CAPITULO 8 MUESTRAS ALEATORIAS Y NUMEROS ALEATORIOS

Transcripción

1 Teoría elemental de muestreo CAPITULO 8 TEORIA DE MUESTREO La teoría de muestreo es el estudio de las relaciones existentes entre una población y las muestras extraídas de ella. Es de gran utilidad en muchos campos; por ejemplo, para estimar características desconocidas de poblaciones (como la media y la varianza poblacionales), denominadas parámetros de la población o simplemente parámetros, a partir del conocimiento de las características muéstrales correspondientes (como la media y la varianza muéstrales), nombradas estadísticos de la muestra o, en forma sencilla, estadísticos. Los problemas de estimación se estudian en el capítulo 9. La teoría de muestreo también sirve para determinar si las diferencias observadas entre dos muestras se deben a variaciones por el azar o si en realidad son significativas. Dichas cuestiones surgen, por ejemplo, al probar un nuevo suero para el tratamiento de una enfermedad o al decidir si un proceso de producción es mejor que otro. Sus respuestas involucran el uso de las denominadas pruebas de significancia y de hipótesis, que son importantes en la teoría de decisiones, la cual se estudia en el capítulo 10. El estudio de las inferencias hechas respecto de una población, al estudiar muestras obtenidas a partir de ella, aunado a las indicaciones de la precisión de dichas inferencias con el uso de la teoría de probabilidad, se llama estadística inferencial. MUESTRAS ALEATORIAS Y NUMEROS ALEATORIOS Para que las conclusiones de la teoría de muestreo y la estadística inferencial sean válidas, se deben elegir muestras representativas de la población. El estudio de los métodos de muestreo y de los problemas relacionados se denomina diseño del experimento. Una forma de obtener una muestra representativa es por medio del proceso denominado muestreo aleatorio, en el cual cada miembro de una población tiene las mismas probabilidades de ser incluido en la muestra. Una técnica de obtención de una muestra aleatona es la asignación de números a cada miembro de la población, anotar estos números en de papel, colocarlos en una urna y después sacar números de dicha urna, tenieado < de mezclarlos muy bien antes de cada extracción. Un método alternativo es d i tabla de números aleatorios (véase el apéndice IX) especialmente elaborados propósito (véase el problema 8.6).

2 2-r..2 Teoría elemental de muestreo MUESTREO CON Y SIN REEMPLAZAMIENTO Si se saca un número de una urna, existe la opción de reponer o no el número en la urna antes de la segunda extracción. En el primer caso, el número puede salir una y otra vez, mientras que en el segundo caso esto pasaría una vez. El muestreo en que cada miembro de la población sería elegido más de una vez se denomina muestreo con re emplazamiento, mientras que si cada miembro no puede ser elegido más de una vez, se denomina muestreo sin reemplazamiento. Las poblaciones son finitas o infinitas. Si, por ejemplo, se extraen 10 bolas sucesivamente sin reemplazamiento de una urna con 100 bolas, se hace un muestreo de una población finita, mientras que si se lanza una moneda 50 veces y se cuenta el número de caras, el muestreo es de una población infinita. Una población finita en la que se realiza un muestreo con reemplazamiento puede considerarse, teóricamente, infinita, ya que es posible extraer cualquier número de muestras sin agotar la población. Para muchos propósitos prácticos, efectuar el muestreo de una población finita muy grande llega a tomarse como muestreo de una población infinita. DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Considérense todas las muestras posibles de tamaño N que pueden obtenerse de una población dada (con o sin reemplazamiento). En cada muestra se suele calcular un estadístico (como la media o la desviación estándar), que varía de una muestra a otra. De esta forma se obtiene una distribución del estadístico denominada distribución muestral. Si, por ejemplo, el estadístico utilizado es la media muestral, entonces la distribución se llama distribución del muestreo de medias o distribución muestral de la media. De forma similar, se pueden tener distribuciones muéstrales de las desviaciones estándar, las varianzas. las medianas, las proporciones, etcétera. Para cada distribución muestral se pueden calcular la media, la desviación estándar, etcétera; es decir, es posible hablar de la media y la desviación estándar de la distribución muestral de las medias, etcétera. DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS Supóngase que se obtienen todas las muestras posibles sin reemplazamiento, de tamaño N, de una población finita de tamaño N p > N. Si se simbolizan la media y la desviación estándar de la distribución muestral de medias por y cr x, y la media y desviación estándar de la población por A y cr, respectivamente, entonces Si la población es infinita o el muestreo se hace con reemplazamiento, el resultado anterior se reduce a M = V Y x = -7= (2) Para valores grandes de N (N > 30), la distribución muestral de medias es en forma aproximada una distribución normal, con media p x y desviación estándar a, independientemente de la población (siempre y cuando la media y la varianza de la población sean finitas y el tamaño de la población sea al menos el doble que el de la muestra). Este resulta-

3 Distribución muestrai de diferencias y sumas 185 do para una población infinita es un caso especial del teorema del límite central de la teoría avanzada de probabilidad, el cual demuestra que la precisión de la aproximación se incrementa conforme N se hace más grande. En ocasiones esto se indica diciendo que la distribución muestrai es asintóticamente normal. En caso de que la población esté normalmente distribuida, la distribución muestrai de medias también lo está, aun con valores pequeños de N (es decir, /V < 30). DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES Supóngase que una población es infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un evento (llamado su éxito) es p, mientras que la probabilidad de la no ocurrencia del evento es q = 1 - p. Por ejemplo, la población pueden ser todos los lanzamientos posibles de una moneda, donde la probabilidad del evento "caras" es p = \. Considérense todas las muestras posibles, de tamaño A', obtenidas en esta población y determínese para cada muestra la proporción P de éxito. En el caso de la moneda, P sería la proporción de caras en./v lanzamientos. Así, se obtiene una distribución muestrai de proporciones cuya media p. P y desviación estándar o> están dadas por fpq jp{\ -p) r?s l*p=p y ^ = V ^ = V If ( ) que suele obtenerse de las ecuaciones (2), haciendo fi = p y a- ^fpq. Para valores grandes dtn{n> 30), la distribución muestrai se aproxima mucho a la distribución normal. Nótese que la población está binomialmente distribuida. Las ecuaciones (5) también son válidas para una población finita, donde el muestreo se hace con reemplazamiento. Para poblaciones finitas donde el muestreo se realiza sin reemplazamiento, las ecuaciones (5) se sustituyen por las ecuaciones (/), con (i = p y a= ^/pq. Obsérvese que las ecuaciones (3) se obtienen más fácilmente al dividir la media y la desviación estándar (Np y \/Ñpq), de la distribución binomial, entre N (véase el capítulo 7). DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIAS Y SUMAS Supónganse dos poblaciones. Para cada muestra de tamaño /V obtenidas de la primera población, se calcula el estadístico S ; esto produce una distribución muestrai del estadístico 5 cuyas media y desviación estándar se denotan por /x SÍ y a s, respectivamente. De forma similar, para cada muestra de tamaño N 2, obtenida de la segunda población, se calcula el estadístico S 2, lo cual produce una distribución muestrai para el estadístico S 2, cuyas media y desviación estándar se denotan por p. n y a S2. De todas las posibles combinaciones de estas muestras para las dos poblaciones, se puede obtener una distribución de las diferencias, S - S 2, denominada distribución muestrai de las diferencias de los estadísticos. La media y la desviación estándar de esta distribución muestrai, denotadas respectivamente por -52 y ~si -S2< están dadas por MÍI-si = fj-sí - fe y O-SÍ-S2= Vo-, + o- 2^ suponiendo que las muestras elegidas no dependen, de ninguna manera, un decir, las muestras son independientes). Si 5, y S 2 son las medias muéstrales de las dos poblaciones, ciñas Tifcw se Aaa porx, y X 2, respectivamente, entonces la distribución muestrai de hsááacaam x rwemm

4 CAPÍTULO 8 Teoria elemental de muestreo para poblaciones infinitas con medias y desviaciones estándar (ju,,, cr ) y (fj^, a 2 ), respectivamente, está dada por M\-xi = M\ - Px2 = Mi - M2 y?x\-xí = \J a \\ + a x2 = Jj + N ( 5 ) usando las ecuaciones (2). El resultado también es válido para poblaciones finitas si el muestreo se realiza con reemplazamiento. Se pueden obtener resultados similares para poblaciones finitas en las cuales el muestreo se efectúa sin reemplazamiento, usando las ecuaciones (7). Se pueden obtener los resultados correspondientes para las distribuciones muéstrales de las diferencias de proporciones, a partir de dos poblaciones binomialmente distribuidas con parámetros (p,, q ) y (p 2, q 2 ), respectivamente. En este caso, S ] y S 2 corresponden a la proporción de éxitos, P y P 2, y las ecuaciones (4) producen los resultados = PP\ - PP2 =P\-P2 y o-pi-n = \/ PÍ+ F2 = ( 6 1 Tabla 8-1 Error estándar para distribuciones muéstrales Distribución muestral Error estándar Observaciones especiales Medias Es válido para muestras grandes 0 pequeñas. La distribución muestral de medias es aproximadamente normal para N> 30, inclusive cuando la población no es normal. f x ~ M> ' a media poblacional, para todos los casos. Proporciones a F = \ N -P) \M = VA Las observaciones hechas para las medias también se aplican aquí. fx P = p, para todos los casos. Desviación estándar (1) a s = -4= ivi /M4-M2 ( 2 ) >=v ^ Para N> 100, la distribución muestral de s es casi normal. <7j está dada por (7) sólo si la población es normal (0 aproximadamente normal). Si no es normal, se puede usar (2). Nótese que (2) se reduce a (7) cuando /x 2 = a 2 y fj. 4 = 3a 4, que es verdadero para las poblaciones normales. Para N > 100, fx s = a de forma muy cercana. Medianas HT er Para N > 30, la distribución muestral de la mediana es casi normal. El resultado es válido sólo si la población es normal (0 aproximadamente normal). Aquí también se aplican las observaciones hechas para las medianas. Primero y tercer cuartiles a Mei y M(?3 s o n c a s ' iguales al primer y tercer cuartiles de la población. Nótese que a Q2 =

5 Errores estándar 187 Tabla 8-1 Error estándar para distribuciones muéstrales (continuación) _ :r.'?ución Error muestral estándar Observaciones especiales a : l e s a o D 2 -a m = ^_ Aquí también se aplican las observaciones hechas para las medianas (7 ^ 3 - ^ 7 = ^ a MDI> MD2'-. son casi iguales al primer, segundo y tercer deciles de la población. Nótese que cr DS = CT^. Aquí también se aplican las observaciones hechas para - semiintercuartilares <JQ = (7 las medianas. x Q es casi igual al rango semiintercuartilar de la población. Vinanzas (7) <J# (2) a* = \ \ N N-3, TV Aquí también se aplican las observaciones hechas para la desviación estándar. Nótese que (2) da (1) si la población es normal. fx s 2=o 2 (N-\ )/A, que es casi igual a a 2 para N grandes. Aquí v = cr/fi es el coeficiente de variación de la pobla- Coeñcientes de varianza a v =, vi + 21? ción. El resultado es válido para poblaciones normales (o v aproximadamente normales) y para A > 100. Si A', y N 2 son grandes (A',, N 2 > 30), las distribuciones muéstrales de las diferencias de medias o proporciones se distribuyen casi normalmente. En ocasiones es útil hablar de la distribución muestral de la suma de estadísticos. La media y la desviación estándar de esta distribución están dadas por MS1+S2 = ASI + AS2 Y &S\+S2 = \/ si + S2 suponiendo que las muestras son independientes. ERRORES ESTANDAR La desviación estándar de una distribución muestral de un estadístico se estándar. La tabla 8-1 muestra los errores estándar de las distribuciones diversos estadísticos, bajo las condiciones de muestreo aleatorio de (o muy grande) o de muestreo con reemplazamiento de una población presentan observaciones especiales que indican las condici dos son válidos y otras aclaraciones, pertinentes. Las cantidades p, cr, p, p r y X, s, P, m T denotan, respectrvameme- fas viaciones estándar, las proporciones poblacionales y muéstrales y los con respecto a la media. Es notorio que si el tamaño N de la muestra es lo ciones muéstrales son normales o casi normales. Por esto, los ftnrins se

6 1-.-". í Teoría elemental de muestreo métodos de muestreo grande. Cuando N < 30, las muestras se denominan pequeñas. La teoría de las muestras pequeñas o teoría exacta de muestreo, como se le llama a veces, se trata en el capítulo 11. Cuando se desconocen los parámetros de población, tales como a, p o p. r, pueden ser estimados con precisión por medio de sus estadísticos muéstrales correspondientes tales como s(oí= \/N/(N-\)s), Py m r, si las muestras son lo suficientemente grandes.