Aplicaciones de la DERIVADA

Transcripción

1 Teorema (criterio de la segunda derivada para extremos relativos) Sea c un número crítico de una función f en el que f ( c ) = 0, suponiendo que existe f (x) para todos los valores de x en un intervalo abierto que contiene a c, entonces: Si f (c ) < 0 f tiene un valor máximo relativo en c Si f (c ) > 0 f tiene un valor mínimo relativo en c Ejemplo: 5) Sea f(x) = x 4 + 4/3 x 3 4x. Determine los extremos relativos de f(x) aplicando el criterio de la segunda derivada. Utilice esta información para realizar la gráfica de f. Copyright 015 1

2 Ejemplo 5 (cont.) f (x) = 4 x x 8 x f (x)=0 satisface que 4 x ( x + )( x 1 ) = 0 para x = - x = 0 x = 1 f (x) = 1 x + 8 x 8 f (-) = 4 > 0 f (0) = - 8 < 0 f (1) = 1 > 0 Copyright 015

3 Ejemplo 5 (cont.) Aplicaciones de la DERIVADA f(x) f (x) f (x) Conclusión x = - -3/3 0 + f tiene un valor mínimo relativo en (-,-3/3) x = f tiene un valor máximo relativo en (0,0) x = 1-5/3 0 + f tiene un valor mínimo relativo en (1,-5/3) Copyright 015 3

4 Máximo y mínimo absoluto La función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo si existe algún número c en el intervalo tal que f(c) f(x) para toda x en el intervalo. El número f(c) es el valor máximo absoluto de f en el intervalo. La función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo si existe algún número c en el intervalo tal que f(c) f(x) para toda x en el intervalo. El número f(c) es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo. Ejemplo 6: Consideremos la función definida por f(x) = x para x ( 3,]. Analizamos por el criterio de la derivada segunda. Copyright 015 4

5 Ejemplo 6 (cont.) Aplicaciones de la DERIVADA En el intervalo ( 3, ] la gráfica de f tiene un máximo absoluto en el número crítico c=0 o punto crítico P=(0,f(0)) Pues f (x)= x x=0 f (x)= x ( 3, ] No existe un valor mínimo absoluto de f en (-3,] debido a que lím x 3 f(x) = 9 pues f(x) siempre es mayor que 9=f( 3) en el intervalo dado. + Copyright 015 5

6 Teorema del valor extremo Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en [a,b]. Concavidad y puntos de inflexión Definición: Si f es derivable en el abierto (a,b), entonces f es cóncava hacia arriba si f es creciente (f >0) en el intervalo. f es cóncava hacia abajo, si f es decreciente (f <0) en el intervalo Copyright 015 6

7 Interpretación geométrica de la concavidad (cont.) Se dice que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba en el intervalo (a,b), si todos los puntos de la misma están por arriba de cualquier recta tangente a la curva en ese intervalo. Se dice que la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en el intervalo (a,b), si todos los puntos de la misma están por debajo de cualquier recta tangente a la curva en ese intervalo. Copyright 015 7

8 Teorema (criterios de concavidad) Sea una función cuya segunda derivada existe en un intervalo (a,b) entonces Si f (x) > 0 para todo x en (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba. Si f (x) < 0 para todo x en (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Ejemplo 7: Analice la concavidad de la función f(x)= x /. Dibuje las gráficas de f, f y f y compruebe la concavidad para f creciente/f decreciente y el signo de la derivada segunda. Copyright 015 8

9 Ejemplo 7 (cont): f(x)= x / Analíticamente f (x)=0 x=0 nro. Crítico P=(0,0) es Punto crítico Aplicaciones de la DERIVADA f (x)=1 f (x) >0 para todo valor en el intervalo de análisis En particular para x=0 f (0)=1>0, luego f es cóncava hacia arriba. Además se verifica que la función f (x) es creciente en el intervalo (por ejemplo (-,) o en el (-1,1)). Copyright 015 9

10 Definición de punto de inflexión Si la gráfica de la función continua posee recta tangente en un punto (c,f(c)) en donde la concavidad cambia de sentido, llamamos a ese punto un punto de inflexión. Teorema (condición necesaria) Si f es una función derivable en un intervalo abierto al cual pertenece c, entonces (c, f( c )) es un punto de inflexión de la gráfica de f si f (c) = 0 o f (c) no está definida. Observación: Si c es abscisa de pto. de inflexión verifica que f (c ) 0 o un orden superior impar de derivación. Copyright

11 Ejemplo 8: f(x) = x 3 3 3x Analíticamente f (x)=0 x -1=0 puntos Críticos P1=(-1,0) y P=(1,0) f (x)=3x x=0 posible pto. de inflexión P(0,0) En I: (-,0), resulta f (-1) <0 f es cóncava hacia abajo en I En I: (0,+ ), resulta f (1) >0 f es cóncava hacia arriba en I Además se verifica que la función f (x) decrece en el intervalo (-,0) y f (x) crece en el intervalo (0,+ ) Copyright

12 Ejemplo 9: Analice la concavidad Aplicaciones de la DERIVADA f(x) Analíticamente: Dom f=r-{-,} f (x) f (x)=0 x=0 nro. crítico f (x) = = 10x ( x 4) 10(3x + 4) ( x 4) 3 no exite x Domf / f (x)=0 Como f es discontinua en x=± y f no está definida, entonces analizamos el signo de la derivada segunda en los intervalos: I=(-,-) resulta f (-3) >0 f es cóncava hacia arriba en I I=(-,) resulta f (0) <0 f es cóncava hacia abajo en I I=(,+ ) resulta f (3) >0 f es cóncava hacia arriba en I = x x Copyright 015 1

13 Ejemplo 10: Realice un estudio completo y grafique la función 0x Desarrollo: f (x) = ; x 4 Dom f=r-{-,} Aplicaciones de la DERIVADA ( ) f (x) = 0.(3x ( x 4) 3 X-intersección: (-3,0) y (3,0) Y-intersección: (0,9/) Asíntotas verticales: x= y x=- Asíntota horizontal: y= Número crítico: x=0 P(0,9/) Punto de inflexión: no hay (f (c) 0) Analizamos los intervalos: (-,-), (-,0), (0,), (,+ ) + 4) f(x) =.(x x 9) 4 Copyright

14 Ejemplo 10: (cont) Realice un estudio completo y grafique la función Desarrollo: f (x) = Aplicaciones de la DERIVADA 0x ( x 4) Asíntota horizontal en y= f (x) = 0.(3x ( x 4) 3 + 4) f(x) =.(x f(x) f (x) f (x) Forma de la gráfica (-,-) f <0 f <0 Decrece y es cóncava hacia abajo x=- n.e.d. n.e.d. n.e.d. AV: x=- (-,0) f <0 f >0 Decrece y es cóncava hacia arriba x=0 9/ 0 f >0 Mínimo relativo en (0,9/) (0,) f >0 f >0 Crece y es cóncava hacia arriba x= n.e.d. n.e.d. n.e.d. AV: x= (,+ ) f >0 f <0 Crece y es cóncava hacia abajo x 9) 4 Copyright

15 Ejemplo 10: (cont) Grafica de la función f(x) =.(x x 9) 4 Realizar el estudio de f(x) = x + 3 x 1 Copyright