ANÁLISIS DE LA EXTENSIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
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- José Ignacio Cano Maldonado
- hace 6 años
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1 ANÁLISIS DE LA EXTENSIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Sugerenias al Profesor: Trabajar úniamente on funiones polinomiales y raionales, alarando que generalmente al bosquejar sus gráfias solo se muestra una porión de la misma, quedando en duda qué es lo que suede en los extremos de su dominio, interrogante que es resuelta al onoer la extensión de la gráfia, la ual se deduirá a través del onepto de ite. En el aso de las funiones raionales tal análisis onduirá al onepto de asíntota horizontal que han trabajado de manera intuitiva en su urso anterior, sin embargo es onveniente retomarlo y definirlo formalmente por medio de la noión de ite al infinito o a menos infinito. Apliar las reglas para el álulo algebraio del ite, de manera implíita. Propósitos: 1. Introduir el onepto de extensión de la gráfia de una funión.. Ampliar el onepto de ite al infinito a una funión de variable real.. Introduir los ites que permiten operar on menos infinito. 4. Reforzar el onepto de asíntota horizontal. EL PROBLEMA DE LA EXTENSIÓN FUNCIONAL Desribe la extensión de la gráfia de ada una de las funiones siguientes: f x = x 6x a) ( ) f x = b) ( ) Para responder, hay que examinar ómo será el omportamiento de la gráfia de ada una de las funiones en los extremos de su dominio, uando alguno de ellos o ambos son infinitos, es deir desribir el omportamiento al infinito de la gráfia. Para ada una de las funiones del problema responde: a) Qué tipo de funión es? b) Cuál es su dominio? 1-8 Unidad 1. Proesos Infinitos y la Noión de Límite
2 Tal vez surja la difiultad de que no todos los alumnos respondan orretamente las preguntas anteriores, así que será neesario que onjuntamente on ellos, se elabore un uadro sinóptio donde se lasifiquen las funiones algebraias y trasendentes estudiadas en el semestre anterior, indiando en ada aso la araterístia que las define así omo su dominio natural. Como el dominio de la funión ( ) f x x 6x = es R, que expresado omo intervalo es (, ), la extensión de su gráfia estará dada por los ites siguientes: y x 6x x 6x Puesto que ahora se trabajará on funiones de variable real, se deberá ampliar la noión de ite al infinito a este tipo de funiones omo sigue: Conepto lave: Límite al infinito de una funión de variable real. Sea f ( x ) una funión de variable real, el número L es el ite de la funión f ( x ) uando x se vuelve infinita o menos infinita que se esriben respetivamente f ( x) = L o f ( x) = L, si uando x tiende al infinito o a menos infinito, las imágenes de f ( x ) se aproximan al valor L más que a ualquier otro número. infinito. Si f ( x) = o f ( x) Si f ( x) = o f ( x) =, entones se dirá que el ite es infinito. =, entones se dirá que el ite es menos Pedir a los alumnos que determinen algebraiamente los ites anteriores. De ser neesario, aumentar a los ites al infinito que dieron lugar a reglas para operar on el infinito en la seuenia anterior, los ites orrespondientes uando n tiende a menos infinito, on el propósito de operar on menos infinito. Unidad 1. Proesos Infinitos y la Noión de Límite 1-9
3 Conepto lave: Límites que sugieren reglas para operar on menos infinito. Si es una onstante y Z, entones: 1) n = ) ( ) n ) ( ) n = =, si es par = =, si es impar 4) 1 1 = = 0 n 5) 6) [ ] = 0 n = = n n n = = 7) [ ] n = = 8) [ ] ( ) ( ) n = = = 9) [ n] ( )( ) = =, si > 0 10) [ n] ( )( ) = =, si < 0 11) ( )( ) n = =, si > 0 y es par 1) ( )( ) n = = 1) ( )( ), si > 0 y es impar n = =, si < 0 y es par n = =, si < 0 y es impar 14) ( )( ) 15) = = 0 n 16) 0 n = = 1-40 Unidad 1. Proesos Infinitos y la Noión de Límite
4 17) n = =, si > 0 18) 19) 0) 1) ) n = = n = =, si < 0 n = = n = = n = =, si > 0 y es par, si > 0 y es impar, si < 0 y es par, si < 0 y es impar Es muy probable que en su proeso lleguen a la indeterminaión, al realizar lo siguiente: ( )( ) ( )( ) ( ) x 6x = 6 = = ( )( ) ( )( ) x 6x = 6 = Sugerir una forma distinta de proeder omo estrategia para salvar tal indeterminaión, omo la siguiente: ( ) x x x x ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 6 = 6 = 6 = 6 = = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x x = x x = = = = Estos resultados definen la extensión de la gráfia de la funión f x x 6x =. Apoyarse de la gráfia que aparee en la figura 1 para desribir de manera verbal la extensión de la gráfia de la funión. Unidad 1. Proesos Infinitos y la Noión de Límite 1-41
5 Figura 1 El primer ite india que la gráfia de la funión asiende desde la izquierda, mientras que el segundo ite die que la gráfia va haia arriba y a la dereha. El dominio de la funión f ( x) = es R, en onseuenia la extensión de su gráfia estará definida por los ites: y. Pedir a los alumnos que enuentren dihos ites, de donde es muy probable que surjan las indeterminaiones y, poster riormente exponer omo estrategia el proedimiento algebraio que se utiliza para hallar el ite del oiente de dos polinomios uando la variable se hae infinita: = x x x x x 0 0 = x 1 1 = = x x x = x x x x x 0 0 = x 1 1 = x x x = 0 f Estos resultados definen la extensión de la gráfia de la funión =. Unidad 1. Proesos Infinitos y la ( x) 1-4 a Noión de Límite
6 Apoyarse de la gráfia que aparee en la figura para desribir de manera verbal la extensión de la gráfia. Figura Ambos ites indian que onforme x se vuelve menos infinita o infinita, la gráfia de la funión se aproxima indefinidamente al eje de absisas, en otras palabras la extensión de la gráfia de la funión muestra que la reta y = 0 es asíntota horizontal de la gráfia de la funión. En general, si f x L x ( ) = o ( ) f x = L, entones la reta y = L es f x. asíntota horizontal de la gráfia de la funión ( ) a) ( ) Ejeriio 1 Determina la extensión de la gráfia de ada una de las funiones siguientes e india si tiene o no tiene asíntota horizontal, en aso de tenerla esribe su euaión. Apóyate de las gráfias que apareen en las figuras y 4, para verifiar que tu respuesta es orreta. f x = x x 1, ver la figura b) f ( x) x =, ver la figura 4 1 x f x = x x 1, es muy Al estableer el ite al infinito de la funión ( ) = 1 probable que lleguen a la indeterminaión, así que sugerir omo estrategia Unidad 1. Proesos Infinitos y la Noión de Límite 1-4
7 para resolverla, que expresen la regla de orrespondenia omo el produto 1 ( x) x x. Figura Figura Unidad 1. Proesos Infinitos y la Noión de Límite
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