LECTURA 05 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA TEMA 18: MEDIDAS DE DISPERSION

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1 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote LECTURA 0 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA TEMA 8: MEDIDAS DE DISPERSION. DEFINICION La medda de dperón on aquella que cuantfcan el grado de concentracón o de dperón de lo valore de la varable en torno de un valor central, generalmente la meda artmétca. La medda de dperón e utlzan para do propóto báco: a) Para verfcar la confabldad de lo promedo y b) Para que rva como bae para el control de la varacón mma. La medda de dperón que e utlzan con mayor frecuenca on: Varanza. Devacón etándar. Coefcente de varacón... Varanza E una medda que cuantfca el grado de dperón o de varacón de lo valore de una varable cuanttatva con repecto a u meda artmétca. S lo valore tenden a concentrare alrededor de u meda, la varanza erá pequeña. S lo valore tenen a dtrbure lejo de la meda, la varanza erá grande. La varanza calculada a partr de una muetra e denota por y referda a la poblacón e denota por σ o V [x]. La varanza e defne como la meda artmétca de lo cuadrado de la devacone de lo dato repecto a u meda artmétca. La varanza e una medda de dperón con undade de medcón al cuadrado: S/., $, km, etc. La varanza empre e potva.... La varanza para dato agrupado: Se utlza la guente fórmula: Para n 30 = n = (x n x) Fecha : Febrero 00 Verón :

2 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Para n < 30 [varanza de Cochran] = n = (x n x) Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra al azar de 8 clente egún u tempo en mnuto que han vtado la págna de Internet Google: X :.3,.,., 3.,.,.,.6,.3 Calcular e nterpretar la varanza: Solucón: a) Para hallar la varanza prmero debemo hallar el tempo promedo de va de lo clente: x = 8 = 8 x = = 3.3mn uto A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: x ( x x) ( x x Total ) Donde: 8 = (x x) = 9.80 Fecha : Febrero 00 Verón :

3 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=8 < (x x) = 9.80 =. mn uto 8 7 Interpretacón: La varabldad de lo tempo de vta de lo clente a la pagna Web Google repecto de u valor central e de. mnuto.... La varanza para dato agrupado: Se utlza la guente formula: m (y y) f = = ; para n 30 n m (y y) f = = ; para n < 30 (Varanza de Cochran) n Ejemplo : Lo guente dato correponden a 0 trabajadore de una Emprea X egún u número de natenca: N de natenca Calcular e nterpretar la varanza. y N de trabajadore Total 0 f Solucón: a) Hallando en prmer lugar el número promedo de natenca: 3 Fecha : Febrero 00 Verón :

4 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote y y f = = 7.8 natenca b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: y f (y y) (y y) Total Donde: = (y y) f = 839. (y y) f Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=0 > 30. (y y) f 3 = (y y) f + (y y) f + (y3 y) f 3 + (y y) f + (y y) f (y y) f = (y y) f = = = (y y) f 839. = 0 0 (y y) f = 3. natenca. 0 Interpetracón: La varabldad de la natenca e de natenca repecto de u valor central. Fecha : Febrero 00 Verón :

5 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo 3: La guente tabla correponde a 80 trabajadore de una Emprea X egún u edad en año: Edad en en año LI - LS N de trabajadore f [ - 30) 0 [30-3) 0 [3-0) 00 [0 - ) 0 [ - 0) 0 TOTAL 80 Calcular e nterpretar la varanza. Solucón: Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = 37. año A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f [ - 30) [30-3) [3-0) [0 - ). 0 0 [ - 0) Total Donde: (y y) (y y) (y y) f = (y y) f = 000 Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=0 > 30. Fecha : Febrero 00 Verón :

6 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote (y y) f 3 = (y y) f + (y y) f + (y3 y) f 3 + (y y) f + (y y) f (y y) f = (y y) f = (y y) f = = 000 = (y y) f = año Interpetracón: La varabldad de la edade de lo trabajadore e de 37. año repecto de u valor central... La devacón etándar o típca Se defne como la raíz cuadrada potva de la varanza: = var anza E uno de lo etadígrafo de dperón de mayor uo, la cual e exprea en undade reale de la varable, e decr ya no etán elevada al cuadrado. La devacón etándar, al gual que la varanza, e no negatva ( 0), pueto que e la raíz potva de la varanza. A mayor dperón le correponderá una mayor devacón etándar. 6 Fecha : Febrero 00 Verón :

7 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo : Calcular e nterpretar la devacón etándar de lo dato del Ejemplo. Solucón: =. =. mn uto Interpretacón: Lo tempo de vta de lo clente e alejan en promedo de u valor central en.9 punto. Ejemplo : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo : Solucón: = 3. =.87 natenca. Interpretacón: La atenca de lo trabajadore e dperan o e alejan en promedo de u valor central en natenca. Ejemplo 6 : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo 3: Solucón: = 37. = 6. año. Interpretacón: La edade de lo trabajadore e dperan o e alejan en promedo de u valor central en 6. año..3. El coefcente de varacón E una medda de dperón relatva exenta de undade y expreada en porcentaje, e utlzan para comparar la varacón de do dtrbucone empre que la varable e expreen en la mma undade de medda y ean aproxmadamente del mmo tamaño promedo. Sn embargo, a vece e necearo comparar do conjunto de dato expreado en undade dferente (tale como ole y 7 Fecha : Febrero 00 Verón :

8 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote klogramo). En eto cao la medda de dperón aboluta no on comparable y deben utlzare medda de dperón relatva. El coefcente de varacón de un conjunto de dato e denota por c.v. como: y e exprea c.v. = 00 y Donde: = y = Devacón etándar Meda artmétca S c.v. %, lo dato on homogéneo, e decr tenen una baja varabldad. S c.v. > %, lo dato on heterogéneo, e decr tenen una alta varabldad. Ejemplo 7: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón:. c.v. = 00 = 36.% > 3.3 % Interpretacón: La dperóne de lo tempo utlzado por lo clente en vtar la págna Google repecto de u valor central on heterogéneo. Ejemplo 8: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón:.87 c. v. = 00 =.67% > % Fecha : Febrero 00 Verón :

9 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Interpretacón: La dperone de la natenca de lo trabajadore repecto de u valor central on heterogéneo. Ejemplo 9: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo 3: Solucón: 6. c. v. = 00 = 6.3% > % 37. Interpretacón: La dperone de la edade de lo trabajadore repecto de u valor central on heterogéneo. Ejemplo 0: Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo gato menuale en ole de 7 etudante de admntracón: X : 00, 0, 0, 00, 70, 300, 0 a) Cuánto e la dperón de lo gato menuale repecto de u valor central? b) Son lo gato menuale homogéneo? Solucón: a) Hallando en prmer lugar el promedo: x 7 x = = 98.7 ole. b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: x ( x x) ( x x) Total Fecha : Febrero 00 Verón :

10 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Donde: 7 (x x) = = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=7 < (x x) = = 67.8 ole. 7 6 c) Hallando la devacón etándar : = 67.8 = 8.9 ole. d) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: x = 98.7 ole. = 8.9 ole. entonce: 6. c. v. = 00 = 00 = 6.3% > % x 37. Lo gato menuale de lo etudante no on homogéneo. Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo ahorro menuale en dólare de clente del Banco de Crédto del Perú: X : 00, 0, 0, 30, 80 El gerente del Banco pena hacer un aumento en la taa de nteré olo lo ahorro menuale on regulare. Qué decón tomará el gerente del Banco. (Hallar coefcente de varacón). 0 Fecha : Febrero 00 Verón :

11 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Solucón: a) Hallando en prmer lugar el ahorro menual promedo: x x 790 = = 38dólare. b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Donde: (x x) = = x ( x x) ( x x) Total Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n= < 30. (x x) = = 700 dólare. c) Hallando la devacón etándar : = 700 = 6.38 dólare. d) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: x = 38 dólare. = 6.38 dólare. Fecha : Febrero 00 Verón :

12 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote entonce: 6.38 c. v. 00 =.9% > % x 38 Lo ahorro menuale de lo clente on heterogéneo; e decr no on regulare. Por lo tanto el gerente del banco no ubrá la taa de nteré. El gerente no ubrá la taa de nteré ya que lo ahorro menuale no on regulare. Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo ahorro menuale en dólare de do grupo de clente del Banco Contnental : GRUPO En que grupo lo ahorro on má etable? (Hallar coefcente de varacón) Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando el ahorro menual promedo para el Grupo : x 6 x = = 3.67ole. b) Hallando la varanza: x (x x ) (x x ) Total Fecha : Febrero 00 Verón :

13 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Donde: 6 (x x) = = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=6 < (x x) = = ole. 6 c) Luego hallamo la devacón etándar : = = 9. ole. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v = 3.6% < % x 3.67 Para el Grupo a) Hallando el ahorro menual promedo para el Grupo : x 6 x = = ole b) Hallando la varanza: Donde: 6 (x x) = 30 = x (x x ) (x x ) Total Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que 3 Fecha : Febrero 00 Verón :

14 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote n=6 < (x x) = 30 = 070 ole. 6 c) Luego hallamo la devacón etándar : = 070 = 3.7 ole. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v = 7.9% < % x La guente tabla muetra lo reultado obtendo en forma reumda: GRUPO x c.v % < % % <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo ahorro on má etable. Ejemplo 3: Lo guente dato correponden a do muetra aleatora de do grupo de trabajdore egún u ueldo menual en ole: GRUPO Sueldo menual en ole LI - LS N de trabajadore f [0-60) 0 [60-70) 60 [70-80) 00 [80-90) 0 [90-00) 0 Total 60 Fecha : Febrero 00 Verón :

15 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote GRUPO Sueldo menual en ole LI - LS N de trabajadore f [70-80) 30 [80-90) 0 [90-00) 80 [00-0) 0 [0-0) 0 TOTAL 0 Qué grupo tene ueldo menuale má homogéneo? Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f [0-60) [60-70) [70-80) [80-90) [90-00) Total Donde: = (y y) f = (y y) (y y) (y y) f Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=60 > 30. Fecha : Febrero 00 Verón :

16 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote (y y) f 3 = (y y) f + (y y) f + (y3 y) f 3 + (y y) f + (y y) f (y y) f = (y y) f = (y y) f = (y y) f =.38ole 60 c) Hallando la devacón etándar: =.8 =.00 ole. d) Hallando el coefcente de varacón:.00 c.v 00 =.% < % y Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: 6 Fecha : Febrero 00 Verón :

17 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote L - L y f [ 70-80) [ 80-90) [ 90-00) [00-0) [0-0) Total Donde: (y y) (y y) (y y) f = (y y) f = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=0 > 30. (y y) f 3 = (y y) f + (y y) f + (y3 y) f 3 + (y y) f + (y y) f (y y) f = (y y) f = (y y) f = (y y) f = ole 0 c) Hallando la devacón etándar: = = 06.8 ole. 7 Fecha : Febrero 00 Verón :

18 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote d) Hallando el coefcente de varacón: 06.8 c.v 00 = 0.9% < % y Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: GRUPO x c.v % < % % <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo ueldo menuale on má homogéneo. TEMA 9: MEDIDAS DE FORMA. DEFINICIÓN: La medda de forma on aquella que permten comprobar una dtrbucón de frecuenca tene caracterítca epecale como metría, ametría, nvel de concentracón de dato y nvel de apuntamento que la clafquen en un tpo partcular de dtrbucón.. MEDIDAS DE ASIMETRIA: Son medda que mden el grado de deformacón horzontal de una ere de dato o de dtrbucón de frecuenca. Se dce que una dtrbucón de frecuenca e métrca, lo ntervalo equdtante del ntervalo central tenen guale frecuenca. Tambén e dce que una dtrbucón e métrca u curva de frecuenca e métrca con repecto al centro de lo dato. Do dtrbucone pueden tener la mma meda y la mma devacón etándar, pero pueden dferr en el grado de ametría. 8 Fecha : Febrero 00 Verón :

19 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote S la dtrbucón e métrca, entonce la meda, la medana y la moda concden. En contrapocón, eto 3 promedo no concden la dtrbucón e amétrca. Entre la medda de ametría má uuale tenemo:.. El Coefcente de ametría de Pearon: Se exprea como: A = 3(x Me) S: A S = 0 La ere de dato o la dtrbucón e métrca. Ver fg.. A S > 0 A S < 0 La ere de dato o la dtrbucón e amétrca potva (egada a la derecha). Ver fg.. La ere de dato o la dtrbucón e amétrca negatva (egada a la zquerda). Ver fg. 3. Dtrbucón Amétrca Potva Md < Me < x fg. Dtrbucón Smétrca x = Me = Md fg. Dtrbucón Amétrca Negatva x < Me < Md fg.3 9 Fecha : Febrero 00 Verón :

20 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote NOTA: S A 0, entonce e dce que la dtrbucón e aproxmadamente métrca o lgeramente egada. Será tanto má egada cuanto má A e aleje de cero. Ejemplo : Calcular e nterpretar el coefcente de ametría de lo dato del Ejemplo de la lectura anteror: Solucón: Utlzando el coefcente de ametría de Pearon : A = 3(x Me) De lo dato dado e ha obtendo: x = 3.3mn uto Me = 3.7 mn uto =. mn uto Reemplazando en la fórmula obtenemo: A = 3( ). = Interpretacón: Ete valor ndca que la ere de tempo de lo clente que vtan la págna Google e amétrca negatva. Ejemplo : Hallar el coefcente de ametría de Pearon del Ejemplo de la lectura de la eón anteror: Solucón: 0 Fecha : Febrero 00 Verón :

21 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Utlzando el coefcente de ametría de Pearon : 3(y Me) A = De lo dato dado e ha obtendo: y = 7.8natenca Me = 7natenca =.87natenca Reemplazando en la fórmula obtenemo: 3(7.8 7) A Interpretacón: La dtrbucón de trabajadore egún u número de natenca e amétrca potva. En el guente gráfco podemo obervar que que hay mayor concentracón de dato a la derecha: 00 Nº de trabajadore N de natenca Fecha : Febrero 00 Verón :

22 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo 3: Hallar el coefcente de ametría de Pearon del Ejemplo 3 de la lectura: Solucón: Utlzando el coefcente de ametría de Pearon : De lo dato dado e ha obtendo: y = 37. año. Me = 37. año. = 6. año. Reemplazando en la fórmula obtenemo: 3( ) A 0 6. Interpretacón: La dtrbucón de trabajadore egún u edad en año e métrca. En el gráfco e oberva que en hay gual concentracón de dato a la zquerda y derecha. Fecha : Febrero 00 Verón :

23 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote 00 Nº de trabajadore Edad en año y = Me = Md.. MEDIDAS DE CÚRTOSIS: La cúrto e el grado de apuntamento de una dtrbucón. La cúrto e analza amparando la dtrbucón con la forma de una curva normal o métrca, con gual meda artmétca y devacón etándar de la dtrbucón que e etuda. S una dtrbucón tene relatvamente un elevado pco o apuntamento, e llama leptocúrtca, mentra e achatada e denomna platcúrtca. La dtrbucón normal conttuye una dtrbucón meocúrtca, tal como e puede ver en la guente fgura: 3 Fecha : Febrero 00 Verón :

24 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Leptocúrtca Meocúrtca Platcúrtca fg. fg. fg. 6 El etadígrafo para analzar el apuntamento e el coefcente de cúrto y e exprea como: k = M Donde: = ( ) = Varanza M m (y y) f = = n S: M e llama: cuarto momento repecto a la meda K = 3, la dtrbucón e normal o meocúrtca. K < 3, la dtrbucón e platcúrtca. K > 3, la dtrbucón e leptocúrtca. Fecha : Febrero 00 Verón :

25 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo : Calcular e nterpretar el coefcente de cúrto del Ejemplo de la eón anteror: Solucón: a) Hallando en prmer lugar el promedo de lo dato dado: y y f = = 7.8 natenca b) Luego e deben hallar la marca de clae de cada ntervalo, luego elevar a la cuarta, egudamente multplcar por u repectva frecuenca y fnalmente umar lo valore hallado en la últma columna, tal como e muetra en la guente tabla: y f (y y) (y y) Total Donde: = (y y) f = 880. (y y) f c) Luego hallamo lo momento de orden (M ) : M (y y) f = M (y y) f = M (y y) f = (y y) f = M natenca 0 Fecha : Febrero 00 Verón :

26 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ademá: = 3. natenca Entonce : =. natenca Por lo tanto el coefcente de cúrto etá dado por: k = M k = k =.99 < 3 Interpretacón: La dtrbucón de trabajadore egún u número de natenca e platcúrtca. Ejemplo : Calcular e nterpretar el coefcente de cúrto del Ejemplo de la eón anteror: a) Hallando en prmer lugar el promedo de lo dato dado: y y f = = 37. año b) Luego e deben hallar la marca de clae de cada ntervalo, luego elevar a la cuarta, egudamente multplcar por u repectva frecuenca y fnalmente umar lo valore hallado en la últma columna, tal como e muetra en la guente tabla: 6 Fecha : Febrero 00 Verón :

27 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote L - L y f (y y) (y y) [ - 30) [30-3) [3-0) [0 - ) [ - 0) Total Donde: = (y y) f = 800 (y y) f c) Luego hallamo lo momento de orden (M ) : M (y y) f = M (y y) f = M (y y) f = M (y y) f = año Ademá: = 37. año Entonce : = 06. año Por lo tanto el coefcente de cúrto etá dao por:: 7 Fecha : Febrero 00 Verón :

28 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote k = M k = k = 0. < 3 La dtrbucón de trabajadore egún u edad de año e platcúrtca. 8 Fecha : Febrero 00 Verón :

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