PROBLEMAS CÁLCULO INTEGRAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES

Transcripción

1 Licnciatura n Administración y Dircción d Emprsas (LADE) Facultad d Cincias Jurídicas y ocials (FCJ) Univrsidad Ry Juan Carlos (URJC) PROBLEMA CÁLCULO INTEGRAL Y ECUACIONE DIFERENCIALE Matmáticas Primr Curso

2 I. CALCULO DE PRIMITIVA. Calcular, como inmdiatas, las intgrals qu s indican.. ( + ). d ( + 6) d 5. / d. + arctg + 5ln + 5 d 8. d. d. cos. sn d. 6. d cotg d. d d. arctg ( + ) a b d d d d 5. + d ln d 8. tg d a + b d. d + 5. d. d. d sn 5. d 6. d 7. d cos ln cos 8. d 9. + sn d. + d + 5. ( + tg ) d. cos d. sn( ) d d 5. + d + sn 6. + sn( ) + cos d cos d

3 . Calcular por parts las siguints intgrals:. ln d. arctg d. m ln d m >. sn d 5. sn d 6. d 7. ln arcsn d 8. d 9. + d. ( + ) d. ln ( + ) d. Calcular las primitivas d las funcions racionals qu s indican.. 5 d. ( ) + d. d + +. d d d d 8. + d 9. + d.. + d. d. ( )( + ) ( )( ) d. + + d 5. ( )( + ) d d 6. d d 8. d. Mdiant cambio d variabl, calcular las primitivas siguints. +. d. + d. +. d 5. d 6( + ) 7. d 8. d d. d + d 6. ( ) d d

4 5. Rsolvr las intgrals qu s indican. ln(ln ). d. d ln. + + d a +. d 5. ( + ) a d 6. ( ) d 7. d 8. a + d 9. ( ) ( ) d. d. + d. a + d + ln. ln d. + d 5. ln d 6. d 7. d d 9. d. d ln d d. d d 8. d 9. + a. d a + 6. d d ( ) 7. d 8. d. + ( + ) d. + L + L d ln ln d 9. ( ) d d + d d d

5 II. INTEGRALE DEFINIDA PROPIA 6. Comprobar los rsultados siguints d = 6. d = a R { }. ( ) d = 8. a a + π 8a d = 6 si < 7. a la función f ( ) = si < si Calcular f ( ) d intrprtar gráficamnt l rsultado. 8. Calcular d ( - ) d y rprsntar gráficamnt. 9. Utilizando la intgral dfinida calcular las áras qu s indican. a. Ara comprndida ntr las línas y = y y = b. Ara limitada por las línas y = y y = + c. Ara limitada por las línas + y =, + y =, y =, y =. d. Ara dl polígono d vértics A(,); B(,); C(,); D(,).. Hallar l valor mdio d las funcions siguints : f ( ) = cos, π a. [ ] si > b. f ( ) = si = si <. Rsolvr las siguints intgrals:. d. + ln( + ) d. d 5 7. d 5. n [-,] y n [-,].. + ln( ) d d 6 + d d 5

6 III. INTEGRALE IMPROPIA. Calcular las siguints intgrals ulrianas.. d. d. d 5. d + 7. d 8... d. d ( )( ). π k. d h 6. d ln d k 9. ( ) d π d. cos sn d d ( ) π 5 5. cos sn 6. sn cos d 7. sn d 8. cos 5 d 9. - d. π d. π 5 d d. Calcular las áras qu s indican.. Ara comprndida ntr la lína y = y l j d abcisas. +. Ara comprndida ntr la lína y = y los js d coordnadas dl primr cuadrant.. Ara comprndida ntr la lína y =, la rcta = y l j d abcisas.. Ara ncrrada ntr las curvas y = y y =. Rsolvr las siguints intgrals:. d. t t dt 5.. ln d. ( ) d d 6. d ( ) 6

7 IV. INTEGRALE DOBLE 5. Calcular: sindo ( ). ( + y) d dy. {,, } = y y d dy sindo = (, y), y + y { }. y d dy sindo l triángulo formado por los js d abcisas y ordnadas y la rcta qu los corta n los puntos (,) y (,).. y d dy sindo l triángulo formado por l j d 5. ordnadas, la rcta y =, y la rcta a la qu prtncn los puntos (,) y (,). + y d dy sindo l cuadrado d vértics: (,); (,); 6. ( y) d dy (,) y (,). sindo ( ) {,,,, } = y y y 7. d dy sindo l triángulo d vértics: (,); (,) y 8. (,). d dy sindo la rgión limitada por: y =, y y = + y sindo ( ) sindo ( ) 9. y d dy. d dy {,,, + } = y y y {,,, } = y y y 6. Dibujar los rcintos a los qu van tndidas las intgrals siguints:. f (, y) dy d y. f (, y) d dy y. f (, y) dy d. f (, y) dy d 7. / 7

8 8. Mdiant la intgral dobl, calcular las áras dfinidas por las siguints rgions:. R = (, y) y, y 9. /. R = {(, y) y, }. R = {(, y) y }. R = {(, y) y +, y } 5. R = {(, y) + y, + y } 8

9 V. CALCULO INTEGRAL. EJERCICIO DIVERO. El Tanto nto d invrsión d una Emprsa sigu la prsión: I(t)= t t. Calcular la Invrsión nta total n los próimos 5 años. ( ) s intgrabl n [ a b] intrvalo [ c, d] [ a, b].. i f, s sguro qu lo srá también n cualquir podría asgurar ntoncs qu f ( ) d > f ( ) d b?. a c d. Hallar l valor mdio d las funcions siguints : f ( ) = cos, π a. [ ] si > b. f ( ) = si = si < n [-,] y n [-,].. Una mprsa studia acomtr un proycto d invrsión d duración 5 años. Los ingrsos y gastos marginals n l timpo s stima srán: Img ( t ) = t t y Gmg ( t ) = t + t +. Calcul l bnficio nto acumulado n l intrvalo d timpo [,5]. Calcúls nuvamnt l bnficio nto acumulado, pro n sta ocasión considrando un factor d dscunto o actualización continuo d la forma t.. a una Emprsa cuyos costs marginals rspondn a la función : C = mg q 8q + con unos costs fijos d u.m. a. Dtrminar la función d Costs Totals. b. Import d los costs como conscuncia d incrmntar la produccion d a uds. 5. Calcular f (, y) d dy dond f (, y) = R y R = (, y) y ; y + 6. Al sr cirto qu d d >. Esto supon qu [ ] >,? 7. Obtnr l ára d la rgión plana dlimitada por las curvas: y = + y y =. a. Mdiant intgración simpl. b. Mdiant intgración dobl. 9

10 8. Razonar si s cirta o no la siguint igualdad ( ) ( ) d + d = 9. Obtnr l ára dl primr cuadrant d un círculo mdiant: a. Intgración simpl. b. Intgración dobl n coordnadas cartsianas. c. Intgración dobl n coordnadas polars.. Rprsnt las funcions f ( ) = y g( ) = y calcul, mdiant intgración simpl y mdiant intgración dobl, l ára ncrrada por llas.. Calcular f (, ) d d sindo f (, ) = y R {(, ),,, } R = y. a f una función d clas C n [a,b] y tal qu d f = + ( a) [ a, b ] d Dtrminar la función f sabindo admás qu f ( a) = y f ( a) =.. Dada la función f ( ) = L a. Obtnr la prsión d la función intgral F( t), n l intrvalo [,t ] t b. Dtrminar l ára d la rgión limitada por f ( ) y l j OX n l intrvalo [,]: * A través d la función intgral * Mdiant intgración simpl * Mdiant intgración dobl (considrando la rgión vrticalmnt y horizontalmnt simpl) c. Hallar l valor mdio (valor mdio intgral) d f ( ) n l intrvalo [,].. Calcular mdiant intgración l ára d los rcintos dlimitado por: y y y y a. = + y b. = y c. = y y + y y

11 5. Calcular f ( ) d, sabindo qu f ( ) d = f ( ) d = y f ( ) d =. 6. Comprobar qu ( )( + ) d = π 7. Comprobar qu d = ( ) Calcular las siguints intgrals: d a. ( ) b b. d, sindo a+ 9. Calcular l ara dl rcinto a R y a d = a b 9 y ddy = 7 a dond a s una constant positiva qu vrifica : ( ). Calcular la siguint intgral D y ddy + y + y sindo l dominio d intgración D = y + y d = 6. an los siguints rcintos: y y = y = Es cirto qu para toda función f (, y) dfinida n s vrifica qu : f (, y) ddy = f (, y) ddy? En caso afirmativo razonar la rspusta y n caso ngativo ponr un contrajmplo.

12 y. Calcular ddy, sindo R la rgión dl plano XY dfinida como sigu: R y + R = y. Calcular l ara d la rgión R dl plano XY: y + y + R = y a. Mdiant Intgración simpl. b. Mdiant Intgración dobl. (, ) = +, cuya bas s la rgión siguint dl plano XY: R = y 5. La variación dl los Ingrsos y Gastos d una Emprsa a lo largo dl timpo, mdido st n años, vin dada por: di ( t) = t, t dt dg( t) = t, t dt. Calcular l volumn dl sólido limitado por la suprfici f y y ( ) pid: a. Bnficio obtnido n l trcr año b. Función qu mid l bnficio acumulado a lo largo dl timpo, si los ingrsos n l momnto d abrir la mprsa son d u.m. y los gastos d u.m. c. Intrprtación dl valor mdio intgral a los dos años d actividad. d. Momnto dl timpo n qu los bnficios ya no son suficints para compnsar las pérdidas.. Momnto dl timpo n qu la Emprsa acumula mayors bnficios, y su import.

13 VI. ECUACIONE DIFERENCIALE ORDINARIA 6. Rsolvr las siguints cuacions difrncials d variabls sparabls: a. y = y b. y = y ln, s. a y() = c. y = y d. ( + ) y = ( + ) y ln y, s. a. y() = y. y y = 7. Rsolvr las siguints cuacions difrncials linals: a. y y =, s. a. y() = b. y y = c. y + y = + d. y = y +, s. a. y() =. y = y + 8. Rsolvr las siguints cuacions difrncials: y+ y a. y =, sujta a y( ) = b. 6 y = y + c. ( y ) = y, n l punto (, y ) = (, ) d. y = y. y y =, sujta a y( ) = + f. y + ( ) = g. y = L + y h. ( ) y = y + ( ), sujta a y( ) =, sujta a y() = 9. La población d un pais X t ( ) varía n l timpo (t= años) d acurdo con la conocida curva logística, d forma qu la tasa instantana d variación s igual a :

14 k X ( t) k X ( t) Dtrminar: a. Trayctoria tmporal d la población X ( t) y su tndncia. b. Timpo qu db transcurrir para qu la población s incrmnt n un 5 % Datos: X ( t = ) = 5 millons, k =, y k =,. 5. D un cirto producto las vntas acumuladas n l sctor han alcanzado hasta la fcha ( t = ) la cantidad d. uds. El sctor stá lidrado por una mprsa qu tin asgurada prmanntmnt la vnta d toda su producción, ntrtanto no cda las ncsidads dl mrcado.en rlación con stas, su dpartamnto d Markting prvé qu las vntas acumuladas n l sctor varin a un ritmo instantano dado por la prsión:, 5t 5 El Dpartamnto d producción s sta mprsa informa qu s posibl aumntar la fabricación dl producto a una tasa instantána proporcional a la producción total alcanzada n la actualidad, si bin st ritmo s vrá disminuido,dbido a razons tcnológicas, n l 5 % d la producción total qu s vaya consiguindo. i la producción total alcanzada n la actualidad s lva a 8 uds. y s,75 la constant d proporcionalidad mncionada, dtrminar: a. Momnto dl timpo n qu la mprsa monopolizaría l mrcado d s producto. b. tock d producto gnrado n l trcr año por la mprsa. c. Tndcia dl tock. 5. La tasa d variación d la ofrta y d la dmanda rspcto al prcio d un dtrminado bin son constants iguals a y -, rspctivamnt. supon qu l prcio varia n l timpo proporcionalmnt al cso d la dmanda sobr la ofrta, sindo l coficint d proporcionalidad:,. uponindo qu actualmnt (t=) l prcio s d 6 ptas. y la ofrta y la dmanda coincidn n 8 unidads, dmostrar qu tanto l prcio como la dmanda y la ofrta no variarán a lo largo dl timpo. 5. a P( t) una función tmporal qu dtrmina l prcio n l mrcado d sgunda mano d cirta maquinaria.en l momnto d su adquisición ( t = ) n l mrcado d primra mano l prcio d dicha maquinaria ascind a millons d ptas. sab qu la tasa instantana d variación dl prcio s proporcional a la difrncia ntr l prcio n cada momnto t,y l valor rsidual qu s d millons d ptas., sindo la constant d proporcionalidad k =,. uponindo qu l timpo s mid n años, pid: a. Dtrminar cuanto timpo ha d transcurrir para qu l prcio inicial s rduzca a la mitad. b. Rprsntar gráficamnt la trayctoria tmporal dl prcio.

15 5. Una Emprsa, qu comrcializa l producto A, rcintmnt ha fctuado una gran campaña publicitaria para promocionar st artículo. a V ( t) la variabl, función dl timpo, qu prsa l ritmo d vntas. Ants d la campaña l ritmo d vntas ra V a =. uds/dia. Al final d la campaña ( t = ), V ( t) alcanza su valor máimo, situandos n 5. ptas/dia. A partir d s momnto s obsrva qu V ( t) disminuy, d forma qu su variación instanána s proporcional al cso d V ( t) sobr V a, sindo k =, la constant d proporcionalidad. a. Dtrminar cuantos dias han d transcurrir, dsd l final d la campaña, para qu l ritmo d vntas V ( t), sa d. uds/dia. b. Hallar la tndncia d V ( t). 5

16 TABLA DE PRIMITIVA. f ( ) f ( ) d = n n+ f ( ) + C n + ( n ). f ( ) f ( ) d = L f ( ) + C f ( ). f a f ( ) d a ( ) = + C La. f f ( ) d = f ( ) ( ) + C 5. f ( ) sn f ( ) d = cos f ( ) + C 6. f ( ) cos f ( ) d = sn f ( ) + C f ( ) 7. ( ) cos f ( ) d = f ( ) + tg f ( ) d = tg f ( ) + C 8. f ( ) sn f ( ) d = cotg f ( ) + C 9. f ( ) f ( ) d = arcsn f ( ) + C. f ( ) + f ( ) d = arctg f ( ) + C. f ( ) + f ( ) d = arch f ( ) + C = L f ( ) + f ( ) + + C. f f ( ) ( ) d = arcch f ( ) + C = L f ( ) + f ( ) + C. f ( ) f ( ) + d = arcth f ( ) + C = L f ( ) f ( ) + C 6