1).- Para > 0, B= {x R L : p. x I} = {x R L

Transcripción

1 Pontfca Unversdad Católca del Perú Programa de Maestría en Economía Curso: Mcroeconomía Intermeda Profesores: Clauda Barrga & José Gallardo Asstente: César Gl Malca Propedades de las funcones de demanda Walrasana, utldad ndrecta y gasto I. Funcón de demanda Walrasana 1 : 1).- La X d d X ( P es homogénea de grado o en P y en I. 2).- La X d d X ( P cumple con la ley de Walras: p.x=i para todo x d X ( P, I ). 3).- La X d d X ( P s la preferenca es convexa, entonces u (.) es cuasconcava, d entonces, X ( P, I) es un conjunto convexo. Además, s las preferencas son d estrctamente cuasconcava, entonces X ( P, I) consta de un solo elemento. Demostracón: 1).- Para > 0, B= {x R L : p. x I} = {x R L : p. x I}; esto quere decr que el conjunto de cestas de consumo factble (que es convexa) en el problema de maxmzacón no camba cuando todos los precos y el Ingreso son multplcados por una constante > 0. Note que esta propedad no requere de algún supuesto sobre la utldad. Intutvamente, consderando la restrccón presupuestal lneal que tene como puntos de nterseccón en los ejes a I, los cambos en precos e ngreso en la msma P proporcón no produce cambo alguno en la poscón de la restrccón presupuestal lneal y por lo tanto no produce cambos en la canasta óptma. 2).- La Ley de Walras se satsface del supuesto de no sacedad local, esto es, s p. x < I para algún x x (p, ahí e > 0 y y x (p, tal que, y x e, entonces s x se elge contradce el óptmo del problema de maxmzacón de la utldad, es decr, la cesta óptma del problema de maxmzacón se va obtener en el punto donde se ntersecte la pendente de la funcón de utldad con la recta presupuestara dada por p.x=i, que cumple con la ley de Walras. 1 Ver: Chapter 3, Andreu Mas colell, Mchael Whnston y Jerry Green (1995), Mcroeconomcs Theory Oxford Unversty Press.

2 3).- Suponemos que (.) es cuasconcava y exsten 2 cestas x y x (x x ) las cuales son elementos x (p. Para establecer el resultado, nosotros demostraremos que x = x + (1- ) x pertenece a x (p para algún [0, 1]. Para empezar, sabemos que (x) = (x ) y la gualamos a * y dado que (.) es cuasconcava tenemos por defncón: ( x + (1 - ) x ) (x) + (1 - ) (x ) ( x + (1 - ) x ) * + (1 - ) * = * (X ) * Además, sabemos que p x I y px I, tenemos: px I y (1 - ) px (1 - ) I sumando tenemos: p ( x + (1 - ) x ) I p.x I Por lo tanto x está en el conjunto factble convexo (arrba defndo como B= {x R L : p. x I}). Por lo tanto, s (x ) * y x es factble tenemos que x x (p, w). Cuando (.) es estrctamente cuasconcava, sgue el msmo argumento pero usando el concepto estrctamente cuasconcava. II. Funcón de Utldad Indrecta 2 : 1).- La V ( P es homogénea de grado 0 en P y I. 2).- la V ( P es una funcón crecente en I y no crecente en P 3).- La V ( P es cuasconvexa. 4).- La V ( P es contnua en I y en P. Demostracón: 1).- S los precos y el ngreso se multplca ambos por un 0, el conjunto de cestas de consumo factble (que es convexa) en el problema de maxmzacón no camba por la propedad de homogenedad de grado 0 en P y en I de la demanda walrasana. Entonces dado que las cestas óptmas no camban, cuando varían precos e ngreso, al reemplazar esas en la funcón de utldad me da la funcón de utldad ndrecta que no sufre nngún cambo, así tenemos: V( P, I) V( P para cualquer. 2 Ver: captulo 7, Hal R. Varan, Análss mcroeconómco, tercera edcón.

3 2).- Sea B= {x: px I} y B = {x: p.x I} sendo p p. En ese caso, B B. Por lo tanto el máxmo de u(x) en B es, al menos tan elevado como u(x) en B, es decr, un aumento de los precos reduce la utldad del ndvduo evaluada monetaramente. El argumento es smlar para el caso del I. Intutvamente un ncremento en el ngreso aumenta la utldad del ndvduo evaluada monetaramente. 3).- Supongamos que p y p son tales que V ( P k, V ( P k. Sea p = p+ (1- ) p. Se quere demostrar que V ( P k defnmos los conjuntos presupuestaros: B= {x: px I} B = {x: p x I} B = {x: p x I} Se demostrara que cualquer x pertenecente a B debe pertenecer a B o a B, es decr, B B U B, Supongamos que no es así, en ese caso, x es tal que xp + (1- ) p x I, pero px > I y p x > I s multplcamos a ambos lados por y por (1- ) tenemos: px > I y (1- ) p x > (1- ) I, sumando tenemos: px + (1- ) p x > I, lo que contradce el supuesto ncal. Podemos ver: V ( P = máx. u(x) sujeta a x pertenece a B máx. u(x) sujeta a x pertenece a B U B k ya que V ( P k, V ( P k 4).- Para la contnudad es sufcente probar: para una secuenca {{p n, I n }} n 1 con (p n, I n ) (p para algún u, s V (p n, I n ) u para todo n, entonces V (p u; s V (p n, I n ) u para todo n, entonces V (p u. Suponemos V (p n, I n ) u para todo n, entonces por monotonocdad de e (.) en u 3, nosotros tenemos I n e (p n para todo n. Por la contnudad de e (.), I e (p, podemos decr que V (p u. El msmo argumento se usa para V (p n, I n ) u para toda n. 3 Por monotonocdad se sabe que I > I. Defnmos u = V(p,u) y u = V(p,u ), entonces e(p=i y e (p, u )=I, por la monotonocdad de e (.) y I > I, nosotros tenemos u > u, eso es, V (p, w ) > V (p, w). Tambén, se puede asumr que P P. Defnmos u = V (p y u = V (p, entonces e (p = e (p, u )= I. Por la monotonocdad de e (.) y P P, se tene u u, eso es, V (p V (p.

4 III. Funcón de gasto 4 : 1).- La e( P es homogénea de grado 1 en P. 2).- La e( P es una funcón crecente en P y en la u. 3).- La e( P es cóncava en P. 4).- La e( P es contnua en P. Demostracón: 1).- Dado que las cestas óptmas no camban en el problema de mnmzacón del gasto cuando a los precos se les multplca por un escalar > 0, es decr: mn. ( p). x y mn. p. x dan las msmas cestas óptmas, tenemos: e ( p, ) = p. X* = e (p, ). Es decr, el aumento en en los precos causa un aumento en la msma proporcón en el gasto. 2).- Suponendo que e (p, ) no fuera estrctamente crecente en y tenemos x y x las cestas de consumo óptmo para los nveles de utldad y respectvamente, donde > y p.x p.x > 0, construmos una cesta X = z, donde (0,1). Por contnudad de (.), entonces allí cercano a 1 tal que (x) > y p.x > p. x (esta vez es una relacón estrcta), pero esto se contradce con el óptmo x del problema de mnmzacón del gasto dada. Intutvamente, s el consumdor quere dsponer de mayor utldad necesaramente ncurrrá en un mayor gasto. Para demostrar que e (p, ) es crecente en p, suponemos que los vectores de precos p y p tenen p p y pk = pk para todo k. S tenemos que x es un vector óptmo en el problema de mnmzacón de gasto para el p. Entonces e (p, ) = p. X p. X e (p, ), donde la últma desgualdad se da de la defncón del e (p, ). 3).- Fjamos un nvel de utldad, y tenemos p = p + (1- ) p para un [0, 1]. Suponemos que x es una cesta óptma en el problema de mnmzacón del gasto cuando los precos son p. entonces tenemos: e (p, ) = p. X = px + (1 - ) p. X e (p, ) + (1 - ) e (p, ), Donde la últma desgualdad se da a causa (x ) y la defncón de la funcón de gasto mplca que p.x e (p. ) y p. X e (p, ). 4 Ver: Chapter 3, Andreu Mas colell, Mchael Whnston y Jerry Green (1995), Mcroeconomcs Theory Oxford Unversty Press.

5 Intutvamente, la concavdad de la funcón de gasto respecto al preco de un ben se da por que una varacón del preco de un ben, mantenendo todo lo demás constante, producrá una varacón en menos proporcón del gasto dado la posbldad de susttucón del ben. 4).- Para la contnudad es sufcente probar: para una secuenca {{p n, u n }} n 1 con (p n, u n ) (p para algún I, s e (p n, u n ) I para todo n, entonces e (p I; s e (p n, u n ) I para todo n, entonces e (p I. Suponemos e (p n, u n ) I para todo n, entonces por monotonocdad de V (.) en I ( menconada en la pe de págna 3), nosotros tenemos u n V (p n para todo n. Por la contnudad de V (.), u V (p. Por la monotonocdad de V (.) en I, nosotros tenemos e (p argumento se usa para e (p n, u n ) I. I. El msmo.