Control Automático. Regulador PID y ajuste del PID. Eduardo Interiano

Transcripción

1 Control Automático Regulador PID y ajuste del PID Eduardo Interiano

2 Contenido Regulador PID PID ideal PID real Ajuste empírico del PID (Ziegler-Nichol Ejemplos Ejercicios Referencias 2

3 El PID ideal El regulador PID en el dominio del tiempo t u( t) = K e t K e d K d dt e t P ( ) + I ( τ ) τ + D ( ) 0 Transformando al dominio S (ideal) K I K PID ( = K P + + s K Factorizando la ganancia K P (estándar) K PID 1 ( = K P (1 + + s Td ) T s i D s e(t) E(S) K P KI s K s D

4 Circuito con regulador PID K PID ( K PID 1 ( = K P (1 + + s Td T s i ) 4

5 El PID real Debido a que el regulador PID (PD) ideal es impropio, tiene más ceros que polos, presenta problemas para la simulación y para la realización. La solución: agregar un polo parásito con una constante de tiempo muy pequeña y ganancia estática unitaria. (Factor 100) El PID real está constituido entonces por dos polos y dos ceros, de forma similar a un compensador de adelanto y un compensador de atraso con el polo en el origen 5

6 Los casos del regulador PID 6

7 Ejemplo 1: Especificaciones Sea el sistema con función de transferencia de lazo abierto 10 G( = ( s + 1)( s + 3) dadas las especificaciones t 5% 1.1 s M P 5 % e SS = 0 realizar la síntesis del compensador PID real usando un compensador de adelanto (PD) y un compensador de atraso PI en serie. 7

8 Ejemplo 1: PD o compensador de adelanto Transformamos las condiciones a: ζ 0.69 ζω n 2.76 γ = G(s 1 ) = , por lo que el ángulo faltante es φ = γ = Calculamos un compensador de adelanto, o PD, por el método de la bisectriz con el punto s 1 = ± j3 K PD ( s ( = 1.52 ( s ) 5.97) 8

9 Ejemplo 1: PI o compensador de atraso Ubicamos cero del compensador de atraso con el polo en el origen (PI) en s = -0.95, un poco a la derecha del polo en s = -1 ( s ) K PI ( = s El compensador PID real queda entonces ( s ) ( s ) K PID ( = 1.52 ( s ) s 9

10 Ejemplo 1: Lugar de las raíces 10

11 Ejemplo 1: Respuesta de lazo cerrado ante escalón ( s ) ( s ) K PID ( = 1.52 ( s ) s 11

12 Ejemplo 1: Análisis El sistema original tenía: Tiempo de estabilización menor a 1.5 s Sobreimpulso mayor al 12% Error de estado estacionario del 23% El sistema compensado posee: Tiempo de estabilización menor a 0.8 s Sobreimpulso ligeramente mayor al 4% Cero error de estado estacionario Se cumplen las condiciones impuestas 12

13 Conclusiones PID El regulador PID puede descomponerse en partes para su aplicación de acuerdo a las necesidades. Por limitaciones técnicas los reguladores PD y PID no pueden ser implementados sin un polo parásito; por lo que se pueden asimilar a otros tipos de compensadores existentes. El regulador PID puede usarse como si fuera un compensador de adelanto en cascada con un compensador de atraso con el polo en el origen. Los resultados obtenidos del regulador PID real son los mismos que pueden obtenerse con un compensador de adelanto-atraso con un error de estado estacionario cero; o mejorado en el caso de entradas del orden superior del tiempo. 13

14 Sintonía de reguladores PID por Ziegler-Nichols Condición: La planta es lo suficientemente estable como para experimentar con ella Tipos de plantas adecuadas: Caso 1: La respuesta, de lazo abierto, al escalón tiene forma de S. (La planta, de segundo orden al menos o primer orden con tiempo muerto, no tiene integradores ni polos dominantes complejos conjugado Caso 2: Plantas con integradores, respuesta de lazo cerrado. 14

15 Caso 1: Respuesta al escalón de lazo abierto y(t) G( = K ( T * s + 1) e Ls La tangente al punto de inflexión determina dos puntos: a) El tiempo muerto, L b) b) La constante de tiempo más el tiempo muerto (T+L) Tenemos además la ganancia estática K, con entrada escalón de amplitud A y lim y(t) - y(0) t K = = 15 u A

16 Caso 1: Respuesta al escalón de lazo abierto: otro método Aσ ( t ti ) T (t) G( = Los parámetros: τ = s t K e d ( τ s + 1) 2 ( t63% t39% ) T i K t d limt ( t) T t = A = i t63% ( t + τ ) i t i 16

17 Caso 1: Tablas de ajuste Z-N K PID 1 ( = K P (1 + + s Td T s i ) Tipo de controlador K P T i T d P 1 T 0 K L PI 0.9 T L/0.3 0 K L PID 1.2 T 2L 0.5L K L 17

18 Caso 1: PID El PID ajustado por el primer método da: K PID ( = 0.6T 1 s + L s 2 Consiste de un polo en el origen y dos ceros en -1/L 18

19 Caso 2: Respuesta de lazo cerrado Se ponen T i en infinito y T d en cero, se ajusta K P desde 0 hasta que haya oscilación sostenida con la ganancia K CR Se determina el periodo T CR de la oscilación (si no hay oscilación, el método no se puede aplicar) 19

20 Caso 2: Oscilación sostenida La oscilación obtenida con la ganancia K cr 20

21 Caso 2: Tablas de ajuste Z-N K PID 1 ( = K P (1 + + s Td T s i ) Tipo de controlador K p T i T d P 0.5K cr 0 PI 0.45K cr T cr /1.2 0 PID 0.6K cr 0.5T cr 0.125T cr 21

22 Caso 2: PID El PID ajustado por el segundo método da: K PID ( = 0.075K CR T CR s + 4 T s CR 2 Consiste de un polo en el origen y dos ceros en -4/Tcr 23

23 Ejercicio Utilice el método de Ziegler-Nichols para compensar el sistema con variantes del PID G( = ( s 4 + 2) e 0.1s Investigue sobre variaciones al PID original. 24

24 Ejemplo 2: Experimento K= Step Response 0.7 Amplitude G( = 0.8 (0.9s + 1) e 0.1s T= Time (sec) 25

25 Ejemplo 2: Resultado Z-N 1.4 Step Response Amplitude PID( = 10.8(1 + 1/( PID( = / s T ( = s ( / s G( ( / s G( Time (sec) 26

26 El PI_D La parte derivativa solo trabaja en la realimentación PI( = 10.8(1 + 1/(0.2) D( = 0.54s T ( = 1+ ( / G( ( / s G( 27

27 Ejemplo 2: Resultado PI_D PI( = / s D( = 0.54s T ( = 1+ ( / G( ( / s G( 28

28 El I_PD Las partes proporcional y derivativa solo trabajan en la realimentación I( = 10.8/ 0.2s PD( = 10.8(1 + T ( = ( 54 / G( ( / s G( 29

29 Ejemplo 2: Resultado I_PD I( = 54 / s PD( = 0.54( s + 20) T ( = 1+ ( 54 / G( ( / s G( 30

30 Ejemplo 2: Resultado REI Is( = / s PDs( = s T ( = 1+ ( / G( ( / s G( 31

31 Referencias Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid. Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automático, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México. dex.php?title=pid_control 32