Conocimientos previos
|
|
- Raúl de la Fuente Vega
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tem 1: Alger Ftorizión Conoimientos previos 1 Ftor omún Consiste en utilizr l propiedd distriutiv, pr lo ul se efetún los siguientes psos: Se lul el máximo omún divisor (MCD) de los oefiientes (onstntes) de los monomios que formn el polinomio. Se determin, entre los ftores literles (vriles) del polinomio ls vriles omunes de menor exponente. El ftor omún es el monomio uyo ftor numério es el MCD otenido en el primer pso, el ftor literl estrá formdo por tods ls vriles omunes de menor exponente, onseguido en el pso nterior. L ftorizión del polinomio es l multipliión del ftor omún por el polinomio que result de dividir d término del polinomio ddo entre el ftor omún. Not: undo todos o lgún oefiiente del polinomio es un número frionrio, primero se proede efetur l sum o rest entre los monomios que lo formn, ntes de ftorizr. Agrupión: Consiste en desomponer el polinomio en grupos de igul número de términos (on exepión de ls que grupn polinomios que se pueden ftorizr medinte fórmuls notles), oteniendo un ftor omún de d grupo seleiondo, pr luego enontrr un ftor omún entre d uno de los grupos, pr sí llegr l multipliión que form l ftorizión del polinomio. Fórmuls (produtos) notles ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Pr determinr si un polinomio se ftoriz medinte produtos notles, se dee ompror primero que tiene l form de los mismos, pr luego plirlos. Fórmul generl Se emple pr polinomios de l form x x (trinomio udrátio), on 0 y,,. Definiión: se llm disriminnte del trinomio de segundo grdo l expresión 4 y se represent on el símolo, entones 4 Teorem: Se el trinomio P( x) x x on 0 y 4, entones se umple que Si 0 Px ( ) no es ftorizle en Si 0 Px ( ) tienen dos ftores diferentes y su ftorizión viene dd por P( x) x x d( x x1)( x x), donde x1 y x on d Si 0 Px ( ) tienen dos ftores igules, entones P( x) x x d( x x1 ) on d Inspeión Se P( x) x x on 0,,, este método onsiste en determinr dos expresiones que multiplids den el termino x (1) y dos expresiones que multiplids den ()
2 se multiplin en ruz los términos de (1) on los de () ompromos que los vlores esogidos en el primer pso es orret, si l sumr los produtos del segundo pso dn el término del polinomio. Definiión: Se P un polinomio, se die que es un ero del P sii P( ) 0 Teorem del ftor El teorem del ftor se reliz medinte l división sintéti y sirve pr determinr l ftorizión de polinomios de grdo myor que dos, siguiendo los siguientes psos: Se determinn los eros del polinomio Se tom uno de los eros del polinomio pr relizr l división sintéti, entre el polinomio y el ero. Formmos los ftores, resultntes de l división Si el grdo de lgunos de los ftores es igul o myor dos, se repite los psos nteriores hst determinr ftores irreduiles. Sustituión Este método se utiliz pr polinomios de grdo myor que dos, donde los exponentes son múltiplos de un mismo número. Pr ftorizr el polinomio se reliz un mio de vrile, on l intenión de onvertir el polinomio en uno de menor grdo, l myorí de vees se trj on trinomios udrátios Regls seguir en l ftorizión ( ) n n ( ), si n es pr ( ) n n ( ), si n es impr Expresiones Algeris Rionles Definiión: Sen Nx ( ) y Dx ( ) dos polinomios. L expresión lgeri rionl on Dx ( ) 0 N( x) Dx ( ) reie el nomre de frión Simplifiión de friones Pr simplifir un frión se ftoriz el numerdor y el denomindor, pr luego nelr los ftores igules entre d un de ls prtes de l frión. Adiión y sustrión de friones lgeris El proeso pr sumr friones onsiste en seguir los siguientes psos: Se ftoriz los denomindores que formn l expresión Se determinn ls restriiones de los denomindores Se lul el omún denomindor que estrá formdo por el produto de los ftores omunes y no omunes de myor índie. El omún denomindor se divide entre d uno de los denomindores y el oiente se multipli por el respetivo denomindor. Finlmente, se simplifi l frión lgeri resultnte y se indin ls restriiones respetivs, otenids en el segundo pso. Multipliión de friones lgeris Psos seguir pr multiplir friones lgeris: Se ftorizn todos los numerdores y denomindores Se determinn ls restriiones de los denomindores Se neln los ftores igules, entre los numerdores y denomindores Se multiplin los ftores que no se simplifiron en el pso nterior y se reduen los términos semejntes (si los ftores son muhos o de expresiones muy lrgs, no se reliz este pso)
3 3 División de friones lgeris Pr dividir friones lgeris se proede en onvertirl en un multipliión de l siguiente mner: Se onvierte d uno de los signos de división los de multipliión Se efetú l multipliión entre l primer frión que form l división y los reíproos de ls demás friones que onstituyen l operión originl. Friones omplejs Definiión: Un frión omplej, es un expresión rionl que tienen un o más friones en el numerdor, en el denomindor o en mos. Entones si y d son friones lgeris on, 0, entones d d, es un frión omplej. Simplifiión de friones omplejs Se resuelven ls operiones que hlln en el numerdor y el denomindor Se simplifi d uno de los resultdos otenidos en el pso nterior. Se determinn ls restriiones orrespondientes. Se multiplin extremos por extremos y medios por medios, donde l primer multipliión form el numerdor de l frión determinr y l segund el denomindor Se simplifi l frión resultnte. Medios Euiones d e d f : : : d f e Extremos d es l frión resultnte Euión udráti Definiión: un euión udráti o de segundo grdo en un vrile, es quell que se puede expresr de l form x x 0, on,, números reles y 0,donde x es l vrile y stisfe l euión pr lo sumo dos vlores reles. Soluión de un euión udráti Pr resolver euiones udrátis (determinr sus ríes), se dee tomr en uent si lgun de sus onstntes es ero. Cso 1 Si 0 Igulmos l euión ero Ftorizmos, medinte ftor omún, el polinomio que form l euión Utilizmos el prinipio nulo del produto, ie Se resuelve d un de ls euiones resultntes Cso Si 0 En este so se resuelve l euión, de tl mner que de un ldo del igul (=) este el término udrátio (x ) y del otro ls onstntes. Pr enontrrls soluiones se utiliz l propiedd x x x
4 Análisis del disriminnte 4 Se l euión udráti entones se umple que: Si 0 x x 0, on,, números reles, 0 y l euión no tienen ríes reles S 4, Si 0 l euión tiene un ríz rel repetid S Si 0 l euión tiene dos ríes reles diferentes S Cso 3 Si,, 0 Igulmos l euión ero Ftorizmos (inspeión, fórmul generl o teorem del ftor), el polinomio que form l euión Utilizmos el prinipio nulo del produto, ie Se resuelve d un de ls euiones resultnte Not: Reordemos que en l euión x 3x ls ríes son 1, el onjunto soluión es S, 1 y sus ftores son ( x1) ( x ) Análisis de los términos de l euión udráti x x 0 Además de ls rterístis del disriminnte, podemos determinr lguns generliddes de ls euiones de segundo grdo si se umple que Si = 0, l euión tiene un ríz nul Si = 0, l euión tiene ríes opuests El produto de sus ríes d omo resultdo, ie si x1 x son ls ríes (soluiones) de l euión x x 0,entones x1x L sum de sus ríes d omo resultdo, ie si x x son ls ríes (soluiones) de l 1 euión x x 0,entones x1x Euiones de grdo myor que dos Definiión: un euión de grdo myor que dos en un vrile, es quell que se puede expresr de l n n1 form nx n 1x... 1x 0 0, n on n0,..., n y n 0, donde x es l vrile y stisfe l euión pr lo sumo n vlores reles. Proedimiento `pr resolver euiones de grdo myor que dos Igulmos l euión ero Ftorizmos el polinomio que form l euión, medinte el teorem del ftor o sustituión, on el fin de reduir uno o vrios de sus ftores en polinomios udrátios y lineles. Utilizmos el prinipio nulo del produto, ie Se resuelve d un de ls euiones resultntes
5 Euiones on rdiles Definiión: un euión rdil es quell en donde l inógnit pree dentro de un signo rdil. 5 Ríes de un euión rdil Como el onjunto soluión (soluiones) de un euión rdil de índie pr, está limitd que éste se prte del onjunto de 0,, entones se dee pror ls soluiones enontrds, pr verifir si ésts perteneen l euión originl. Proedimiento pr resolver euiones on rdiles Pr resolver este tipo de euiones se utiliz l poteni de un rdil, en el ul el índie de l ríz y el exponente de l poteni sen el mismo, es deir n n x x, sí omo ls fórmuls notles, en lgunos sos. Euiones on friones lgeris Definiión: es quell euión que posee inógnits en lguns o tods ls friones que l formn, sus denomindores deen ser diferentes de ero. Proedimiento pr resolver euiones on expresiones rionles lgeris Consiste en onvertir un euión frionri en un euión equivlente enter, medinte los siguientes psos: Se onvierte el ldo dereho y el ldo izquierdo de l euión en un frión. Se ftorizn d uno de los polinomios, de d ldo del signo de igul. Se determinn ls restriiones de d ftor, que form el denomindor. Se simplifin denomindores omunes, si es posile. Se multipli en ruz si es neesrio o se igul ero. Se resuelve l euión resultnte. Se verifi que ls soluiones hllds no indefinn l euión originl, ie que l o ls posiles soluiones no sen restriiones. Euiones on vlor soluto Definiión: es quell en donde l inógnit se enuentr l menos dentro de un vlor soluto y se umple que x k si y sólo si x k o x k Proedimiento pr resolver euiones on vlor soluto Reordemos que un vlor soluto siempre es positivo, unque estemos lulándoselo un número negtivo, por eso pr resolver este tipo de euiones, se dee trjr on los dos vlores posiles de x, tnto el positivo omo el negtivo, por lo que proedemos de l siguiente mner Dejmos de uno de los ldos del signo de iguldd, solmente el vlor soluto que posee l inógnit. Utilizmos l propiedd x k x k Resolvemos ls euiones resultntes. Not: Si el vlor soluto está iguldo un expresión lgeri, el resultdo de ls euiones dee prorse.
6 Intervlos Reles Sen, on, entones Definiión Un intervlo es errdo, si inluye sus extremos Un intervlo es ierto, si NO inluye sus extremos Intervlo Notión Conjuntos o omprensiv [, ] { x / x } ], [ { x / x } Gráfio 6 Un intervlo es semiierto, si un extremo se inluye y el otro no. [, [ ], ] { x / x } { x / x } Un intervlo es l infinito, si uno de sus extremos tiende infinito. [, [ ], ] ], [ ], [ { x / x } { x / x } { x / x } { x / x } Un intervlo que represent l ret rel, es quel que no tiene extremos. ], [ { x/ x } Los intervlos iertos se pueden denotr tmién on un préntesis redondo, por ejemplo [,3[ = [,3) Operiones on Conjuntos Definiión: El onjunto universl o onjunto universo U, es el que ontiene todos los elementos de un situión determind. Definiión: El omplemento del onjunto A on respeto l onjunto universl U es el onjunto de todos A xu / x A, el los elementos de U que no están en A y se denot omo A`, entones omplemento de un onjunto se puede tmién denotr omo A. rd: rdinlidd, ntidd de elementos de un onjunto finito. Definiión: Un onjunto vío es quel que NO tiene elementos. Éste se denot por { } ó. (ó: impli que sólo se puede usr un de ls dos notiones, NO se pueden ominr) Definiión: Sen A y B dos onjuntos ritrrios, entones l unión de A y B son todos los elementos de A B A B xu / x A x B A y todos los elementos de B; se denot por, ie : onjunión, impli unión ó Definiión: l ineuión linel o de primer grdo on un inógnit, es quell que se pueden esriir de l form x 0 x 0 x 0 x 0, donde, y y 0.
7 ó Definiión: es quell que está formd, simultánemente, por dos desigulddes. 7 ó á Definiión: l ineuión udráti o de grdo dos, es quell ineuión que se puede expresr de l form x x 0 x x 0 x x 0 x x 0, donde, y y 0 Proedimiento pr resolver Ineuiones udrátis ftorizles Pr resolver un desiguldd de grdo dos, se ftoriz el polinomio x x, un vez ftorizd l expresión, se tienen ls siguientes situiones, donde ( x r1 )( x r ) son sus ftores. Si l desiguldd es del tipo myor que o myor o igul que, mos ftores deen ser positivos o mos ftores deen ser negtivos, pr que l multiplir de un ntidd positiv, y que y tmién (ley de signos pr l multipliión) ie ( x r )( x r ) 0 si [( x r ) 0 ( x r ) 0] [( x r ) 0 ( x r ) 0] Si l desiguldd es del tipo menor que o menor o igul que, los dos ftores deen ser de signo ontrrio, ie uno negtivo y otro positivo Eso es por que l ley de signos pr l multipliión die que y, entones Si ( x r1 )( x r ) 0 tenemos que [( x r1 ) 0 ( x r ) 0] [( x r1 ) 0 ( x r ) 0] Pr ms situiones l soluión será l unión del resultdo de los dos sos. Cundo el polinomio de l euión udráti no es ftorizle Anlizmos el signo on diferentes vlores positivos y negtivos, por ejemplo^ 1) x x 1 0 S ) x x 1 0 S Cudro de vriión Pr resolver ineuiones de segundo grdo, se puede utilizr el udro de vriión, este udro permite de mner onjunt, nlizr d uno de los sos pr resolver este tipo de ineuiones. Reordemos que l ide de nlizr por sos un ineuión de segundo grdo, es ser el signo que poseen d uno de los ftores, pr sí determinr l soluión de l ineuión originl. El udro de vriión nliz el signo de d uno de los ftores que form el polinomio de l euión en todo, pr poder determinr donde l euión umple ser myor o menor que ero, sí omo myor igul o menor igul que ero. Pr onstruir l tl de vriión primero deemos ftorizr el polinomio, luego lulmos los eros de d ftor y finlmente onstruimos l tl de l siguiente mner ftores (x-r 1 ) (x-r ) (x-r 1 ) (x-r ) - r 1 r + eros nliz el signo de d ftor nliz el signo de produto Se usn los eros y se esrie los infinitos y que l ide, omo se meniono nteriormente, es oservr en d intervlo definido por éstos, el signo orrespondiente l produto formdo por los ftores del polinomio que form l ineuión que se dese resolver.
8 8 Pr resolver este tipo de ineuiones se proede Aislmos el ero (igulmos l ineuión ero) Ftorizmos el polinomio que form l ineuión. Utilizmos el udro de vriión pr determinr el onjunto soluión. Este tipo de ineuiones son los que poseen inógnits tnto en el numerdor omo en el denomindor de ls friones que ls formn, pr resolver este tipo de ineuiones se sigue el siguiente proedimiento. Se igul l ineuión ero. Se resuelven ls operiones resultntes del pso nterior, pr onvertirl en un sol frión Se ftoriz los numerdores y denomindores resultntes del pso número dos (si es posile). Se determinn ls restriiones de d ftor, que form el denomindor. Se simplifin los ftores omunes entre el numerdor y el denomindor de l frión que form l ineuión. NO se puede psr el denomindor l otro ldo de l ineuión, y que no semos el signo que este posee. Se utiliz el udro de vriión pr determinr el onjunto soluión de l ineuión, tomndo en uent ls restriiones del denomindor, y que ésts en el udro de vriión llevrn dole rr. ó Definiión: son quells en ls que ls inógnits se enuentrn dentro de un vlor soluto. Pr resolver este tipo de ineuiones se utiliz el siguiente teorem. El vlor de un número orresponde l distni del ero ese número. Si pensr en un prtiión de en tres onjuntos de l siguiente mner:, entones podemos - 0,,,, [, ] -, son los únios números reles que umplen on l ondiión de tener vlor soluto igul, es deir que están un distni del ero igul Los números reles entre son los que tienen l propiedd de estr un distni del ero menor que, por lo tnto su vlor soluto es menor que Los números reles menores que y los myores que están un distni del ero myor que, por lo tnto su vlor soluto es myor que Teorem: Si x y 0 x, entones x si y sólo si si y sólo si x x x Es deir x k x k x k x k (1) Proedimiento pr resolver ineuiones on vlor soluto Despejmos ls expresiones que posen vlores solutos, es deir, dejmos de uno de los ldos del signo de desiguldd solmente el vlor soluto que posee l inógnit. Utilizmos l propiedd (1) o el teorem nterior. Resolvemos ls ineuiones resultntes.
9 9 Not: Cundo l ineuión es del tipo x k o x k, se utiliz l interseión de onjuntos pr soir ls soluiones de ls ineuiones resultntes y dr el onjunto soluión de l ineuión originl, de lo ontrrio, si son del tipo x k o x k se utiliz l unión de onjuntos. Tem : Geometrí Clsifiión de Triángulos Según l medid de sus ldos Según l medid de sus ángulos Según l medid de sus ángulos ddos sus ldos Equilátero Esleno Isóseles Autángulo Retángulo Otusángulo Equiángulo Si, son los ldos de un triángulo, on es el ldo de myor medid, entones se umple que ABC es otusángulo ABC es utángulo ABC es retángulo Fórmul de Herón Definiión: Sen,, los ldos del ABC, el áre del triángulo est dd por A ABC S( S )( S )( S ), on S el semiperímetro (mitd del perímetro) del ABC Teorem de semejnz Se ABC un triángulo retángulo, entones l ltur sore l hipotenus divide éste en dos triángulos, d uno de ellos semejntes l ABC, sí omo los triángulos formdos por l ltur sore l hipotenus de un triángulo retángulo, son semejntes entre sí A B D C ABC ABC ABD ADB BDC BCD Teorem de l ltur Sen,, los ldos de un triángulo retángulo, tl que es l hipotenus. Si h es l ltur sore l hipotenus, m y n los segmentos en los h divide l hipotenus h m n Es deir, l ltur orrespondiente l hipotenus es medio proporionl 1 entre los dos segmentos que ést determin sore l hipotenus. 1 Si en un proporión los medios o los extremos son igules, entones éstos reien el nomre de medio proporionl.
10 10 Teorem de los tetos Sen,, los ldos de un triángulo retángulo, tl que es l hipotenus. Si h es l ltur sore l hipotenus, m es l proyeión del teto y n es l proyeión del teto, entones se umple que m n Es deir, los tetos son medio proporionles entre l hipotenus y l proyeión del teto sore ell. Teorem de Pitágors Sen,, los ldos de un triángulo retángulo, tl que es l hipotenus, entones se umple que, tmién se umple que y Derivdo del teorem de Pitágors. Si, y son los ldos de un triángulo, donde es el ldo de myor medid, entones Si, el triángulo es retángulo Si otusángulo, el triángulo es Si utángulo, el triángulo es Triángulo retángulo isóseles Se ABC retángulo isóseles, on l l medid de sus tetos, entones l hipotenus tiene longitud l m m 45º Triángulo semiequilátero Se ABC semiequilátero, on l l medid de su hipotenus, entones sus tetos tiene l l l longitud y 3 3 l l 30º l l 60º l Rets Notles Altur Es l ret que ontiene un vértie del triángulo e interse perpendiulrmente l ldo opuesto. El punto de interseión o onurreni de ls tres lturs se llm ortoentro El ortoentro puede estr en el interior o en el exterior del triángulo, sí omo, puede oinidir on uno de los vérties. Esto depende del tipo de triángulo. Medin Es el segmento de ret que une un vértie del triángulo on el punto medio del ldo opuesto. El punto de interseión o onurreni de ls tres medins se denomin rientro El rientro siempre se enuentr en el interior del triángulo y es el entro de grvedd de éste.
11 11 En todo triángulo, ls medins se ortn en dos segmentos, tles que el myor es el dole que el menor, es deir L distni del rientro l vértie es dos terios de l MEDIANA y l distni del rientro l ldo es un terio de l MEDIANA. Bisetriz L isetriz del ángulo es el segmento de ret que ise (divide en dos ángulos ongruentes) uno de los ángulos internos del triángulo, y lleg hst el ldo opuesto. El punto de interseión o onurreni de ls tres isetries se denomin inentro. El inentro es el entro de l irunfereni insrit l triángulo. L isetriz de un ángulo equidist de sus ldos. BD : isetriz del XZ ZY ABC Meditriz Es l ret perpendiulr uno de los ldos del triángulo en su punto medio. El punto de interseión o onurreni de ls tres meditries se llm irunentro. El irunentro puede estr en el interior o en el exterior del triángulo, o ien, sore uno de los ldos de éste, dependiendo del tipo de triángulo. El irunentro es el entro de l irunfereni irunsrit l triángulo. Crterístis del Triángulo Equilátero 1. En todo triángulo equilátero ls utro rets notles oiniden entones, el punto de interseión es l vez ortoentro, rientro, inentro y irunentro.. De uerdo on los dtos de l figur Cirunentro djunt si ABC es equilátero on l l medid de sus ldos, l longitud de l potem y r l medid del rdio, entones se umple que B A r D l C l L ltur AD mide 3 mad r ; r l 3 AD l l l r l l 3 Áre = l 3 4 Crterístis del Triángulo isóseles 1. En todo triángulo isóseles ls utro rets notles desde el vértie sore el ldo desigul oiniden. Por lo tnto, si el ABC es isóseles tl que AB AC, entones AM es ltur, medin, meditriz y isetriz. Al trzr l ltur sore el ldo desigul determin dos triángulos ongruentes.
12 1 Tem 3: Trigonometrí ó : el seno de un ángulo es l rzón entre el teto opuesto diho ángulo y el vlor de l hipotenus, se denot omo sen ó : el oseno de un ángulo es l rzón entre el teto dyente diho ángulo y el vlor de l hipotenus, se denot omo os ó : l tngente de un ángulo es l rzón entre el teto opuesto diho ángulo y el teto dyente l mismo ángulo, se denot omo tn ó : l otngente de un ángulo es l rzón entre el teto dyente diho ángulo y el teto opuesto del mismo ángulo, se denot omo ot. ó : l sente de un ángulo es l rzón entre l hipotenus del triángulo y el teto dyente del ángulo, se denot omo se
13 ó : l osente de un ángulo es l rzón entre l hipotenus del triángulo y el teto opuesto del ángulo, se denot omo s 13 í L rzón otngente es el reíproo de l rzón tngente y vievers. L rzón sente es el reíproo de l rzón oseno y vievers. L rzón osente es el reíproo de l rzón seno y vievers. ( es el omplemento de o vievers, entones 90º 90º ) A B C sen( ) os( ) os( ) sen( ) tn( ) ot( ) ot( ) tn( ) se( ) s( ) s( ) se( ) á é Triángulo Retángulos isóseles Triángulo semiequilátero 1 l = 1 l = 1 é Á º º º é Hst el momento sólo hemos determindo el vlor de ls rzones trigonométris prtir de l uiión de los ángulos gudos en el triángulo retángulo o el vlor de éstos, pero tmién se puede determinr l medid de los ángulos prtir de l medid de los ldos, pr esto se utilizn ls rzones inverss de ls seis rzones trigonométris estudids. Rzón Notión Rzón Invers Notión seno sen ro seno 1 sen o rsen oseno os ro oseno 1 os o ros tngente tn ro tngente 1 tn o rtn
14 Not: en trigonometrí l simologí de elevr l menos uno NO indi l propiedd de ls potenis, sino l notión de ls rzones inverss, por lo ul en este so sen demás rzones. ( x), sí pr tods ls sen( x) Definiión: Si l líne de visiilidd está por enim de l horizontl, el ángulo se denomin ángulo de elevión. ó Definiión: Si l líne de visiilidd está por dejo de l horizontl, el ángulo se denomin ángulo de depresión. ó Definiión: Sen,,, respetivmente los ldos de un triángulo oliuo, on A, B, C sus vérties, entones se umple que A B C A B C sen( A) sen( B) sen( C) reípromente sen( A) sen( B) sen( C) Definiión: Sen,,, respetivmente los ldos de un triángulo oliuo, on A, B, C sus vérties, entones se umple que A B C A B C A os( ) B os( ) C os( ) Á á Definiión: Sen,, los ldos de un triángulo un triángulo on vérties A, B, C respetivmente, entones se umple que el áre del triángulo es
15 A C B A ABC sen( A) sen( B) sen( C) 15 Geometrí nlíti Teorem: Sen (x 1, y 1 ) y (x, y ) dos pres ordendos, que perteneen l plno rtesino y l mism ret, entones y y1 m. Además, omo el riterio de l funión linel es de l form y mx, x x 1 entones = y 1 - mx 1, donde x 1 y 1 son los vlores de ls oordends de un punto ulquier que pertenez l ret. Un ret prlel l eje y, no tiene pendiente. (Está ret no es funión) L pendiente de un ret prlel l eje x, es ero. (Está ret es un funión onstnte) Definiión: Ls gráfis de dos funiones lineles representn rets prlels, si y sólo si, sus pendientes son igules. Definiión: Dos funiones lineles tienen gráfis perpendiulres si el produto de sus pendientes d mm 1 1, es deir, son pendientes reípromente opuests. menos uno Definiión: L distni d(p, Q), entre dos puntos ulesquier P(x 1,y 1 ) y Q(x,y ) en un sistem de oordends retngulres es d( P, Q) ( x x ) ( y y ) m1 m Definiión: Se l ret l : x y 0 y el punto, P x y, entones 0 0 d( P, l) x y 0 0 Definiión: El punto medio del segmento de ret de P(x 1, y 1 ) Q(x,y ) es el pr ordendo x x, y y 1 1 Definiión: L euión de un irunfereni de entro O(, ) y rdio r, es (x - ) + (y - ) = r, on P(x,y) un punto ulquier de l irunfereni.
16 Posiión de un punto respeto un Cirunfereni Considere l ( Or, ) y un punto P(x, y) ulquier, entones si se umple que: 16 (x -) + (y - ) = r, P es un punto que pertenee l irunfereni. (x - ) + (y - ) > r, P es un punto exterior l irunfereni. (x - ) + (y - ) < r, P es un punto interior l irunfereni. Posiión de un ret on respeto un Cirunfereni Considere l ret y = mx + y l irunfereni de entro O(, ) y rdio r, entones, si l sustituir el riterio de l ret en l euión de l irunfereni (x - ) + (y - ) = r, se umple que: el Δ = 0, l ret es tngente l irunfereni. el Δ > 0, l ret es sente l irunfereni. el Δ < 0, l ret es exterior l irunfereni. Trslión de un Cirunfereni Considere l irunfereni de entro O(, ) y rdio r de euión (x - ) + (y - ) = r, y el vetor v ( m, n), si se dese trsldr el entro (, ) l direión de v, se dee nlizr el signo de m y n, los ules indirán l tryetori seguir. Por otro ldo, si lo que se us es trsldr el punto (, ) l punto (, d), entones l euión de l irunfereni será (x - ) + (y - d) = r
17 17 Definiión: Se f :, un funión udráti entones f(x)= (x-h) + k on 0 es l notión nóni o norml de l funión udráti donde h y k son ls oordends del vértie de l práol, es deir V ( h, k), donde h y k 4
18 18 f ( x) 0, x]0,1[ f ( x) 0, x ]0,1[ f ( x) 0, x 1 f ( x Si >1 (reiente) y x1 x f ( x1 ) ( x) Si 0 1 (dereiente) y x1 x f x1 ) f x) Trnsformiones de Funiones Trsliones Vertiles: Son quells de l form g( x) ( x) on Entones, l gráfi de l funión g, se otiene desplzndo: uniddes hi rri de l gráfi de l funión si uniddes hi jo de l gráfi de l funión si Trsliones Horizontles: Son quells de l form g( x) f ( x ) on Entones, l gráfi de l funión g, se otiene desplzndo: uniddes hi l izquierd de l gráfi de l funión si uniddes hi l dereh de l gráfi de l funión f si Si l funión es de l form f ( x) g( nx ), entones l funión se desplz n uniddes hi l izquierd de l gráfi de l funión log (x) si n n uniddes hi l dereh de l gráfi de l funión log (x) si n Invers Definiión: Se f un funión iyetiv de A en B, entones existe un funión f 1 de B en 1 f 1 A, donde es l invers de f, es deir, si f es un funión iyetiv, entones f : A B f : B A, 1 1, f ( ), ( ) f G f G f Fuentes: Mtemáti 7º, Porrs y Gmo/ Folletos de Álger, ITCR / Álger, Bldor / Álger, Reinldo Jiménez /Mtemáti pr l Enseñnz Medi, Lizeth Snho & Rndll Blno/Mtemáti 10º, Porrs & Gmo / Mtemáti 10º, Roxn Meneses/ Mtemáti Bási on Apliiones, Trigonometrí de Reinldo Jiménez/ Olimpids Mtemáti 10º Colomi/ Mtemáti Eduión distni y mdurez/ Mtemáti Elementl II Geometrí/ prátis pr Noveno Año de Crol Mor/ /
Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:
Más detallesTRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal
. ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los
Más detallesDETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE
DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE ESPECIALISTA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS U de A INTRODUCCIÓN En el desrrollo de l geometrí
Más detallesFUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL
FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL El prolem de l práol horizontl Qué relión h entre ls propieddes nlítis de l funión udráti ls propieddes geométris de l práol horizontl? Como
Más detallesUNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE
UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.
Más detallesECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd resolverás ejeriios y prolems que involuren l soluión de euiones de primer grdo y de segundo grdo Ojetivo.
Más detallesTriángulos y generalidades
Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp. 62 63) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro
Más detallesTRIGONOMETRÍA (4º OP. A)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente
Más detallesXVI Encuentro Departamental de Matemáticas: La innovación en el proceso docente educativo en Matemáticas a partir de diferentes medios de aprendizaje
XVI Enuentro Deprtmentl de Mtemátis: L innovión en el proeso doente edutivo en Mtemátis prtir de diferentes medios de prendizje y I Enuentro Deprtmentl de GeoGer Netmente intuitivos. Inextitud de los
Más detallesUNIVERSIDAD CRISTIANA AUTONOMA DE NICARAGUA UCAN FACULTAD DE INGENIERÍAS. Ingeniería en Sistemas de Computación. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro
CARRERA: Ingenierí en Sistems de Computión PLAN DE ESTUDIOS: 00 ASIGNATURA: AÑO ACADÉMICO: DOCENTE: MATEMATICA BASICA I Año Ing. Enmnuel de Jesús Fonse Alfro UNIDAD I: ALGEBRA Al finlir est unidd el estudinte
Más detallesNúmeros Irracionales
Números Irrionles Los griegos ern onoedores de los números nturles: 0, 1,,,, 5, Estos números son los que se utilizn pr numerr o ontr, pero no nos sirven si queremos expresr ntiddes no exts, omo "l mitd
Más detallesRAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto
Más detalles1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.
º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems
Más detallesSemejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51
Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y
Más detallesSESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I
Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.
Más detallesTrigonometría Ing. Avila Ing. Moll
Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un triángulo o de un figur
Más detallesα A TRIGONOMETRÍA PLANA
TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.
Más detalles1. Definición de Semejanza. Escalas
Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión
Más detallesColegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio
Colegio Sn Ptriio A-09 - Inorpordo l Enseñnz Ofiil Fundión Edutiv Sn Ptriio MATEMÁTICA º AÑO Trjo prátio Nº 8 Sistems de dos euiones lineles on dos inógnits Un sistem de euiones es un onjunto de dos o
Más detallesMatemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll
Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de
Más detallesCuestionario Respuestas
Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de
Más detallesse llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.
Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se
Más detalles7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales
7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Tles Si un person que mide 1,70 m proyet un sombr de,40 m y el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, uánto mide de lto el árbol? Se
Más detallesUnidad didáctica 4. Trigonometría plana
Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y
Más detallesGEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Definiión de triángulo Se llm triángulo un onjunto { ABC,, } de tres puntos no linedos del plno. Los puntos A, B y C reien el nomre de vérties del triángulo. Los segmentos (o en
Más detalles5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO
Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un
Más detallesx x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se
Euiones Denominmos euión l iguldd que se stisfe pr uno o más vlores de l(s) vrile(s), o inógnit(s), que interviene en ell. Ejemplos: + 5 + 5 + 6 0 + 0 Denominmos euión lgeri tod euión del tipo: n n n +
Más detalles11La demostración La demostración en matemáticas (geometría)
L demostrión en mtemátis (geometrí) ág. 1 Tl vez los lumnos y lumns hyn demostrdo, en lgun osión, lgun fórmul o lgun propiedd mtemáti, o hyn ontempldo su demostrión. omo semos, pr ellos, el proeso no es
Más detallesSECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA
Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 - Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio
Más detallesEn donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes.
FUNCIÓN CUADRÁTICA. Cundo los elementos de un onjunto los elementos de un onjunto se soin medinte un regl de orrespondeni definid por un euión de segundo grdo en, l llmmos funión de segundo grdo o udráti.
Más detallesFracciones equivalentes
6 Aritméti Friones equivlentes Reflexiones diionles Frión unitri. Es quell frión uyo numerdor es igul. Friones equivlentes. Son ls que representn l mism ntidd, un undo el numerdor y el denomindor sen distintos,
Más detallesPropuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes
Geovny Snri B. Propuest sore l enseñnz de los números rionles Geovny Snri Brenes Un mner de ordr los números rionles es trvés del onoimiento previo de rzones. En l tulidd, ls friones en primri no son vists
Más detallesSECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA
SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 - Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo.
Más detallesLÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS
LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Trzr un perpendiulr en el extremo de un segmento de 60 mm. de longitud. Trzr un perpendiulr
Más detallesSenB. SenC. c SenC = 3.-
TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,
Más detallesm 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular
Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo
Más detallesTriángulos congruentes
Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors
Más detallesX. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.
X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos
Más detallesTEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Más detallesECUACIONES DE PRIMER GRADO
IES Jun Grí Vldemor Deprtmento de Mtemátis TEMA : ECUACIONES º ESO Mtemátis B ECUACIONES DE PRIMER GRADO PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO. Eliminr préntesis si los hy). Eliminr denomindores
Más detallesGRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES
CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES Grmátis Ls grmátis formles definen un lenguje desriiendo ómo se pueden generr ls dens del lenguje. Un grmáti forml es un udrupl
Más detallesLa elipse. coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ. coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ
Definiión. L elipse Est Guí tiene..todas...ls respuests MALAS Se llm elipse, l lugr geométrio de los puntos de un plno u sum de distnis dos puntos fijos del mismo plno es onstnte. Los puntos fijos se ostumrn
Más detallesUna condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada.
Hoj de Prolems Geometrí III 49. Dd l elipse, si tommos el etremo B de ordend positiv del eje menor omo entro, se desrie un irunfereni de rdio igul diho eje menor, ortr l elipse en dos punto P P. Determinr
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
UNEFA C.I.N.U. Mtemátis Mteril dptdo on fines instruionles por Teres Gómez, de: Oho, A., González N., Lorenzo J. Gómez T. (008) Fundmentos de Mtemátis, Unidd 5: Euiones e Ineuiones, CIU 008, UNEFA, Crs.
Más detalles3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola
Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Práol. Elise. Hierol Ojetivos. Se ersigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos de un
Más detallesB 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN
Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos HIPÉRBOLA UNIDAD XI XI.1 DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno,
Más detallesB 1. d 1 d 2 B 2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS HIPÉRBOLA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA 1 Y 2: LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS
http://olmo.pnti.me.es/dms000 MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA Y : LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS HOJA Nº Feh de entreg: Viernes, de Oture de 00 Ejeriios. 7. Etre ftores y simplifi l máimo l epresión
Más detallesPRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)
ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,
Más detallesDefiniciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr
Más detallesMatemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz
Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo
Más detalles9 Proporcionalidad geométrica
82485 _ 030-0368.qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l
Más detallesSISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll SISTEMA DE CRDENADAS EN EL LAN SISTEMA UNIDIMENSINAL Es sio que es posile soir los números reles on los puntos e un ret reípromente. Es lo
Más detallesUNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA
REPUBLICA DE COLOMBIA SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL DE SANTA MARTA INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resoluión Nº 88 de noviemre.8/ Emnd de l Seretri De Eduión Distritl DANE Nº7-99
Más detalles1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.
.. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. Sistems de ritmos. Si ulquier número positivo puede tomrse omo Bse, eiste infinito número de sistems de logritmos, pero trdiionlmente, solo se utilizn dos sistems: o ritmos
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo
Más detallesSistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:
ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesOBJETIVO 1 CalCUlaR la RazÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO
OJETIVO 1 lulr l RzÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un
Más detalles344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:
LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un
Más detallesVECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio --- UDB Físi Cátedr VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo de su
Más detallesPROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo
. PROLEMS DE OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE GEOMETRÍ El triángulo ELISETH GONZÁLEZ FUENTES Máster de Mtemátis Universidd de Grnd. 014 Prolems sore triángulos Trjo Fin de Máster presentdo en el Máster Interuniversitrio
Más detallesSECCIÓN 1 NOCIONES DE ESCRITURA MATEMÁTICA
SEMANA SECCÓN NOCONES DE ESCRTURA MATEMÁTCA L mtemáti es l ieni que trt de ls ntiddes, onstituid por un lenguje ifrdo onvenido universlmente, medinte el ul nos omunimos, on relión los álulos numérios plidos
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
7 Pág. Págin 66 PRTI Rzones trigonométris de un ángulo gudo Hll ls rzones trigonométris del ángulo en d uno de estos triángulos: ) ) ), m, m,6 m 8, m m 8, m ) sen, 0, os 0, 0,89 tg 0, 0,, 0,89 ) tg,6,
Más detallesTEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)
TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiiones de Seundri) TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1. Introduión.. Homoteis: Definiión y propieddes. 3. L semejnz en el plno. 3.1.
Más detalles10 Figuras planas. Semejanza
10 Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser 10 QUÉ tienes que ser Atividdes Finles 10 Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los
Más detalles- Aplicar la ley de Ohm en los circuitos puros de corriente alterna.
9. CIRCUITOS SIMPLES DE CORRIENTE ALTERNA Conoidos los omponentes, hor se prenderá ómo se omportn de form individul l estr onetdos un fuente de limentión de orriente ltern. El onoimiento de l ley de Ohm
Más detallesFACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Hemos visto el prolem de enontrr el produto, ddos los ftores. L ftorizión es enontrr los ftores, ddo el produto. Se llmn ftores de un epresión lgeri quellos que multiplidos
Más detallesUnidad Valle de las Palmas
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA CENTRO DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA CITEC Unidd Vlle de ls Plms MANUAL DE MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA EL INICIO DE ESTUDIOS EN INGENIERÍA ELABORADO POR: Alerto Hernández
Más detallesDETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA
DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0
Más detallesFigura 1. Teoría y prática de vectores
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio UDB Físi Cátedr FÍSICA I VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo
Más detalles. Se clasifican en Números Racionales Q y Números Irracionales Q. . Se pueden representar en la recta numérica al igual que otros números reales.
COMPETENCIA Estleer reliones y iferenis entre iferentes notiones e números reles pr eiir sore su uso. 2.. NÚMEROS RACIONALES Los números Frionrios se simolizn on l letr Q. Se lsifin en Números Rionles
Más detallesINTEGRALES IMPROPIAS
INTEGRALES IMPROPIAS INDICE.- Integrles impropis de primer espeie....- Integrles impropis de segund espeie.- Integrles impropis del tipo C... 8 4.- Criterios de omprión 8.- Biliogrfi 0 DEFINICION DE INTEGRALES
Más detallesUNIVERSIDAD AUTONOMA DE BAJA CALIFORNIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA Y TECNOLOGIA (ECITEC) Unidad Valle de las Palmas
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BAJA CALIFORNIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA Y TECNOLOGIA ECITEC Unidd Vlle de ls Plms TÓPICOS SELECTOS DE MATEMÁTICAS Trono Común Arquitetur Diseño ELABORADO POR: Berné
Más detallesResumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.
Reliones métris en un triángulo Resumen redo or Hernán Verdugo Fini, rofesor de Mtemáti y Físi, ril 011. El estudio de un triángulo siemre revestido interés y or ello es ue existen un serie de desriiones,
Más detallesInstituto de Enseñanza Superior Lola Mora - IES Profesorado de Educacion Secundaria en Economia
0 Instituto de Enseñn Superior Lol Mor - IES rofesordo de Eduion Seundri en Eonomi Curso ropedeutio de Mtemáti Estimdo Ingresnte: Este udernillo hn sido pensdos pr udrte reuperr onsolidr los Conoimientos
Más detallesTRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA
CONTENIDO TRIGONOMETRÍA Tem. Pág. Coneptos y definiiones. Ángulos. Grdos. Aros. Rdines 4 Polígonos y irunfereni. 5 4 Sistems oordendos. Retngulres. Polres. 6 5 Triángulos. Definiión. Clsifiión. 7 6 Círulo
Más detalles(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2. (a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2-2ab + b 2
ORDEN DE OPERACIÓN RESUMEN PSU Pr operr orretmente no te olvides que existe un orden(prioridd) que se dee respetr y es el siguiente: º Préntesis º Potenis º Multipliión y División 4º Sum y Rest Números
Más detallesCompilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
olígonos Un polígono es l región del plno limitd por tres o más segmentos. lementos de un polígono Ldos: on los segmentos que lo limitn. Vértices: on los puntos donde concurren dos ldos. Ángulos interiores
Más detallesDeterminantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado
Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá:
Más detallesLOS NÚMEROS REALES. Los número 1,2,3 se denominan números naturales. El conjunto de los números naturales se representan con la letra N, así
LOS NÚMEROS REALES Los número,, se enominn números nturles. El onjunto e los números nturles se representn on l letr N, sí N {,,K } Si se sumn os números nturles el resulto es otro nturl, pero si se rest
Más detallesINTRODUCCIÒN Solución de triángulos rectángulos
INTRODUIÒN omo se vio en l unidd 1, l trigonometrí, se encrg de enseñr l relción entre los ldos y los ángulos de un tringulo. Es de sum importnci y que nos yud encontrr ls respuests en l físic, pr medir
Más detallesLA PROPORCIONALIDAD EN LOS TRIÁNGULOS
Proorionlidd en los triángulos Tles Mtemáti º Año Cód. 104-15 P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. D n i e l C n d i o P r o f. N o e m í L g r e P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z Dto. de
Más detalles1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN
http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesUnidad 1: Números reales.
Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y
Más detallesTEMA 5: FRACCIONES. Las fracciones permiten trabajar de manera simbólica con cantidades no enteras.
Alonso Fernánez Glián TEMA FRACCIONES Ls friones permiten trjr e mner simóli on nties no enters.. CONCEPTO DE FRACCIÓN Un frión es un expresión e l form numeror enominor ( 0) Represent el resulto e iviir
Más detallesGuía - 4 de Matemática: Trigonometría
1 entro Eduionl Sn rlos de rgón. oordinión démi Enseñnz Medi. Setor: Mtemáti. Nivel: NM Prof.: Ximen Gllegos H. Guí - de Mtemáti: Trigonometrí Nomre(s): urso: Feh. ontenido: Trigonometrí. prendizje Esperdo:
Más detallesHaga clic para cambiar el estilo de título
Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles
Más detalles7.1 Ecuación en forma común o canónica de la hipérbola. En la gráfica dada a continuación (Fig. 1) es posible encontrar los elementos siguientes:
UNIDAD VII. LA HIPÉRBOLA. DEFINICIÓN: L Hipérol es el onjunto de puntos en el plno u difereni de sus distnis dos puntos fijos en el mismo plno, llmdos foos, es onstnte e igul. 7.1 Euión en form omún o
Más detallesProblemas de trigonometría
Prolems de trigonometrí Reliones trigonométris de un ángulo. Clulr ls rzones trigonométris de un ángulo α, que pertenee l primer udrnte, y siendo que 8 sin α. 7 sin α + os α 8 7 + os α os α 64 5 5 osα
Más detallesTrigonometría. Prof. María Peiró
Trigonometrí Prof. Mrí Peiró Trigonometri Funciones Trigonométrics Ls funciones trigonométrics son rzones o cocientes entre dos ldos de un triángulo rectángulo. Hy seis funciones trigonométrics: Directs
Más detallesFactorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesSi este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S
Integrles LA INTEGRAL DEFINIDA Integrl definid: áre jo un urv L integrl definid permite lulr el áre del reinto limitdo, en su prte superior por l gráfi de un funión f (, ontinu y no negtiv, en su prte
Más detallesNÚMEROS RACIONALES. y Números Irracionales Q
CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO ASIGNATURA: AREA / COMPONENTE: FORMACIÓN BÁSICA CICLO DE FORMACIÓN: TECNICA TIPO DE
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detalles1. AA AB = (-1,1) 2. AA AB = (5,9) 3. AA AB = (-5,-9) 4. AA AB = (1,-1) 3. AA A(1,-4) B(3,-5) < AB = (5,-5) D d A(-1,-2) B(3,2)
Mr l opión que ontiene el vetor fijo definido por los puntos A(3,4) y B(-2,-5). AA AB = (-1,1) AA AB = (5,9) AB = (-5,-9) AB = (1,-1) Mr tods ls opiones que definen el vetor fijo AB = (-2,1). AA A(-5,-3)
Más detallesMINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA
MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA CURSO 4 TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO CARTA DIDÁCTICA Desripión: Con este
Más detallesVectores y Trigonometría
Griel Villloos 12/09/2016 Vetores y Trigonometrí 1) Vetores Mgnitudes eslres y mgnitudes vetoriles Reordemos que un mgnitud es ulquier propiedd de un sistem mteril que se puede medir. Ls mgnitudes ls podemos
Más detallesSUPERFICIES-SUPERFICIES CUÁDRICAS CUÁDRICAS SIN CENTRO
: L euión generl es de l form M N Pz donde todos los oefiientes son no nulos M N P Se puede esriir l euión nterior en l form: ± ± on Llmd form nóni de un uádri sin entro. Álger B Fultd de Ingenierí UNMdP
Más detalles