () Se denomin cicloide l curv pln que describe un punto P 0 de un circunferenci C que rued sin resblr sobre un rect r. En R 2, supóngse que l rect r es el eje de bsciss, que el rdio de l circunferenci C es R > 0, y que inicilmente C está centrd en el punto (0, R) y P 0 = (0, 0) C. Obténgse un prmetrizción de l cicloide que describe P 0, y estúdiese l regulridd de dich prmetrizción. (b) Un epicicloide es l curv pln que describe un punto P 0 de un circunferenci C que rued sin resblr sobre otr circunferenci C 0. En R 2, supóngse que C 0 es l circunferenci de rdio r 0 > 0 y que está centrd en el origen (0, 0), que el rdio de l circunferenci C es r > 0, y que inicilmente C está centrd en el punto (r 0 + r, 0) y P 0 = (r 0, 0) C. Obténgse un prmetrizción de l epicicloide que describe P 0, y estúdiese l regulridd de dich prmetrizción.

4 4 Cpítulo I. Concepto de curv (c) Se llm hipocicloide l curv pln que describe un punto P 0 de un circunferenci C que rued sin resblr en el interior de otr circunferenci C 0 de myor rdio. En R 2, supóngse que C 0 es l circunferenci de rdio r 0 > 0 y que está centrd en el origen (0, 0), que el rdio de l circunferenci C es r > 0 (r 0 > r > 0), y que inicilmente C está centrd en el punto (r 0 r, 0) y P 0 = (r 0, 0) C. Obténgse un prmetrizción de l hipocicloide que describe P 0, y estúdiese l regulridd de dich prmetrizción. (d) Se k = 0, 1, 2,... un entero positivo y considérese l plicción σ : R R 2 t σ(t) = { ( t, t k sen 1 t ) si t 0, (0, 0) si t = 0. Estúdiese, en función del vlor de k, si σ = σ(t) es continu, derivble, ó representción prmétric regulr. Definición 1.9 cumpl: (i) θ = θ(t) es de clse C 1 ; (ii) θ (t) 0 pr todo t I. Llmremos cmbio dmisible de prámetro tod función θ : I R que Proposición 1.10 Se θ : I R, θ = θ(t), un cmbio dmisible de prámetro. Si Īdenot l imgen de θ, Ī = θ(i), entonces Ī es un intervlo bierto de R y θ : I Ī es un difeomorfismo (es biyectiv y su invers, que denotremos t : Ī I, t = t(θ), es diferencible). Como consecuenci se sigue que l función invers t = t(θ) tmbién es un cmbio dmisible de prámetro. Demostrción. En l rect rel, los conjuntos conexos (no vcíos) son justmente los intervlos, sí que como tod plicción continu entre espcios topológicos trnsform conjuntos conexos en conjuntos conexos, concluimos que Ī = θ(i) es un intervlo de R. Del mismo modo, por ser θ continu (porque θ es de clse C 1 ) obtenemos que θ (I) es un intervlo de R, y como dicho intervlo no contiene cero (por l condición (ii) de l últim definición), llegmos que debe cumplirse: θ (t) > 0 pr todo t I ó θ (t) < 0 pr todo t I. Por lo tnto, θ es estrictmente creciente ó es estrictmente decreciente, y en culquier de los dos csos llegmos que θ es inyectiv, es decir, θ : I Ī es un biyección. Comprobemos que el intervlo Ī es bierto, pr lo cul supondremos que no es bierto y llegremos un contrdicción. Si, por ejemplo, es Ī = [, b), entonces existe t 0 I tl que θ(t 0 ) = ; pero por ser I bierto existen t 1, t 2 I tles que t 1 < t 0 < t 2, y por lo tnto obtenemos: θ no es estrictmente creciente porque θ(t 1 ) = θ(t 0 ), y θ tmpoco no es estrictmente decreciente porque θ(t 2 ) = θ(t 0 ). Ahor, como θ : I Ī es un plicción biyectiv entre dos intervlos biertos de R, diferencible y con derivd no nul sobre todo I, entonces en los cursos de Cálculo se prueb que l plicción invers t : Ī I tmbién es diferencible y se cumple ( θ 1) = 1/θ ; es decir, si t 0 I y θ 0 = θ(t 0 ) Ī, entonces dt dθ (θ 0) = 1 dθ (t dt 0) = 1 θ (t 0 ).

5 1. Curvs regulres 5 En prticulr, t = t(θ) es de clse C 1 y tiene derivd no nul sobre todo el intervlo decir, t : Ī I es un cmbio dmisible de prámetro. Ī, es 1.11 Se σ : I R n, σ = σ(t), un prmetrizción regulr. Si t : Ī I, t = t(s), es un cmbio dmisible de prámetro, entonces l plicción σ : Ī Rn, σ(s) := σ(t(s)), esto es, l composición Ī t I σ R n s t(s) σ(t(s)), tmbién es un prmetrizción regulr. En efecto, por un prte tenemos que σ es de clse C 1 porque es composición de plicciones de clse C 1 ; por otr prte, ddos s 0 Ī y t 0 = t(s 0 ), plicndo l conocid regl de l cden obtenemos d σ ds (s 0) = d(σ t)) (s 0 ) = dσ ds dt (t 0) dt ds (s 0) 0. Ejemplos 1.12 Consideremos ls prmetrizciones dds en el ejemplo 1.1. (i) L prmetrizción (b) se obtiene de l prmetrizción () hciendo el cmbio de prámetros t : Ī = R (0, + ) = I, t(s) = e s. Ls prmetrizciones son regulres y el cmbio de prámetro es tmbién regulr (dmisible). (ii) Si en l prmetrizción () hcemos el cmbio de prámetros t : Ī = (0, + ) (0, + ) = I { 1 s si 0 < s < 1, s t(s) = s si 1 s, entonces obtenemos l prmetrizción (e), que no es continu. Nótese que l prmetrizción () es regulr, pero que el cmbio de prámetro no es dmisible (ni siquier es continuo). Definición 1.13 Dds dos prmetrizciones regulres σ : I R n t σ(t), σ : Ī Rn s σ (s), diremos que son equivlentes si existe un cmbio dmisible de prámetro s : I Ī tl que σ(t) = σ (s(t)), esto es, tl que es conmuttivo el triángulo I σ Ī σ R n Llmremos curv regulr ls clses de equivlencis que l nterior relción define en el conjunto de tods ls prmetrizciones regulres. Observción 1.14 Cundo tengmos un representción prmétric regulr σ : I R n, l identificremos con su imgen C = Im σ (que es l curv propimente dich) y busndo del lenguje diremos Se σ : I R n un curv regulr.... Ejercicio 1.15 Póngse un ejemplo de subconjunto C de R 2 que dmit dos prmetrizciones regulres no equivlentes (y por tnto determin l menos dos curvs regulres distints).

6 6 Cpítulo I. Concepto de curv 2. Longitud de un rco de curv Definiciones 2.1 Consideremos un curv σ : I R n (no necesrimente regulr), y fijemos en ell un rco de curv :, b I, < b, σ : [, b] R n. Cd subdivisión del intervlo cerrdo [, b] de l form = t 0 < t 1 <... < t m = b determin sobre l curv l sucesión finit de puntos σ() = σ(t 0 ), σ(t 1 ),..., σ(t m ) = σ(b), y por tnto define sobre dicho rco l poligonl P que tiene como vértices los puntos de es sucesión: l unión de los segmentos de rect que unen cd punto σ(t i 1 ) con el siguiente σ(t i ), i = 1,..., m. L longitud s(p ) de l poligonl es l sum de ls longitudes de sus segmentos de rect, esto es, s(p ) = { distnci del punto σ(ti 1 ) l punto σ(t i ) } = σ(t i ) σ(t i 1 ), donde ddo v = (x 1,..., x n ) R n es v = x x2 n. Interclndo vlores del prámetro t entre los t 0 < t 1 <... < t m obtenemos otr poligonl P sobre el mismo rco de curv con más puntos que l poligonl P, y de ls propieddes de l distnci euclíde de R n se sigue que s(p ) s(p ). Diremos que el rco σ : [, b] R n es rectificble (o que tiene longitud finit) cundo el conjunto de números reles L = { s(p ) : P es un poligonl sobre el rco σ : [, b] R n} esté cotdo superiormente, en cuyo cso se define l longitud de dicho rco de curv como el supremo del conjunto L (que existe porque todo conjunto de números reles que está cotdo superiormente tiene supremo). Se dice que σ : I R n es un curv rectificble cundo todo rco suyo se rectificble. Ejercicio 2.2 () Pruébese que l curv no es rectificble. (b) Pruébese que l curv σ : R R 2 t σ(t) = φ : R R 2 t φ(t) = { ( ) t, t sen 1 t si t 0, (0, 0) si t = 0. { ( t, t 2 sen 1 t ) si t 0, (0, 0) si t = 0. sí es rectificble. [ Indicciones: Ambs curvs son de clse C 1 en todo R slvo en t = 0, donde σ no es diferencible, y φ sí es diferencible pero φ no es continu. El resultdo que probremos en el siguiente teorem firm que tod curv de clse C 1 es rectificble, sí que en mbos csos hy que investigr qué ocurre sobre el rco de curv definido en un intervlo de l form [0, b]; por ejemplo b = 2/π, en cuyo cso es sen 1 b = 1.

7 2. Longitud de un rco de curv 7 Ahor, pr σ : [0, b] R 2 considérense poligonles con vértices en los puntos del rco de curv que están sobre ls rects y = x e y = x, y después téngse en cuent l iguldd m + =. Pr φ : [0, b] R 2, como este rco de curv está enmrcdo por ls prábols y = x 2 e y = x 2, ls longitudes de ls poligonles que están sobre este rco están cotds superiormente por (un múltiplo de) l serie m , que es convergente. ] Teorem 2.3 Tod curv de clse C 1 es rectificble (unque no se regulr). Demostrción. Se σ : I R n, σ(t) = (σ 1 (t),..., σ n (t)), un plicción de clse C 1. Consideremos un rco de curv suyo, σ : [, b] R n con, b I, < b, y vemos que es rectificble. Como ls funciones derivds σ 1,..., σ n son continus sobre todo el intervlo bierto I, se sigue que están cotds sobre [, b] : existen constntes positivs M 1,..., M n tles que σ 1(t) M 1,..., σ n(t) M n pr todo t [, b]. Consideremos sobre el rco de curv l poligonl P determind por un sucesión finit = t 0 < t 1 <... < t m = b. Fijdo un índice i {1,..., m}, por un prte tenemos 1 σ(ti ) σ(t i 1 ) = (σ1 (t i ) σ 1 (t i 1 ) ) ( σn (t i ) σ n (t i 1 ) ) 2 σ 1 (t i ) σ 1 (t i 1 ) + + σ n (t i ) σ n (t i 1 ). Por otr prte, del conocido teorem del vlor medio se sigue que existen c 1,..., c n (t i 1, t i ) tles que σ1 (t i ) σ 1 (t i 1 ) = σ 1 (c 1 ) (ti t i 1 ),. σn (t i ) σ n (t i 1 ) = σ n (c n ) (ti t i 1 ). De todo lo nterior obtenemos σ(t i ) σ(t i 1 ) σ 1 (t i ) σ 1 (t i 1 ) + + σ n (t i ) σ n (t i 1 ) y por lo tnto s(p ) = σ(t i ) σ(t i 1 ) (M M n ) = ( σ 1 (c 1 ) + + σ n (c n ) ) (t i t i 1 ) (M M n ) (t i t i 1 ), (t i t i 1 ) = (M M n ) (b ). Hemos demostrdo que el conjunto de números reles { s(p ) : P es un poligonl sobre el rco σ : [, b] R n} está cotdo superiormente por (M M n ) (b ), que es lo que querímos hcer. 1 Téngse en cuent l desiguldd x x2 n x x n.

8 8 Cpítulo I. Concepto de curv Teorem 2.4 Se σ : I R n, σ = σ(t), un curv de clse C 1. Ddos, b I, < b, l longitud del rco σ : [, b] R n es s = σ dt. (σ Demostrción. Escribmos σ = (σ 1,..., σ n ), de modo que será σ = 2 ( ) 1) + + σ 2. n Nótese que l función σ : [, b] R es continu porque σ = σ(t) es de clse C 1 ; por lo tnto está bien definid l integrl σ dt. Denotemos por s l longitud del rco de curv que estmos considerndo, esto es, s = sup { s(p ) : P es un poligonl sobre el rco σ : [, b] R n}. Fijdo ε > 0, tenemos que probr l desiguldd s σ dt < ε. Por un prte, como ls funciones σ 1,..., σ n son continus sobre el intervlo cerrdo y cotdo [, b], son uniformemente continus sobre el mismo intervlo: (i) existe δ 1 > 0 tl que si t, t [, b] cumplen t t < δ 1, entonces σ k (t) σ k (t ) < ε 3n(b ), k = 1,..., n. Por otr prte, de l definición de integrl tenemos: (ii) existe δ 2 > 0 tl que pr tod subdivisión = t 0 < t 1 <... < t m = b del intervlo [, b] que cumpl t i t i 1 < δ 2, i = 1,..., m, debe stisfcerse σ (t) dt σ (θ i ) (t i t i 1 ) < ε si θ i [t i 1, t i ], i = 1,..., m. 3 Ahor, por definición de s tenemos que existe un subdivisión = t 0 < t 1 <... < t m = b que define un poligonl P pr l que se cumple (iii) s s(p ) < ε 3. Además, interclndo vlores en l nterior subdivisión si fuer necesrio, podemos suponer que tenemos t i t i 1 < mín{δ 1, δ 2 } pr cd i {1,..., m}. De ese modo podemos plicr ls propieddes (i) y (ii) nteriores dich subdivisión. Consideremos entonces l poligonl P del párrfo nterior. Aplicndo l propiedd (iii) tenemos s σ (t) b dt s s(p ) + s(p ) σ (t) dt < ε 3 + s(p ) σ (t) (2.1) dt.

9 2. Longitud de un rco de curv 9 Aplicndo el teorem del vlor medio ls n funciones σ 1,..., σ n sobre los m intervlos [t 0, t 1 ], [t 1, t 2 ],..., [t m 1, t m ], obtenemos que existen vlores θ k,i [t i 1, t i ], k = 1,..., n e i = 1,..., m, tles que σ k (t i ) σ k (t i 1 ) = σ k (θ k,i) (t i t i 1 ) k {1,..., n}, i {1,..., m}. En prticulr será s(p ) = = σ(t i ) σ(t i 1 ) = ( σ 1 (t i ) σ 1 (t i 1 ),..., σ n (t i ) σ n (t i 1 ) ) ( σ 1(θ 1,i ),..., σ n(θ n,i ) ) (t i t i 1 ). Restndo y sumndo m σ (t i ) (ti t i 1 ) tenemos s(p ) σ (t) ( ( dt σ 1 (θ 1,i ),..., σ n(θ n,i ) ) σ (t i ) ) (t i t i 1 ) + σ (t i ) (t i t i 1 ) σ (t) dt ( σ 1(θ 1,i ),..., σ n(θ n,i ) ) σ (t i ) (ti t i 1 ) + σ (t i ) (ti t i 1 ) σ (t) dt. (2.2) Por un prte, l propiedd (ii) segur que σ (t i ) (ti t i 1 ) σ (t) dt < ε 3. Por otr prte, fijdo i {1,..., m}, de l propiedd (i) obtenemos 2 ( σ 1(θ 1,i ),..., σ n(θ n,i ) ) σ (t i ) σ 1 (θ 1,i ) σ 1(t i ) + + σ n(θ n,i ) σ 1(t i ) < ε 3n(b ) + n... + ε 3n(b ) = ε 3(b ). Por lo tnto, de l desiguldd (2.2) se sigue s(p ) σ (t) dt < ( m ε 3(b ) ) (t i t i 1 ) + ε 3 = ε(b ) 3(b ) + ε 3 = 2ε 3, 2 Ddos vectores e = ( 1,..., n) y v = (b 1,..., b n) en R n se cumple e v e v n k=1 k b k.

10 10 Cpítulo I. Concepto de curv y bst tener en cuent l desiguldd (2.1) pr obtener s σ (t) dt < ε 3 + 2ε 3 = ε, que es lo que querímos probr. Ejercicio 2.5 Clcúlese l longitud de un circunferenci C de R 2 cuyo rdio es R > Si un rco de un curv es rectificble, entonces su longitud deberí ser independiente de ls posibles prmetrizciones de l curv. Sin embrgo eso no es cierto si se ceptn tods sus prmetrizciones posibles. A continución probremos que dich independenci sí se cumple pr un curv regulr (esto es, pr un prmetrizciones regulr y tods ls que se obtienen de ell hciendo cmbios dmisibles de prámetro). L longitud de un rco de curv de un curv regulr no depende de l prme- Lem 2.7 trizción. Demostrción. Se σ : I R n, σ = σ(t), un curv regulr y se t : Ī I, t = t(s), un cmbio dmisible de prámetro. Entonces σ : Ī Rn, σ(s) = σ(t(s)), es otr prmetrizción regulr de l mism curv. Sbemos que el cmbio de prámetros t = t(s) es estrictmente creciente ó estrictmente decreciente (vése l demostrción de l proposición 1.10). Supongmos, por ejemplo, que es estrictmente creciente, esto es, que l función dt/ds es positiv sobre todo el intervlo Ī. Sen s 0, s 1 Ī tles que s 0 < s 1, en cuyo cso t 0 = t(s 0 ) I y t 1 = t(s 1 ) I cumplen t 0 < t 1 ; en ests condiciones, σ : [s 0, s 1 ] R n y σ : [t 0, t 1 ] R n representn el mismo rco de curv. Según el teorem 2.4, l longitud de dicho rco medid con l prmetrizción σ = σ(t) es t1 l = dσ dt dt, y l longitud del mismo rco medid con l otr prmetrizción σ = σ(s) es s1 l = d σ ds ds, t 0 s 0 y debemos probr l iguldd l = l. Recordemos l fórmul de integrción por cmbio de vrible probd en los cursos de cálculo: si denotmos t = dt/ds y considermos un función continu f : I R, f = f(t), hciendo el cmbio de vrible t = t(s) tenemos dt = t ds y se cumple t1 s1 f(t) dt = f(t(s)) t ds. t 0 s 0 Utilicemos l fórmul nterior pr l función f = dσ dt : plicndo l regl de l cden en l iguldd σ(s) = σ(t(s)) tenemos d σ ds = dσ dt dt ds = t dσ dt f = dσ dt = 1 t d σ ds,

11 3. L longitud de rco como prámetro 11 y por lo tnto l = t1 t 0 dσ t1 dt dt = f(t)dt = t 0 s1 s 0 f(t(s))t ds = s1 s 0 1 t d σ ds t ds = s1 s 0 d σ ds ds = l, donde hemos utilizdo que es t / t = 1 porque estmos suponiendo que t = t(s) es estrictmente creciente. Observción 2.8 Si en l demostrción nterior hubiérmos supuesto que t = t(s) es estrictmente decreciente, entonces dich demostrción serí exctmente l mism teniendo en cuent que t / t = 1, y que l ser t 1 < t 0 se cumplirí l = t 0 dσ t1 t 1 dt dt = dσ t 0 dt dt. 3. L longitud de rco como prámetro Definición 3.1 Diremos que un curv regulr σ : I R n, σ = σ(t), está prmetrizd por l longitud de rco (o que t es un prámetro longitud de rco pr l curv, o que t es un prámetro nturl pr l curv, o que σ = σ(t) es un prmetrizción nturl de l curv), si σ (t) = 1 pt todo t I. Cundo l curv está prmetrizd por l longitud de rco, l longitud de l curv entre dos vlores del prámetro coincide con l diferenci de mbos vlores: t1 t1 σ dt = dt = t 1 t 0. t 0 t 0 Lem 3.2 Consideremos dos prmetrizciones nturles σ : I R n t σ(t), σ : Ī Rn s σ(s) de un mism curv regulr. Entonces existe un constnte λ R tl que t = ± s + λ. Demostrción. Consideremos el cmbio dmisible de prámetro t : Ī I, t = t(s), que trnsform un prmetrizción en l otr. Utilizndo l notción de l demostrción del lem 2.7 tenemos 1 = d σ ds = t dσ dt = t, es decir, t = ± 1. Bst integrr l nterior iguldd pr obtener que l función t = t(s) es t = ± s + λ pr ciert constnte λ R. Not 3.3 Siguiendo con l notción del lem nterior, el signo de l iguldd t = ±s + λ depende del sentido en que ls prmetrizciones recorren l curv. Si t = s + λ, entonces t crece cundo s crece y por lo tnto mbs prmetrizciones recorren l curv en el mismo sentido; cundo t = s + λ, t decrece cundo s crece y por lo tnto ls prmetrizciones recorren l curv en sentidos opuestos.

12 12 Cpítulo I. Concepto de curv Lem 3.4 Tod curv regulr dmite prmetrizciones nturles. Demostrción. Se σ : I R n, σ = σ(t), un curv regulr. Fijemos un vlor t 0 I del prámetro y definmos l función f : I R t f(t) := t t 0 σ (u) du. Como σ es un función continu (porque σ es de clse C 1 ), del Análisis Mtemático sbemos que f es un función diferencible tl que f = σ ; en prticulr f es de clse C 1. Como demás f (t) = σ (t) 0 pr todo t I, concluimos que f : I R es un cmbio dmisible de prámetro (vése l definición 1.9). En prticulr Ī = f(i) es un intervlo bierto, f : I Ī es biyectiv y diferencible, y l función invers f 1 : Ī I tmbién es un cmbio dmisible de prámetro (vése l proposición 1.10). Si el cmbio de prámetro lo denotmos s = f(t), en cuyo cso será t = f 1 (s), entonces tenemos un prmetrizción de l curv σ : Ī Rn, σ(s) = σ(t(s)) = σ(f 1 (s)), pr l que s es un prámetro longitud de rco. En efecto, teniendo en cuent que el cmbio inverso es σ(t) = σ(s(t)) = σ(f(t)), obtenemos y como σ = f = s debe ser d σ ds = 1. σ = dσ dt = d σ ds ds dt = d σ ds s, Ejemplo 3.5 Consideremos l curv σ : R R 3, σ(t) = ( e t cos t, e t sen t, e t). Tenemos σ (t) = ( e t cos t e t sen t, e t sen t + e t cos t, e t), y con unos sencillos cálculos obtenemos σ = 3 e t. Tomndo t 0 = 0 definimos el nuevo prámetro s = s(t), s = t 0 3 e u du = 3 (e t 1) ; si t R = I entonces s ( ( ) 3, ) = Ī, y despejndo t en función de s obtenemos t = ln 3 s + 1. L prmetrizción de l curv con el nuevo prámetro es σ : Ī R3 ( ) ( ( ( )) ( ( )) ) s 3 s + 1 cos ln 3 s + 1, sen ln 3 s + 1, 1. Puede comprobrse que l nterior es un prmetrizción por l longitud de rco. Not 3.6 Del lem 3.2 se sigue que tods ls prmetrizciones nturles de un curv regulr σ : I R n, σ = σ(t), se obtienen (esencilmente) como en l demostrción del lem 3.4. Fijdo t 0 I tenemos pr l curv el prámetro nturl s = t t 0 σ (u) du ;

13 4. Problems 13 pr otro vlor t 1 I obtenemos otro prámetro s = t t 1 σ (u) du, que tmbién es nturl pr l curv. Se cumple l relción s = t t1 t σ (u) du = σ (u) du + σ (u) du = s + λ, t 0 t 0 t 1 donde λ = t 1 t 0 σ (u) du R es un constnte. Tmbién podemos cmbir el orden de los límites de integrción en l definición de s pr obtener el prámetro ŝ = que tmbién es nturl. t0 t σ (u) du = s, 4. Problems 4.1 Obténgse un prmetrizción de l curv que se obtiene l cortr el cilindro x 2 +y 2 = 1 con el plno x + y + z = 1 en l que no intervengn rdicles. 4.2 Obténgse un prmetrizción de l curv que se obtiene l cortr el cilindro x = z 2 con el cilindro 1 x = y 2 en l que no intervengn rdicles. 4.3 Pruébese que l función θ : R R, θ(t) = 3t t t + 1, es un cmbio dmisible de prámetro. 4.4 Hállese un cmbio dmisible de prámetro que plique el intervlo I = (0, 2) sobre el intervlo J = (, 0). 4.5 Demuéstrese que l función θ : I R, θ(t) = t 2 /(t 2 + 1), es un cmbio dmisible de prámetro, donde I = (0, ). Cuál es el intervlo imgen de I por θ?. 4.6 Considérese l epicicloide descrit por el punto P 0 de l circunferenci C del ejercicio 1.8 (b). Si θ es el ángulo que v formndo el semieje positivo de bsciss y l semirrect con vértice en (0, 0) que ps por el centro de C, entonces un prmetrizción de dich epicicloide es l plicción σ : R R 2 ( ( r0 + r θ (r 0 + r) cos θ r cos r () Estúdiese l regulridd de l nterior prmetrizción. (b) Clcúlese l longitud de un rco de epicicloide. ) ( r0 + r )) θ, (r 0 + r) sen θ r sen θ. r

14 14 Cpítulo I. Concepto de curv 4.7 Considérese l hipocicloide descrit por el punto P 0 de l circunferenci C del ejercicio 1.8 (c). Si θ es el ángulo que v formndo el semieje positivo de bsciss y l semirrect con vértice en (0, 0) que ps por el centro de C, entonces un prmetrizción de dich hipocicloide es l plicción σ : R R 2 ( ( r0 r θ (r 0 r) cos θ + r cos r () Estúdiese l regulridd de l nterior prmetrizción. (b) Clcúlese l longitud de un rco de hipocicloide. ) ( r0 r )) θ, (r 0 r) sen θ r sen θ r 4.8 Considérese l cicloide descrit por el punto P 0 de l circunferenci C del ejercicio 1.8 (). Compruébese que l plicción σ : R R 2 t ( R(t sen t), R(1 cos t) ) es un prmetrizción de dich cicloide. () Cuál es el significdo geométrico del prámetro t? (b) Estúdiese l regulridd de l nterior prmetrizción. (c) Clcúlese l longitud de un rco de cicloide. 4.9 Estúdiese si t es un prámetro nturl pr l curv σ : R R 3 ( ( t 1 2 t + ) ( t 2 + 1, 1 2 t + ) 1, t (t ln + ) ) t Descríbnse ls prmetrizciones nturles de l circunferenci de R 2 de rdio r > 0 centrd en el origen. ( 4.11 Obténgse un prmetrizción de l curv σ : I R 3 t, σ(t) = 2, 1 ) 2 2t, 2 ln t, por l longitud de rco, donde I = (0, + ) Pruébese que ls plicciones y σ : (, ) R 3 σ : (0, ) R 3 son prmetrizciones de l mism curv. t ( t, sen t, e t) s ( ln s, sen(ln s), s )