Práctica

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1 UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA HPV/ Práctica Problema 1. Determinar el área de la región comprendida entre los gráficos de las ecuaciones siguientes: (a) y = x +,y= x +6,y= x. y = x +,y= x +6, y = x El gráfico de la región es el siguiente: Las intersecciones entre las rectas, son: Entre (1) y (): x =1 Entre () y (): x = Entre (1) y (): x = 1 Así el área queda dada por la siguiente expresión: A = R 1 1 (1) ()dx + R 1 () ()dx A = R 1 x 1 (x +) ( )dx + R x 1 ( x +6) ( )dx A = R 1 1 ( 4 x + 4 )dx + R 1 ( 8 x + 16 )dx A = 4 R 1 1 (x +1)dx + 8 ( x +)dx =4 R 1 (b) y =16 x e (y +) = x +4. El gráfico de la región es el siguiente:

2 Buscamos los puntos de intersección de las parábolas y =16 x x =16 y (y +) = x +4 x =(y +) 4,así y =(y +) 4 16 y = y +4y +4 4 =y +4y 16 y 1 = 4,y = Entonces los puntos de intersección son: (, 4) y (1, ) Como podemos observar en el gráfico, es mas fácil obtener el área integrando a lo largo de y que a lo largo de x (como tradicionalmente se hace). Entonces definimos: G (y) =16 y F (y) =(y +4) 4 Como F (y) G (y) en el intervalo 4 y, luego: Ar = R 4 [G (y) F (y)] dy A = R 4 h 16 y ³ (y +) 4 A = R 4 y y +4y +4 dy A = R 4 i dy 16 4y y dy = 16y y y 4 =7 (c) y = x 1 x +1 e y =1. El gráfico de la región es el siguiente:

3 Al igualar las ecuaciones se ve que no hay intersecciones entre las curvas (esta aseveración se puede apoyar con el gráfico). Ademas la curva y =1es mayor a la curva y = x 1 x R x +1 Por lo tanto el area entre las curvas es: A = R ³ + 1 x 1 dx x +1 A = R ³ + dx x +1 A = R ³ dx + R ³ + x +1 dx x +1 Como R dx = arctan(x) x +1 Luego: A = lim [ a arctan(x)] a + lim [ a + arctan(x)]a A = lim [ arctan() arctan(a)] + lim [ arctan(a) arctan()] a a + A = π + π =π. Problema. Un sólido tiene una base en forma de elipse, cuyos ejes mayor y menor miden 1 cm y 8 cm respectivamente. Determinar su volumen sabiendo que toda sección transversal perpendicular al eje mayor es un triángulo isósceles de altura igual a 6 cm. Convenientemente, podemos considerar la ecuación de la elipse como: x 6 + y 4 =1. En las siguientes figuras se puede apreciar un esquema del sólido en cuestión: Claramente, se puede notar que toda sección transversal perpendicular al eje mayor posee un área, A, dada por la fórmula: A = 1 y 6.

4 Figure.1: Dado que: x 6 + y 4 =1 y = ± p 6 x, considerando la parte positiva, se tiene que: A(x) =4 p 6 x, 6 x 6. Finalmente, el volumen, V, del sólido está dado por: Haciendo la sustitución: V = = 4 = 8 Z 6 6 Z 6 6 Z 6 A(x)dx p 6 x dx p 6 x dx x = 6sinu dx = 6cosudu x = u = x =6 u = π 4

5 se tiene que: Z π V = 88 Z π cos udu = 144 [cos(u)+1]du π π = 7sin(u) + 144u = 7π cm Problema. Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide x yelplanoz = y 5 = z Una sección transversal del paraboloide determinada por el plano z = k con k 1 es el conjunto S(k) definido por: ¾ S(k) = ½(x, y) R : x 16 + y = k, k 1 ½ 5 S(k) = (x, y) R x ¾ : 16k + y =1, k 1, es decir, la sección 5k transversal corresponde a una elipse. En el ejercicio de la práctica se demostró que la región encerrada por la elipse x a + y b =1tiene área πab.por lo tanto, el área de cualquier elipse de S(k) tiene área π4 k5 k =πk.así z [, 1], S(z) es una región plana con área A(z) =πz.luego, por el "método de la sección transversal" el volumen del sólido limitado por el paraboloide x 16 + y 5 = z yel plano z =1es: Z 1 Z 1 V = A(z)dz = πzdz =π z 1 = 1π. Problema 4. En un cilindro circular recto de madera de 8cm.de radio, se efectua un corte que pasa por el diámetro de la base y forma con ella un ángulo de 6. Hallar el volúmen de la madera eliminada. La figura a estudiar es la siguiente: El corte eliminado del cilíndro está formado por una serie de triángulos(cortes perpendiculares al eje x) con ángulos iguales(6 9 ). Las variables que se tiene para cada corte son la base y la altura. El siguiente dibujo aclara esta situación: La base de el triángulo en todo momento es la semicircunferencia de la base del cilindro. Tomando la ecuación de la circunferencia de la base del cilíndro, se tiene: x + y =8 5

6 Figure.: Figure.: 6

7 De esta ecuación, despejando y (positiva) como la base del triángulo, se tiene: y = p 8 x La altura en todo momento está dada por: tan π = h y Luego despejando h en función de y, setiene: h =tan π y Entonces el área del triángulo en todo momento está dado por: A(h, y) = y h 8 x tan π A(x) = 8 x tan π = 8 x A(x) = x [ 8, 8] Luego el volúmen de madera eliminado está dado por la suma de todos los infinitesimales de volúmen de la siguiente forma: V = V = Z x dx = Z 8 8 x dx 8 x x 8 = 14cm de Problema 5. Determinar el volumen del sólido generado por la rotación del círculo ecuación (x 5) + y =4, en torno al eje y. Considerando y = q 4 (x 5), y usando el métodos de los anillos (la distancia al eje de giro es x y la altura del cilindro es q 4 (x 5) ) y por simetría, se tiene que la mitad del volumen pedido está dado por π R 7 x q4 (x 5) dx, para calcular esta integral puede considerarse el cambio dado por x 5=sinθ. 7

8 π R q 7 x 4 (x 5) dx =π R π π π R q 7 x 4 (x 5) dx =16π R π π R 7 x q 4 (x 5) dx =π π Luego el volumen pedido es V =4π. ( sin θ +5)4cos θdθ sin θ cos θdθ +π R π π (1 + sin (θ)) dθ Problema 6. La región acotada por la parábola y = 1 4x, y las rectas x =,y =,y =, giran en torno al eje x. Determinar el volumen del sólido generado. y x Antes de calcular el volumen del sólido determinaremos los puntos de intersección de las curvas que delimitan dicha región. Puntos de intersección de las curvas y = 1 4x intersectado con x =, y =e y =, respectivamente tenemos x == y = y == x = y == x = Como vimos, la curva y = 1 4x se interseca con y = en el punto (, ). Por tanto el sólido que se genera al rotar la región comprendida en [, ] es un cilindro de radio unidades de longitud al igual que su altura. Luego, su volumen es V 1 (x) =π() =8π. Ahora para determinar el volumen del sólido total basta calcular aquel,que se genera al rotar sobre el eje de las abscisas la región comprendida en [, ] V (x) =π R [y] = π R 1 4x = π R (1 4x) =π 1x x = π [6 18 (4 8)] = π Finalmente el volumen total es V t (x) =V 1 (x)+v (x) =1πu Problema 7 (preguntar a Manuel Sanchez) 8