Polinomios de Taylor

Transcripción

1 Poliomios de Tylor Itroducció Los poliomios so de ls ucioes más bues que hemos usdo lo lrgo de uestros cursos de álisis. Este cliictivo reside e el hecho de que so ucioes cotius co iiits derivds cotius; hst e lo reerete lo umérico so ucioes simples, y que pr obteer justmete ls imágees sólo se debe relizr sums y multipliccioes. L ide quí será proimr diverss ucioes por poliomios, es decir por ucioes más secills. Si querer, hemos hecho esto cudo lielizbmos. E ucioes reles vlores reles, lielizr equivlí ecotrr u ució liel que teí ls crcterístics de coicidir co l ució origil y su derivd e u puto. Es decir dd ) y podímos obteer su lielizció e siempre que uese derivble e dicho puto, y demás L ) ) ) ). L ució que vemos hí o es otr cos que u poliomio. Es más, tmbié e est sigtur, hemos buscdo poliomios de proimció ucioes de dos vribles tmbié ue l lielizr. E eecto, decímos que si teímos u ució z, y ) dierecible e u puto,b) podímos obteer u lielizció, l cul veí dd por L, y ),b ),b ) ),b ) y b ). Notemos que tmbié e este cso se h geerdo u poliomio. y Vemos u ejemplo.. Si teemos l ució ) e, sbemos que e tto l ució como tods sus derivds vle. El poliomio de primer grdo g ) que o es otr cos que l lielizció de e ) tiee l crcterístic de que tto g como g coicide co y su derivd primer e respectivmete. Ahor si queremos obteer u poliomio que proime mejor dich ució, podrímos pesr e u poliomio de segudo grdo que coicid, demás co l derivd segud de. Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. de 8

2 Geométricmete podrímos eplicr esto pesdo e obteer u poliomio que pose l mism cocvidd de. E deiitiv, co estos dtos, obteemos el poliomio h ) Jugdo de l mism mer podrímos obteer u poliomio de grdo, de grdo 4 y sí. Lo que hremos e ests clses es justmete buscr ese tipo de poliomios. Desrrollo: Se u ució co derivds e. Se p ). Queremos que: p y p ' ' Etoces o qued otr que: y '. Ahor busquemos p ). A ls codicioes pedids e. le gregmos que p '' ''. Etoces: p ) p ' ) ' ' p '' '' '' ''. Ampliemos l búsqued u poliomio 5 4 p 5 ) 5 4, de orm que tto como sus derivds hst el orde 5 e coicid p 5 y sus derivds. Luego: Por lo visto e. teemos que, ' y ''. Además: ) ) ) p5... )! 4 ) 4 ) 4 ) p ) 5 ) 5 ) p Así, geerlizdo 4 ) 4! 5 ) 5! Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. de 8

3 Si es u ució que tiee derivds hst el orde e el puto, siedo, buscremos u poliomio que coicid co y sus derivds e. Etoces se debe cumplir ls siguietes codicioes, sber: p ), p' ) ' ), p ) ),..., p ) ) Θ Ejemplo: Esydo co u poliomio p ).., y operdo co él usdo ls codicioes Θ pr poder hllr los coeicietes de p, procediedo de orm álog los putos teriores, otmos que! ), co lo que Observcioes! ) - pr,,.., - El grdo del poliomio será lo sumo será ectmete si ) Hll u poliomio que coicid co ) e y sus derivds hst el orde 5 e Imitdo el desrrollo terior, l ide será obteer u poliomio 5 4 p ). Es decir que uestr tre se boc 5 4 hllr los coeicietes i. Notemos que 5 ) ) ' )... ) e 5 ) Co lo que '... Luego los coeicietes será!! ) Por lo que el poliomio quedrá de l siguiete orm: 5 p ) 5! 4! !!. L curv idetiicd como T5 es l que correspode l poliomio del ejemplo. Ls otrs so de poliomios de igules crcterístics, pero de grdo, y 4. Observemos que myor grdo, mejor l proimció Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. de 8

4 Teorem Se u ució co derivds de orde e. Eiste u úico poliomio p ) meor o igul que stisce l codicioes: p ), p' ) ', p )... de grdo Dicho poliomio tiee por coeicietes:! ) ),..., p,,..., ) ) Es decir, el poliomio será de l siguiete orm: p )! ) ) Geerlizdo ú más podemos demostrr que si u ució tiee derivds de orde e, eiste u úico poliomio de grdo meor o igul que coicide co y sus primers derivds e. El mismo viee ddo por l órmul: p ) ) )! ) Ο) Deiició Se u ució co derivds de orde e. Llmmos Poliomio de Tylor de grdo geerdo por l ució e, y se simboliz T,, ), : T,, ) )! ) ) Observció: Notr que l órmul ) correspode u poliomio de Tylor de grdo geerdo por l ució e. Otrs otcioes: T Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. 4 de 8

5 . Como Alguos ejemplos Obteg el poliomio de Tylor de grdo de l ució ) ) ' )... ) e ) e e teemos que ) ) ' )... ) e por lo que T ) ),, e!.. Obteg el poliomio de Tylor de grdo de l ució ) se ) e. Vemos primero que sucede co ls derivds sucesivs de est ució Notemos que se empiez repetir cíclicmete. De está mer, evludo ests derivds e tedremos: Observr que de est mer e el poliomio los térmios de epoete pr se ul, y que los coeicietes so. E deiitiv vemos que los coeicietes de los térmios de epoete impr se lter e sigo y tiee l siguiete orm: ) )! Co lo que 5 7 ) T ) )...! 5! 7! )! Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. 5 de 8

6 Cálculo co Poliomios de Tylor Muchs veces el cálculo de ls derivds de u ució puede resultr u tto tedioso. Ls propieddes que euciremos cotiució os permite obteer Poliomios de Tylor de cierts ucioes prtir de otros poliomios de Tylor. Propieddes Se ls costtes. α, β R y ls ucioes y g co derivds hst el orde e. Lielidd: T α βg ) αt ) βt g ) b. Derivció: [ T )' ] T ' ) c. Itegrció: [ T ] t )dt T t )dt ) i. [ T ] )d T [ )d] K, R d. Sustitució: Si g ) α ). Etoces T ) T c ) g,,,c, Más ejemplos ) Obteg el poliomio de Tylor de grdo de ) seh ) e e e Sbemos por u ldo que seh ). Por otro, es muy secillo obteer el poliomio de Tylor de grdo de l ució g ) e e. Co lo que plicdo ls propieddes de sustitució y lielidd podremos hllr el poliomio pedido. T e )...!! ) Si sustituimos por e ), tedremos T e ) )...!! Luego, por l propiedd de lielidd teemos que T seh )) T e ) T e )) Observemos que l relizr est sum los térmios de epoete impr se ccel, queddo siempre el poliomio de grdo pr. Luego: ) T m seh )) 4 4! m... m )! m )! Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. 6 de 8

7 ) Obteg el poliomio de Tylor de grdo de ) cos ) e d Debido que se )) cos ), usdo l propiedd de derivció, podemos d obteer el poliomio derivdo el poliomio de Tylor de l ució se) hlldo teriormete. T ) )! 5 5! 4 7 7! 6 ) )... )! 4 4! 6 6! )... )! ) Obteg el poliomio de Tylor de grdo de ) e Primero, obtegmos ls derivds de e Co lo que cd coeiciete será: Por lo que el poliomio de Tylor de quedrá de l siguiete orm: T )... 4) A prtir de lo obteido e ), obteg el poliomio de Tylor de grdo de ) l ) e Lo que se os pide lo logrremos itegrdo el poliomio hlldo e ), y que ' ). Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. 7 de 8

8 Así, etoces, os quedrá: T l ))... Errores Segú estuvimos observdo, myor grdo del poliomio de Tylor precier ser mejor l proimció. Supogmos que queremos estimr el úmero e y pr ello utilizmos el poliomio de Tylor geerdo por l ució ) e e, es decir: T, )...! Pr ello tedremos que tomr, vlor que está reltivmete lejos de. Por lo que buscremos los vlores de ). Veremos como usdo sucesivos poliomios de T, Tylor mejorremos l proimció: e T, ) e T, ). 5 e T, ) e T4, ) Como se puede precir, medid que umetmos el grdo del poliomio se v obteiedo más cirs ects. Lo itereste es que podemos obteer u orm de medir el error cometido. Algus de ells se preset e el siguiete teorem. Teorem! Si es veces derivble e u etoro de, etoces, ) c ) Fórmul de Lgrge) R ) ) co c etre y )! Pro. Npolito-Poliomios de Tylor Aálisis Mtemático II º Sem. Pág. 8 de 8