Estudio de una función. Un resumen de los contenidos que aplicamos en el estudio de una función, que se encuentran en el módulo:

Transcripción

1 Estudio de una función Un resumen de los contenidos que aplicamos en el estudio de una función, que se encuentran en el módulo: Una función f () tiene asíntota vertical en asi f () a Una función f () tiene asíntota horizontal en y a si f () a La recta ym b es asíntota oblicua de () f si la diferencia f() m b cuando tiende a infinito. tiende a cero Los siguientes ites permiten su cálculo: f () m y f() m b Criterio de la derivada primera Si la derivada primera de una función en un punto de su dominio vale cero, entonces, la función tiene en ese punto, un punto crítico. Un punto crítico puede ser un punto etremo (máimo o un mínimo local de la función) o un punto de infleión de la misma. Si la derivada primera de una función tiene signo negativo en un intervalo de su dominio, entonces la función es decreciente en dicho intervalo. En otras palabras, una función decrece en un intervalo si y sólo si la derivada primera de la función es negativa en todos los puntos del intervalo. Si la derivada primera de una función tiene signo positivo en un intervalo de su dominio, entonces la función es creciente en dicho intervalo. En otras palabras, una función crece en un intervalo si y sólo si la derivada primera de la función es positiva en todos los puntos del intervalo.

2 Si () ab,, entonces: Criterio de la derivada segunda f es una función continua en el intervalo cerrado ab, y si eiste f'( ) en el intervalo abierto Si ''( ) 0 Si ''( ) 0 Si 0 f para todo a, b entonces f es cóncava hacia arriba en ab, f para todo a, b entonces f es cóncava hacia abajo en ab, f''( ) 0para algún 0 a, b (,y ) 0 0 es punto de infleión de la función. y se produce un cambio de signo en él, entonces el punto Hecho este resumen procederemos a estudiar una función: f() Sea la función. Para hallar el dominio igualamos a cero el denominador, ya que es una función racional y el denominador nunca puede ser cero. 0 NO eiste la raíz de un número negativo, por lo tanto, el denominador NUNCA vale cero. El dominio de la función entonces son todos los reales. Dom f. Entonces la función no tiene Asíntota Vertical. Hallamos la Asíntota Horizontal para determinar el conjunto imagen. infinito y nos queda: salvarlo. como es el cociente entre dos polinomios el ite de cada uno tiende a al ser un ite indeterminado tenemos que El ite de un polinomio cuando tiende a infinito depende del término de grado mayor, por lo tanto podemos escribir: tiende a cero. Escribimos: simplificamos las y nos queda: cuando tiende a un valor cada vez más grande el cociente entre y 0 entonces la asíntota horizontal es y=0

3 Por eistir asíntota horizontal no eiste asíntota oblicua. Determinemos ahora el conjunto imagen. Probaremos si y=0 es imagen de algún para de este modo saber si pertenece o no al conjunto imagen de f(). Para ello hacemos: f() 0 y despejamos : Y=0 es imagen de Imf. entonces el conjunto imagen no tiene restricciones, es decir, Además hemos hallado una raíz de f(). en efecto al haber hecho f()=0 hemos hallado la raíz de la función Conociendo la raíz podemos encontrar los conjuntos de positividad y negatividad de la función. El valor de la raíz divide al dominio en dos partes, una a la izquierda otra a la derecha la imagen: ; ; :f( ).( ) ( ) 6 ; :f(0) Entonces: ;, tomamos un valor de cada intervalo para ver qué signo toma C ; y C ; Además hemos hallado la ordenada al origen de la función pues hemos tomado el valor =0 en uno de los intervalos, entonces, la ordenada al origen de la función es y y

4 Ya hemos hallado todo lo que nos permite hallar la epresión de f(). Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la eistencia de máimos y mínimos deberemos trabajar con la derivada primera de la función. Hallamos la derivada primera. Como la función es racional, hacemos la derivada de un cociente:.. f'() 88 6 f'() f'() 6 8 Aplicamos el criterio de la derivada primera e igualamos a cero para hallar posibles puntos críticos: ,. 1, , 8 6 1,8 6 1,8 6 1,8 1, ,8 18, ,85,5 y hallamos las raíces de esta ecuación: Hallamos dos puntos críticos. Dividimos el dominio en los intervalos marcados por ellos: ; 0,85 ; 0,85;,5 y,5; y buscamos el signo de la derivada dentro de cada uno de ellos:

5 ; 0,85 :f' f() decrece 9 1 0,85;, :f'(0) 0 f() crece 0 A la izquierda de -0,85 la función f() decrece y a la derecha crece, entonces en = -0,85 la función alcanza un mínimo local:. 0,85 y 0, 1,7 0,85,75 Analizamos el signo de la derivada en el último intervalo:,5; :f'() 0 f() decrece Observamos que a la izquierda de,5 la función f() crece y a la derecha decrece, entonces en =,5 la función alcanza un máimo local:.,5 y 1, 1,65,5 7,55 Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() son: I.C= 0,85;,5 I.D ; 0,85,5; Por último analizaremos la concavidad de la función f() aplicando el criterio de la derivada segunda. Según este criterio, en el punto en que se anula la derivada segunda eiste un punto de infleión, y a cada lado de él la función cambia de concavidad. f''() f''() [ ] f''() f''()

6 Igualamos a cero: y hallamos las raíces de la derivada segunda. Las raíces de este polinomio son: 1 1,7 0,,89 todas irracionales. Dividimos el dominio en los siguientes intervalos: ; 1,7 ; 1,7;0, ; 0,;,89 y,89; y analizamos el signo de la derivada segunda en cada uno de ellos para hallar la concavidad en cada uno y ver si los etremos son puntos de infleión. 8( ) 18( ) 8( ) 1 ; 1,7 :f''( ) 0,1 f() es cóncava hacia abajo ( ) ,7;0, :f''(0) 1,5 f() es cóncava hacia arriba 0 En -1,7 hay un punto de infleión y=.( 1,7) 0,78 ( 1,7) 0,;,89 :f''(1)= ,7 f() es cóncava hacia abajo. 1 Entonces en 0, hay un punto de infleión y.0, 1, (0,),89; :f''() 0,007 f() es cóncava hacia arriba. Entonces en,89 hay un punto de infleión y.0,007 1,5 (0,007) Volcamos todos los puntos hallados en el plano y construimos el gráfico aproimado:

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