VECTORES. A cada clase de vectores equipolentes se denomina vector libre.!

Transcripción

1 VECTORES Vectres libres tridimensinales Definicines Sean A y B ds punts del espaci de la gemetría elemental. Se llama vectr AB al par A, B. El punt A se denmina rigen y al punt B extrem. rdenad ( ) Se define BA cm el puest de AB Si se cnsidera un segment unidad u, la lngitud del segment AB cn u cm unidad de denmina módul del vectr AB y se designa pr AB. Se define dirección de un vectr AB cm la de la recta que l cntiene. Se define sentid de un vectr cm cada una de las ds rientacines puestas de una misma dirección Se dice que ds vectres AB y CD sn equiplentes si tienen igual módul, dirección y sentid, gráficamente, serán equiplentes aquells vectres que unids sus rígenes y sus extrems frmen un paralelgram. A cada clase de vectres equiplentes se denmina vectr libre. a = AB Se denmina a al vectr representad pr BA, llamándle puest del a. Operacines cn vectres Suma Suma de vectres Prduct de vectres pr escalares Es una peración interna del cnjunt de ls vectres, es decir, la suma de vectres da cm resultad tr vectr. Gráficamente se puede hacer de ds frmas, pr la regla de paralelgram ó dibujand un vectr a cntinuación del tr y uniend el rigen del primer cn el extrem del últim. La resta de vectres se hace cm la suma del puest: a b = a + b ( ) La suma de vectres tiene las siguientes prpiedades: 1. Cnmutativa: a + b = b + a 2. Asciativa: ( a + b) + c = a + ( b + c). Element neutr, () 0 : a + 0 = a : a + ( a) = 0 4. Element puest, ( a )

2 Estas prpiedades dan al cnjunt de ls vectres libres del espaci, cn la peración de suma, la estructura de grup cnmutativ. Prduct de un númer real pr un vectr Sea un númer real y a un vectr libre representad pr AB, se define el prduct a cm tr vectr cn igual dirección que a, igual sentid que el de a sí > 0, sentid puest sí < 0 y de módul prprcinal al módul de a. a = AB = AC Sí = 0 ó a = 0, pr definición a = 0 De l anterir se deduce: ( 1) a = a Prpiedades de la multiplicación de vectres pr escalares: i. ( + µ ) a = a + µ a ii. ( a + b) = a + b iii. ( µ a) = ( µ ) a iv. 1 a = a A Ls cnjunts que verifican una ley de cmpsición interna (suma) y una ley de cmpsición externa (prduct pr escalares), cn sus respectivas prpiedades, se ls denmina espacis vectriales, y a sus elements, vectres. Dependencia e independencia lineal en V Sea u 1, u 2,..., u n un subcnjunt de vectres de V que designarems pr S. Se dice que S = { u 1, u 2,..., u n } es un sistema linealmente dependiente ó sistema ligad sí existen n númers reales, a 1, a 2,..., a n n tds nuls, tales que: a u + a u a u n n = Sí la igualdad anterir se cumple slamente cuand a 1 = a 2 =... = a n = 0 entnces se dice que el sistema S es linealmente dependiente ó sistema libre. Cualquier vectr libre de la frma: v = α1u1 + α 2u α n u n se dice que es cmbinación lineal de u 1, u 2,..., u n, cn ceficientes respectivs α 1, α 2,..., α n Terema En td cnjunt de vectres linealmente dependiente, se puede expresar un de sus vectres cm cmbinación lineal del rest, siempre y cuand el vectr en cuestión n tenga ceficiente nul. En V el máxim númer de vectres linealmente independientes que puede existir es tres, entre más de tres vectres siempre habrá dependencia lineal. Tres vectres pueden n ser linealmente independientes. En V si ds vectres sn linealmente dependientes (prprcinales) serán paralels, pr l tant, si ds vectres tienen distinta dirección serán linealmente independientes. Si en un cnjunt de n vectres existe prprcinalidad entre ds de ells, el cnjunt es ligad.

3 Si en un cnjunt de vectres se encuentra el vectr nul 0, el cnjunt es ligad. Bases. Base de un espaci vectrial es una familia de vectres libres en función de ls cuales se pueden expresar tds ls demás vectres cm cmbinación lineal de ells. Las cndicines que debe reunir un subcnjunt B de vectres de V, para ser una base de V sn: i) Debe ser un sistema generadr de V ii) Ls vectres que l frman deben ser linealmente independientes. Las base se pueden clasificar en función del ángul entre ls vectres y del módul de ests. Tip de base Ángul Módul LIBRE Sin restricción Sin restricción NORMALIZADA Sin restricción 1 ORTOGONAL 90º Sin restricción ORTONORMAL 90º 1 La base rtnrmal también recibe el nmbre de base canónica ó base métrica. i = 1,0,0 j = 0,1,0 k = 0,0,1. En V esta frmada pr ls vectres ( ), ( ), ( ) En un espaci vectrial, tdas las bases están frmadas pr el mism númer de element. Se define cm dimensión de un espaci vectrial cm al númer de elements que tiene una cualquiera de sus bases. Entre ls pares de punts del espaci y ls vectres de V existe una crrespndencia que tiene las siguientes prpiedades: i. A td par (A, B) de punts le crrespnde un únic vectr v V tal que v = AB. ii. AB = BA para td par (A, B) de punts iii. Sí A, B y C sn tres punts: AB + BC = AC iv. Sea v V, a cada punt A le crrespnde un únic punt B tal que v = AB. Al espaci de punts relacinad de esta frma cn V se llama espaci afín tridimensinal asciad a V. Sistema de referencia afín Se denmina sistema de referencia afín a un cnjunt frmad pr un punt y una base de vectres. Si O es un punt del espaci tridimensinal y u " 1, u 2 y u una base de V, el sistema { O, u 1, u 2, u } es un sistema de referencia afín cartesian. Las rectas OX, OY, OZ que cntienen a ls vectres u " 1, u 2 y u respectivamente, sn ls ejes crdenads del sistema afín y O es el rigen de crdenadas. Cualquier punt P de un espaci en el que hay definid un sistema de referencia afín, genera l que se denmina el vectr de psición del punt, que n es tra csa que el segment que une el punt cn el rigen de crdenadas. El punt P genera el vectr de psición p = OP

4 Las crdenadas de un punt P en el espaci es una terna de númers reales α 1, α 2, α que expresan el vectr de psición p cm una cmbinación lineal de ls vectres que frman la base. p = α1u1 + α 2u 2 + α u La terna (α 1, α 2, α ) se llama crdenadas cartesiana de P, y se representa cm P(α 1, α 2, α ). Las crdenadas cartesianas de un punt cinciden cn las cmpnentes de su vectr de psición, y sl se diferencian en la ntación: Punt: P(α 1, α 2, α ) p α, α α Vectr de psición: ( ) Sistema de referencia rtnrmal { O, i, j, k} 1 2, Cuand en un sistema de referencia afín ls vectres de la base sn rtgnales ds a ds y unitaris, es decir, de módul unidad, el sistema se llama rtnrmal El sistema rtnrmal se representa pr { O, i, j, k}, dnde i, j, k, sn ls vectres de la base siend las crdenadas de P la terna ( x, y, z ) psición de P. p = x i + y j + z k Crdenadas del vectr definid pr ds punts, que cinciden cn la cmpnentes del vectr de Sean A(a 1, a 2, a ) y B(b 1, b 2, b ) ds punts referids a un sistema rtnrmal { O, i, j, k} vectr AB definid entre ests punts se btendrá restand al vectr de psición del punt final () b vectr de psición del punt inicial () a. AB = b a. El el AB = b a = Razón simple de tres punts en el espaci ( b, b, b ) ( a, a, a ) = ( b a, b a, b ) a En el espaci, al igual que en el plan, se puede determinar una relación entre tres punts alineads, a partir de ls segments que determinan ls punts. Sean tres punts alineads A, M y B

5 Ls vectres AB y AM tienen igual dirección y sentid, diferenciándse únicamente en su módul, pr l que existirá un númer real,, que verifique la igualdad: AB = AM Al valr, se le denmina razón simple. Cass particulares: Si = 2, M es el punt medi del segment. = Si = determinan ls punts que dividen al segment en tres partes iguales. 2 Apyándns en el valr de la razón simple, se pdría calcular las crdenadas de ls punts intermedis cncidas las de ls extrems. AB = AM ( b1 a1, b 2 a 2, b a ) = ( m1 a1, m 2 a 2, m a ) ( 1 ) a 1 + b1 m1 = b1 a1 = ( m1 a1) ( 1 ) a 2 + b 2 b 2 a 2 = ( m 2 a 2 ): DESPEJANDO m 2 = ( ) b a = m a ( 1 ) a + b m = Cm ejercici te dej que calcules las crdenadas de ls punts a ls que se refieren ls cass particulares cn las raznes prpuestas.