Conocimientos previos

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1 Tem 1: Alger Ftorizión Conoimientos previos 1 Ftor omún Consiste en utilizr l propiedd distriutiv, pr lo ul se efetún los siguientes psos: Se lul el máximo omún divisor (MCD) de los oefiientes (onstntes) de los monomios que formn el polinomio. Se determin, entre los ftores literles (vriles) del polinomio ls vriles omunes de menor exponente. El ftor omún es el monomio uyo ftor numério es el MCD otenido en el primer pso, el ftor literl estrá formdo por tods ls vriles omunes de menor exponente, onseguido en el pso nterior. L ftorizión del polinomio es l multipliión del ftor omún por el polinomio que result de dividir d término del polinomio ddo entre el ftor omún. Not: undo todos o lgún oefiiente del polinomio es un número frionrio, primero se proede efetur l sum o rest entre los monomios que lo formn, ntes de ftorizr. Agrupión: Consiste en desomponer el polinomio en grupos de igul número de términos (on exepión de ls que grupn polinomios que se pueden ftorizr medinte fórmuls notles), oteniendo un ftor omún de d grupo seleiondo, pr luego enontrr un ftor omún entre d uno de los grupos, pr sí llegr l multipliión que form l ftorizión del polinomio. Fórmuls (produtos) notles ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Pr determinr si un polinomio se ftoriz medinte produtos notles, se dee ompror primero que tiene l form de los mismos, pr luego plirlos. Fórmul generl Se emple pr polinomios de l form x x (trinomio udrátio), on 0 y,,. Definiión: se llm disriminnte del trinomio de segundo grdo l expresión 4 y se represent on el símolo, entones 4 Teorem: Se el trinomio P( x) x x on 0 y 4, entones se umple que Si 0 Px ( ) no es ftorizle en Si 0 Px ( ) tienen dos ftores diferentes y su ftorizión viene dd por P( x) x x d( x x1)( x x), donde x1 y x on d Si 0 Px ( ) tienen dos ftores igules, entones P( x) x x d( x x1 ) on d Inspeión Se P( x) x x on 0,,, este método onsiste en determinr dos expresiones que multiplids den el termino x (1) y dos expresiones que multiplids den ()

2 se multiplin en ruz los términos de (1) on los de () ompromos que los vlores esogidos en el primer pso es orret, si l sumr los produtos del segundo pso dn el término del polinomio. Definiión: Se P un polinomio, se die que es un ero del P sii P( ) 0 Teorem del ftor El teorem del ftor se reliz medinte l división sintéti y sirve pr determinr l ftorizión de polinomios de grdo myor que dos, siguiendo los siguientes psos: Se determinn los eros del polinomio Se tom uno de los eros del polinomio pr relizr l división sintéti, entre el polinomio y el ero. Formmos los ftores, resultntes de l división Si el grdo de lgunos de los ftores es igul o myor dos, se repite los psos nteriores hst determinr ftores irreduiles. Sustituión Este método se utiliz pr polinomios de grdo myor que dos, donde los exponentes son múltiplos de un mismo número. Pr ftorizr el polinomio se reliz un mio de vrile, on l intenión de onvertir el polinomio en uno de menor grdo, l myorí de vees se trj on trinomios udrátios Regls seguir en l ftorizión ( ) n n ( ), si n es pr ( ) n n ( ), si n es impr Expresiones Algeris Rionles Definiión: Sen Nx ( ) y Dx ( ) dos polinomios. L expresión lgeri rionl on Dx ( ) 0 N( x) Dx ( ) reie el nomre de frión Simplifiión de friones Pr simplifir un frión se ftoriz el numerdor y el denomindor, pr luego nelr los ftores igules entre d un de ls prtes de l frión. Adiión y sustrión de friones lgeris El proeso pr sumr friones onsiste en seguir los siguientes psos: Se ftoriz los denomindores que formn l expresión Se determinn ls restriiones de los denomindores Se lul el omún denomindor que estrá formdo por el produto de los ftores omunes y no omunes de myor índie. El omún denomindor se divide entre d uno de los denomindores y el oiente se multipli por el respetivo denomindor. Finlmente, se simplifi l frión lgeri resultnte y se indin ls restriiones respetivs, otenids en el segundo pso. Multipliión de friones lgeris Psos seguir pr multiplir friones lgeris: Se ftorizn todos los numerdores y denomindores Se determinn ls restriiones de los denomindores Se neln los ftores igules, entre los numerdores y denomindores Se multiplin los ftores que no se simplifiron en el pso nterior y se reduen los términos semejntes (si los ftores son muhos o de expresiones muy lrgs, no se reliz este pso)

3 3 División de friones lgeris Pr dividir friones lgeris se proede en onvertirl en un multipliión de l siguiente mner: Se onvierte d uno de los signos de división los de multipliión Se efetú l multipliión entre l primer frión que form l división y los reíproos de ls demás friones que onstituyen l operión originl. Friones omplejs Definiión: Un frión omplej, es un expresión rionl que tienen un o más friones en el numerdor, en el denomindor o en mos. Entones si y d son friones lgeris on, 0, entones d d, es un frión omplej. Simplifiión de friones omplejs Se resuelven ls operiones que hlln en el numerdor y el denomindor Se simplifi d uno de los resultdos otenidos en el pso nterior. Se determinn ls restriiones orrespondientes. Se multiplin extremos por extremos y medios por medios, donde l primer multipliión form el numerdor de l frión determinr y l segund el denomindor Se simplifi l frión resultnte. Medios Euiones d e d f : : : d f e Extremos d es l frión resultnte Euión udráti Definiión: un euión udráti o de segundo grdo en un vrile, es quell que se puede expresr de l form x x 0, on,, números reles y 0,donde x es l vrile y stisfe l euión pr lo sumo dos vlores reles. Soluión de un euión udráti Pr resolver euiones udrátis (determinr sus ríes), se dee tomr en uent si lgun de sus onstntes es ero. Cso 1 Si 0 Igulmos l euión ero Ftorizmos, medinte ftor omún, el polinomio que form l euión Utilizmos el prinipio nulo del produto, ie Se resuelve d un de ls euiones resultntes Cso Si 0 En este so se resuelve l euión, de tl mner que de un ldo del igul (=) este el término udrátio (x ) y del otro ls onstntes. Pr enontrrls soluiones se utiliz l propiedd x x x

4 Análisis del disriminnte 4 Se l euión udráti entones se umple que: Si 0 x x 0, on,, números reles, 0 y l euión no tienen ríes reles S 4, Si 0 l euión tiene un ríz rel repetid S Si 0 l euión tiene dos ríes reles diferentes S Cso 3 Si,, 0 Igulmos l euión ero Ftorizmos (inspeión, fórmul generl o teorem del ftor), el polinomio que form l euión Utilizmos el prinipio nulo del produto, ie Se resuelve d un de ls euiones resultnte Not: Reordemos que en l euión x 3x ls ríes son 1, el onjunto soluión es S, 1 y sus ftores son ( x1) ( x ) Análisis de los términos de l euión udráti x x 0 Además de ls rterístis del disriminnte, podemos determinr lguns generliddes de ls euiones de segundo grdo si se umple que Si = 0, l euión tiene un ríz nul Si = 0, l euión tiene ríes opuests El produto de sus ríes d omo resultdo, ie si x1 x son ls ríes (soluiones) de l euión x x 0,entones x1x L sum de sus ríes d omo resultdo, ie si x x son ls ríes (soluiones) de l 1 euión x x 0,entones x1x Euiones de grdo myor que dos Definiión: un euión de grdo myor que dos en un vrile, es quell que se puede expresr de l n n1 form nx n 1x... 1x 0 0, n on n0,..., n y n 0, donde x es l vrile y stisfe l euión pr lo sumo n vlores reles. Proedimiento `pr resolver euiones de grdo myor que dos Igulmos l euión ero Ftorizmos el polinomio que form l euión, medinte el teorem del ftor o sustituión, on el fin de reduir uno o vrios de sus ftores en polinomios udrátios y lineles. Utilizmos el prinipio nulo del produto, ie Se resuelve d un de ls euiones resultntes

5 Euiones on rdiles Definiión: un euión rdil es quell en donde l inógnit pree dentro de un signo rdil. 5 Ríes de un euión rdil Como el onjunto soluión (soluiones) de un euión rdil de índie pr, está limitd que éste se prte del onjunto de 0,, entones se dee pror ls soluiones enontrds, pr verifir si ésts perteneen l euión originl. Proedimiento pr resolver euiones on rdiles Pr resolver este tipo de euiones se utiliz l poteni de un rdil, en el ul el índie de l ríz y el exponente de l poteni sen el mismo, es deir n n x x, sí omo ls fórmuls notles, en lgunos sos. Euiones on friones lgeris Definiión: es quell euión que posee inógnits en lguns o tods ls friones que l formn, sus denomindores deen ser diferentes de ero. Proedimiento pr resolver euiones on expresiones rionles lgeris Consiste en onvertir un euión frionri en un euión equivlente enter, medinte los siguientes psos: Se onvierte el ldo dereho y el ldo izquierdo de l euión en un frión. Se ftorizn d uno de los polinomios, de d ldo del signo de igul. Se determinn ls restriiones de d ftor, que form el denomindor. Se simplifin denomindores omunes, si es posile. Se multipli en ruz si es neesrio o se igul ero. Se resuelve l euión resultnte. Se verifi que ls soluiones hllds no indefinn l euión originl, ie que l o ls posiles soluiones no sen restriiones. Euiones on vlor soluto Definiión: es quell en donde l inógnit se enuentr l menos dentro de un vlor soluto y se umple que x k si y sólo si x k o x k Proedimiento pr resolver euiones on vlor soluto Reordemos que un vlor soluto siempre es positivo, unque estemos lulándoselo un número negtivo, por eso pr resolver este tipo de euiones, se dee trjr on los dos vlores posiles de x, tnto el positivo omo el negtivo, por lo que proedemos de l siguiente mner Dejmos de uno de los ldos del signo de iguldd, solmente el vlor soluto que posee l inógnit. Utilizmos l propiedd x k x k Resolvemos ls euiones resultntes. Not: Si el vlor soluto está iguldo un expresión lgeri, el resultdo de ls euiones dee prorse.

6 Intervlos Reles Sen, on, entones Definiión Un intervlo es errdo, si inluye sus extremos Un intervlo es ierto, si NO inluye sus extremos Intervlo Notión Conjuntos o omprensiv [, ] { x / x } ], [ { x / x } Gráfio 6 Un intervlo es semiierto, si un extremo se inluye y el otro no. [, [ ], ] { x / x } { x / x } Un intervlo es l infinito, si uno de sus extremos tiende infinito. [, [ ], ] ], [ ], [ { x / x } { x / x } { x / x } { x / x } Un intervlo que represent l ret rel, es quel que no tiene extremos. ], [ { x/ x } Los intervlos iertos se pueden denotr tmién on un préntesis redondo, por ejemplo [,3[ = [,3) Operiones on Conjuntos Definiión: El onjunto universl o onjunto universo U, es el que ontiene todos los elementos de un situión determind. Definiión: El omplemento del onjunto A on respeto l onjunto universl U es el onjunto de todos A xu / x A, el los elementos de U que no están en A y se denot omo A`, entones omplemento de un onjunto se puede tmién denotr omo A. rd: rdinlidd, ntidd de elementos de un onjunto finito. Definiión: Un onjunto vío es quel que NO tiene elementos. Éste se denot por { } ó. (ó: impli que sólo se puede usr un de ls dos notiones, NO se pueden ominr) Definiión: Sen A y B dos onjuntos ritrrios, entones l unión de A y B son todos los elementos de A B A B xu / x A x B A y todos los elementos de B; se denot por, ie : onjunión, impli unión ó Definiión: l ineuión linel o de primer grdo on un inógnit, es quell que se pueden esriir de l form x 0 x 0 x 0 x 0, donde, y y 0.

7 ó Definiión: es quell que está formd, simultánemente, por dos desigulddes. 7 ó á Definiión: l ineuión udráti o de grdo dos, es quell ineuión que se puede expresr de l form x x 0 x x 0 x x 0 x x 0, donde, y y 0 Proedimiento pr resolver Ineuiones udrátis ftorizles Pr resolver un desiguldd de grdo dos, se ftoriz el polinomio x x, un vez ftorizd l expresión, se tienen ls siguientes situiones, donde ( x r1 )( x r ) son sus ftores. Si l desiguldd es del tipo myor que o myor o igul que, mos ftores deen ser positivos o mos ftores deen ser negtivos, pr que l multiplir de un ntidd positiv, y que y tmién (ley de signos pr l multipliión) ie ( x r )( x r ) 0 si [( x r ) 0 ( x r ) 0] [( x r ) 0 ( x r ) 0] Si l desiguldd es del tipo menor que o menor o igul que, los dos ftores deen ser de signo ontrrio, ie uno negtivo y otro positivo Eso es por que l ley de signos pr l multipliión die que y, entones Si ( x r1 )( x r ) 0 tenemos que [( x r1 ) 0 ( x r ) 0] [( x r1 ) 0 ( x r ) 0] Pr ms situiones l soluión será l unión del resultdo de los dos sos. Cundo el polinomio de l euión udráti no es ftorizle Anlizmos el signo on diferentes vlores positivos y negtivos, por ejemplo^ 1) x x 1 0 S ) x x 1 0 S Cudro de vriión Pr resolver ineuiones de segundo grdo, se puede utilizr el udro de vriión, este udro permite de mner onjunt, nlizr d uno de los sos pr resolver este tipo de ineuiones. Reordemos que l ide de nlizr por sos un ineuión de segundo grdo, es ser el signo que poseen d uno de los ftores, pr sí determinr l soluión de l ineuión originl. El udro de vriión nliz el signo de d uno de los ftores que form el polinomio de l euión en todo, pr poder determinr donde l euión umple ser myor o menor que ero, sí omo myor igul o menor igul que ero. Pr onstruir l tl de vriión primero deemos ftorizr el polinomio, luego lulmos los eros de d ftor y finlmente onstruimos l tl de l siguiente mner ftores (x-r 1 ) (x-r ) (x-r 1 ) (x-r ) - r 1 r + eros nliz el signo de d ftor nliz el signo de produto Se usn los eros y se esrie los infinitos y que l ide, omo se meniono nteriormente, es oservr en d intervlo definido por éstos, el signo orrespondiente l produto formdo por los ftores del polinomio que form l ineuión que se dese resolver.

8 8 Pr resolver este tipo de ineuiones se proede Aislmos el ero (igulmos l ineuión ero) Ftorizmos el polinomio que form l ineuión. Utilizmos el udro de vriión pr determinr el onjunto soluión. Este tipo de ineuiones son los que poseen inógnits tnto en el numerdor omo en el denomindor de ls friones que ls formn, pr resolver este tipo de ineuiones se sigue el siguiente proedimiento. Se igul l ineuión ero. Se resuelven ls operiones resultntes del pso nterior, pr onvertirl en un sol frión Se ftoriz los numerdores y denomindores resultntes del pso número dos (si es posile). Se determinn ls restriiones de d ftor, que form el denomindor. Se simplifin los ftores omunes entre el numerdor y el denomindor de l frión que form l ineuión. NO se puede psr el denomindor l otro ldo de l ineuión, y que no semos el signo que este posee. Se utiliz el udro de vriión pr determinr el onjunto soluión de l ineuión, tomndo en uent ls restriiones del denomindor, y que ésts en el udro de vriión llevrn dole rr. ó Definiión: son quells en ls que ls inógnits se enuentrn dentro de un vlor soluto. Pr resolver este tipo de ineuiones se utiliz el siguiente teorem. El vlor de un número orresponde l distni del ero ese número. Si pensr en un prtiión de en tres onjuntos de l siguiente mner:, entones podemos - 0,,,, [, ] -, son los únios números reles que umplen on l ondiión de tener vlor soluto igul, es deir que están un distni del ero igul Los números reles entre son los que tienen l propiedd de estr un distni del ero menor que, por lo tnto su vlor soluto es menor que Los números reles menores que y los myores que están un distni del ero myor que, por lo tnto su vlor soluto es myor que Teorem: Si x y 0 x, entones x si y sólo si si y sólo si x x x Es deir x k x k x k x k (1) Proedimiento pr resolver ineuiones on vlor soluto Despejmos ls expresiones que posen vlores solutos, es deir, dejmos de uno de los ldos del signo de desiguldd solmente el vlor soluto que posee l inógnit. Utilizmos l propiedd (1) o el teorem nterior. Resolvemos ls ineuiones resultntes.

9 9 Not: Cundo l ineuión es del tipo x k o x k, se utiliz l interseión de onjuntos pr soir ls soluiones de ls ineuiones resultntes y dr el onjunto soluión de l ineuión originl, de lo ontrrio, si son del tipo x k o x k se utiliz l unión de onjuntos. Tem : Geometrí Clsifiión de Triángulos Según l medid de sus ldos Según l medid de sus ángulos Según l medid de sus ángulos ddos sus ldos Equilátero Esleno Isóseles Autángulo Retángulo Otusángulo Equiángulo Si, son los ldos de un triángulo, on es el ldo de myor medid, entones se umple que ABC es otusángulo ABC es utángulo ABC es retángulo Fórmul de Herón Definiión: Sen,, los ldos del ABC, el áre del triángulo est dd por A ABC S( S )( S )( S ), on S el semiperímetro (mitd del perímetro) del ABC Teorem de semejnz Se ABC un triángulo retángulo, entones l ltur sore l hipotenus divide éste en dos triángulos, d uno de ellos semejntes l ABC, sí omo los triángulos formdos por l ltur sore l hipotenus de un triángulo retángulo, son semejntes entre sí A B D C ABC ABC ABD ADB BDC BCD Teorem de l ltur Sen,, los ldos de un triángulo retángulo, tl que es l hipotenus. Si h es l ltur sore l hipotenus, m y n los segmentos en los h divide l hipotenus h m n Es deir, l ltur orrespondiente l hipotenus es medio proporionl 1 entre los dos segmentos que ést determin sore l hipotenus. 1 Si en un proporión los medios o los extremos son igules, entones éstos reien el nomre de medio proporionl.

10 10 Teorem de los tetos Sen,, los ldos de un triángulo retángulo, tl que es l hipotenus. Si h es l ltur sore l hipotenus, m es l proyeión del teto y n es l proyeión del teto, entones se umple que m n Es deir, los tetos son medio proporionles entre l hipotenus y l proyeión del teto sore ell. Teorem de Pitágors Sen,, los ldos de un triángulo retángulo, tl que es l hipotenus, entones se umple que, tmién se umple que y Derivdo del teorem de Pitágors. Si, y son los ldos de un triángulo, donde es el ldo de myor medid, entones Si, el triángulo es retángulo Si otusángulo, el triángulo es Si utángulo, el triángulo es Triángulo retángulo isóseles Se ABC retángulo isóseles, on l l medid de sus tetos, entones l hipotenus tiene longitud l m m 45º Triángulo semiequilátero Se ABC semiequilátero, on l l medid de su hipotenus, entones sus tetos tiene l l l longitud y 3 3 l l 30º l l 60º l Rets Notles Altur Es l ret que ontiene un vértie del triángulo e interse perpendiulrmente l ldo opuesto. El punto de interseión o onurreni de ls tres lturs se llm ortoentro El ortoentro puede estr en el interior o en el exterior del triángulo, sí omo, puede oinidir on uno de los vérties. Esto depende del tipo de triángulo. Medin Es el segmento de ret que une un vértie del triángulo on el punto medio del ldo opuesto. El punto de interseión o onurreni de ls tres medins se denomin rientro El rientro siempre se enuentr en el interior del triángulo y es el entro de grvedd de éste.

11 11 En todo triángulo, ls medins se ortn en dos segmentos, tles que el myor es el dole que el menor, es deir L distni del rientro l vértie es dos terios de l MEDIANA y l distni del rientro l ldo es un terio de l MEDIANA. Bisetriz L isetriz del ángulo es el segmento de ret que ise (divide en dos ángulos ongruentes) uno de los ángulos internos del triángulo, y lleg hst el ldo opuesto. El punto de interseión o onurreni de ls tres isetries se denomin inentro. El inentro es el entro de l irunfereni insrit l triángulo. L isetriz de un ángulo equidist de sus ldos. BD : isetriz del XZ ZY ABC Meditriz Es l ret perpendiulr uno de los ldos del triángulo en su punto medio. El punto de interseión o onurreni de ls tres meditries se llm irunentro. El irunentro puede estr en el interior o en el exterior del triángulo, o ien, sore uno de los ldos de éste, dependiendo del tipo de triángulo. El irunentro es el entro de l irunfereni irunsrit l triángulo. Crterístis del Triángulo Equilátero 1. En todo triángulo equilátero ls utro rets notles oiniden entones, el punto de interseión es l vez ortoentro, rientro, inentro y irunentro.. De uerdo on los dtos de l figur Cirunentro djunt si ABC es equilátero on l l medid de sus ldos, l longitud de l potem y r l medid del rdio, entones se umple que B A r D l C l L ltur AD mide 3 mad r ; r l 3 AD l l l r l l 3 Áre = l 3 4 Crterístis del Triángulo isóseles 1. En todo triángulo isóseles ls utro rets notles desde el vértie sore el ldo desigul oiniden. Por lo tnto, si el ABC es isóseles tl que AB AC, entones AM es ltur, medin, meditriz y isetriz. Al trzr l ltur sore el ldo desigul determin dos triángulos ongruentes.

12 1 Tem 3: Trigonometrí ó : el seno de un ángulo es l rzón entre el teto opuesto diho ángulo y el vlor de l hipotenus, se denot omo sen ó : el oseno de un ángulo es l rzón entre el teto dyente diho ángulo y el vlor de l hipotenus, se denot omo os ó : l tngente de un ángulo es l rzón entre el teto opuesto diho ángulo y el teto dyente l mismo ángulo, se denot omo tn ó : l otngente de un ángulo es l rzón entre el teto dyente diho ángulo y el teto opuesto del mismo ángulo, se denot omo ot. ó : l sente de un ángulo es l rzón entre l hipotenus del triángulo y el teto dyente del ángulo, se denot omo se

13 ó : l osente de un ángulo es l rzón entre l hipotenus del triángulo y el teto opuesto del ángulo, se denot omo s 13 í L rzón otngente es el reíproo de l rzón tngente y vievers. L rzón sente es el reíproo de l rzón oseno y vievers. L rzón osente es el reíproo de l rzón seno y vievers. ( es el omplemento de o vievers, entones 90º 90º ) A B C sen( ) os( ) os( ) sen( ) tn( ) ot( ) ot( ) tn( ) se( ) s( ) s( ) se( ) á é Triángulo Retángulos isóseles Triángulo semiequilátero 1 l = 1 l = 1 é Á º º º é Hst el momento sólo hemos determindo el vlor de ls rzones trigonométris prtir de l uiión de los ángulos gudos en el triángulo retángulo o el vlor de éstos, pero tmién se puede determinr l medid de los ángulos prtir de l medid de los ldos, pr esto se utilizn ls rzones inverss de ls seis rzones trigonométris estudids. Rzón Notión Rzón Invers Notión seno sen ro seno 1 sen o rsen oseno os ro oseno 1 os o ros tngente tn ro tngente 1 tn o rtn

14 Not: en trigonometrí l simologí de elevr l menos uno NO indi l propiedd de ls potenis, sino l notión de ls rzones inverss, por lo ul en este so sen demás rzones. ( x), sí pr tods ls sen( x) Definiión: Si l líne de visiilidd está por enim de l horizontl, el ángulo se denomin ángulo de elevión. ó Definiión: Si l líne de visiilidd está por dejo de l horizontl, el ángulo se denomin ángulo de depresión. ó Definiión: Sen,,, respetivmente los ldos de un triángulo oliuo, on A, B, C sus vérties, entones se umple que A B C A B C sen( A) sen( B) sen( C) reípromente sen( A) sen( B) sen( C) Definiión: Sen,,, respetivmente los ldos de un triángulo oliuo, on A, B, C sus vérties, entones se umple que A B C A B C A os( ) B os( ) C os( ) Á á Definiión: Sen,, los ldos de un triángulo un triángulo on vérties A, B, C respetivmente, entones se umple que el áre del triángulo es

15 A C B A ABC sen( A) sen( B) sen( C) 15 Geometrí nlíti Teorem: Sen (x 1, y 1 ) y (x, y ) dos pres ordendos, que perteneen l plno rtesino y l mism ret, entones y y1 m. Además, omo el riterio de l funión linel es de l form y mx, x x 1 entones = y 1 - mx 1, donde x 1 y 1 son los vlores de ls oordends de un punto ulquier que pertenez l ret. Un ret prlel l eje y, no tiene pendiente. (Está ret no es funión) L pendiente de un ret prlel l eje x, es ero. (Está ret es un funión onstnte) Definiión: Ls gráfis de dos funiones lineles representn rets prlels, si y sólo si, sus pendientes son igules. Definiión: Dos funiones lineles tienen gráfis perpendiulres si el produto de sus pendientes d mm 1 1, es deir, son pendientes reípromente opuests. menos uno Definiión: L distni d(p, Q), entre dos puntos ulesquier P(x 1,y 1 ) y Q(x,y ) en un sistem de oordends retngulres es d( P, Q) ( x x ) ( y y ) m1 m Definiión: Se l ret l : x y 0 y el punto, P x y, entones 0 0 d( P, l) x y 0 0 Definiión: El punto medio del segmento de ret de P(x 1, y 1 ) Q(x,y ) es el pr ordendo x x, y y 1 1 Definiión: L euión de un irunfereni de entro O(, ) y rdio r, es (x - ) + (y - ) = r, on P(x,y) un punto ulquier de l irunfereni.

16 Posiión de un punto respeto un Cirunfereni Considere l ( Or, ) y un punto P(x, y) ulquier, entones si se umple que: 16 (x -) + (y - ) = r, P es un punto que pertenee l irunfereni. (x - ) + (y - ) > r, P es un punto exterior l irunfereni. (x - ) + (y - ) < r, P es un punto interior l irunfereni. Posiión de un ret on respeto un Cirunfereni Considere l ret y = mx + y l irunfereni de entro O(, ) y rdio r, entones, si l sustituir el riterio de l ret en l euión de l irunfereni (x - ) + (y - ) = r, se umple que: el Δ = 0, l ret es tngente l irunfereni. el Δ > 0, l ret es sente l irunfereni. el Δ < 0, l ret es exterior l irunfereni. Trslión de un Cirunfereni Considere l irunfereni de entro O(, ) y rdio r de euión (x - ) + (y - ) = r, y el vetor v ( m, n), si se dese trsldr el entro (, ) l direión de v, se dee nlizr el signo de m y n, los ules indirán l tryetori seguir. Por otro ldo, si lo que se us es trsldr el punto (, ) l punto (, d), entones l euión de l irunfereni será (x - ) + (y - d) = r

17 17 Definiión: Se f :, un funión udráti entones f(x)= (x-h) + k on 0 es l notión nóni o norml de l funión udráti donde h y k son ls oordends del vértie de l práol, es deir V ( h, k), donde h y k 4

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