CONCEPTOS BASICOS DE MUESTREO VARIABLE ALEATORIA. (Concepto no matemático)

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1 CAPITULO 8 CONCEPTOS BASICOS DE MUESTREO En la aplicación de los métodos de muestreo es importante recordar los siguientes conceptos básicos: 8.1. VARIABLE ALEATORIA. (Concepto no matemático) Es aquella que por efectos del azar puede tomar cualquiera de los valores de un conjunto dado. Todas las variables incluidas en un estudio donde se haya tomado una muestra al azar, son variables aleatorias VARIABLE ALEATORIA CATEGORICA Es aquella cuyo valor resulta de evaluar una cualidad o atributo en el sujeto observado. Por ejemplo: género, calidad de la atención, nivel de complejidad, etc. 171

2 Para su medición se utilizan solamente escalas nominales y ordinales 8.3. VARIABLE ALEATORIA NUMERICA Es aquella en la cual, el proceso de medición arroja como resultado un número entero o un número que puede fraccionarse. Ejemplo: Número de Abortos, peso, talla, etc. Para su medición se utilizan escalas de intervalo o de razón ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X. Se nota por E(x) y se define como el valor medio o promedio de la función de probabilidad que genera dicha variable. Se denomina también valor esperado POBLACION OBJETIVO Es aquella sobre la cual el investigador desea sacar conclusiones. Algunos autores la denominan Universo o simplemente Población MARCO MUESTRAL Técnicamente Marco Muestral se define como lista, mapa u otra especificación de los elementos que componen la población que se toma como referencia para extraer una muestra (Diccionario de términos Estadísticos, Beta, Rosario, 1959) 172

3 Con base en los métodos de la INFERENCIA estadística, el investigador puede sacar conclusiones acerca del marco muestral, utilizando los resultados obtenidos en una muestra probabilística. Sin embargo, el buscar inferir del marco muestral hacia la población objetivo es un asunto delicado, subjetivo y controvertido siempre y cuando las poblaciones no sean idénticas. Generalmente la población objetivo difiere del marco muestral debido a los factores selectivos denominados sesgos. Un ejemplo aclara los conceptos planteados. Supóngase: Población Objetivo: Personas en edad de votar en Colombia. Marco muestral : Personas que figuren en las guías telefónicas. Las dos poblaciones son diferentes debido a factores selectivos tales como todo mundo no tiene teléfono o no figura en las guías telefónicas. Al tomar una muestra del marco muestral no es posible sacar conclusiones valederas acerca de la población objetivo debido al sesgo de selección. Si se piensa en extrapolar los hallazgos a la población objetivo es necesario emplear un juicio personal subjetivo con el agravante que la fiabilidad de dicha extrapolación no puede medirse en términos probabilísticos. Por consiguiente, es muy aventurado realizar inferencias del marco muestral a la población objetivo si éstas no son comparables por variables que puedan afectar los resultados del estudio. 173

4 8.7. DISEÑO DE UNA MUESTRA Comprende dos aspectos: El primero se refiere a la definición del tamaño de muestra, exactitud deseada (a priori) y el segundo aspecto al diseño de muestreo. (probabilístico o no probabilístico). Existen factores básicos que deben tenerse en cuenta en un diseño muestral: 1) Variabilidad natural de los fenómenos estudiados; la técnica de selección y el tamaño de muestra están condicionados por este punto. 2) Dificultad de localización de los elementos: Existen poblaciones estáticas (archivos, personal de una empresa, etc.) y poblaciones móviles (peces, transportadores, etc.) 3) Error de muestreo que indica la variación debida al azar. Valga mencionar que en muestras no probabilísticas el error de muestreo no se puede calcular y por lo tanto, no se pueden sacar inferencias; esto significa trabajar a ciegas. 4) Recursos disponibles. Condicionan el tamaño de muestra. 5) Plazo disponible para realizar el estudio. 6) Objetivos de la investigación y nivel de desagregación de los resultados. 174

5 8.8. MUESTREO PROBABILÍSTICO El muestreo probabilístico es aquel diseño en el cual cada elemento del marco muestral tiene una probabilidad diferente de cero de ser seleccionado en la muestra. Existen diferentes técnicas: Muestreo aleatorio simple (M.A.S.), sistemático de elementos (M.S.E.), estratificado (M.E.E.), por conglomerados, de áreas, etc. Existen diseños denominados MESIP (Métodos de selección con igual probabilidad) El Muestreo se puede hacer también con reemplazo cuando los elementos ya seleccionados pueden seleccionarse nuevamente o sin reemplazo cuando, una vez elegidos, no se tienen en cuenta para una nueva selección. En la práctica se utiliza generalmente el muestreo sin reemplazo. Es importante destacar que no hay que confundir diseño de muestras al azar con diseño de muestras a la loca VALORES POBLACIONALES Y ESTADISTICAS Puesto que las poblaciones se caracterizan con medidas descriptivas numéricas llamadas Parámetros, uno de los problemas fundamentales de la inferencia estadística es la estimación de dichos parámetros con base en los resultados de una muestra (estimadores). 175

6 Para realizar estimaciones es necesario emplear el muestreo probabilístico, el cálculo de probabilidades a intervalos de confianza. El concepto de estimador se puede definir de varias formas: 1) Como una función de variables aleatorias observables que no depende de ningún parámetro desconocido. 2) Como una fórmula o método de cálculo para efectuar una estimación puntual y se presenta como una función de los valores observados en la muestra. 3) Como una variable aleatoria con distribución de probabilidad que depende de la distribución de la cual se tomó la muestra. Ejemplo de algunos estimadores son la media muestral (X), varianza muestreal (S 2 ) y desviación estandard (S) estimadas en una muestra MUESTRA ALEATORIA Concepto no matemático. Consiste en extraer de una población, un subconjunto de n elementos de tal forma que la selección de cada uno de ellos dependa únicamente de factores de azar. Para tal efecto, generalmente, se utilizan las tablas números aleatorios o algún procedimiento que garantice la aleatoriedad de cada elemento seleccionado. Comúnmente se suele confundir una selección al azar con una selección a la loca. Con muestras aleatorias se pueden realizar inferencias válidas y confiables; con muestras a la loca no se puede realizar ningún tipo de inferencia. 176

7 8.11. ERROR DE MUESTREO Es aquel que se origina por efectos del azar al seleccionar una muestra probabilística en un estudio. Equivale a la discrepancia entre los resultados obtenidos en el estudio y el valor real, siempre y cuando no existan sesgos de selección, información o variables de confusión ERROR NO DE MUESTREO. Son errores debidos a sesgos de información tales como errores del observador, del sujeto observado o de los instrumentos de medición. Este tipo de errores deben controlarse en el diseño del estudio porque afectan la validez interna del mismo PRECISION En diseños muestrales aleatorios la precisión se mide por medio de los intervalos de confianza ESTIMA DE PUNTO Una estimación se denomina puntual cuando a partir de una muestra aleatoria se estima un solo valor numérico para cada parámetro desconocido de la población. 177

8 Las estimaciones puntuales no resultan de mucho valor si no poseen alguna medida sobre el posible error aleatorio cometido en la estimación, esto es, su error estandard ESTIMA POR INTERVALO Consiste en calcular un valor inferior y otro superior dentro de los cuales la probabilidad de contener el verdadero valor el parámetro sea alto. (95%, 99%) Lo ideal es encontrar intervalos de longitud pequeña y probabilidad alta de contener al parámetro. Los intervalos de confianza indican la precisión del estimador. El diseño muestral y en especial el tamaño de muestra juega un papel definitivo en la obtención de intervalos de confianza óptimos. Un intervalo de confianza del 95% significa que la probabilidad de que el parámetro desconocido de la población se encuentre en dicho rango es igual a TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL. Concepto no matemático. Si se toman infinitas muestras de igual tamaño n de una población con N elementos, la distribución de la media muestral tiene como promedio el de la población y sigue aproximadamente una curva normal (independiente de la forma de la distribución en la población) siempre y cuando el tamaño de muestra (n ) sea suficientemente grande. 178

9 Este teorema exige algunas condiciones por ejemplo, que las medias muestrales tengan varianza finita; sin embargo, esta restricción no pesa mucho en la estadística aplicada puesto que las varianzas siempre serán finitas. Otra inquietud respecto al teorema es : Qué tamaño de muestra (n) se considera suficientemente grande? Si bien es preferible considerar n=100, en la mayoría de las aplicaciones se acepta como suficiente una muestra a partir de tamaño 30. No obstante se aconseja a partir de tamaño 50. Cuando el tamaño de muestra es menor que 30 la distribución en el muestreo aleatorio no es exactamente una distribución normal sino una t con n - 1 grados de libertad. La utilización de la distribución t produce resultados válidos siempre y cuando se cumplan las condiciones siguientes: 1) La variable aleatoria a estudiar, es de distribución normal. 2) La selección de muestras se realiza de manera aleatoria SIGNIFICADO DE PODER O POTENCIA Capacidad que tiene una prueba de significancia estadística de rechazar una Hipótesis nula falsa. Capacidad que tiene el estudio de encontrar resultados reales. Generalmente se acepta un poder de 80% en adelante. El poder o potencia es de fundamental importancia para la estimación del tamaño de muestra. 179

10 8.18. LA ESTIMACION DEL TAMAÑO DE MUESTRA En el diseño de estudios por muestreo se llega al punto en el cual debemos decidir el tamaño n de muestra necesaria para realizarlo. Una muestra demasiado grande implica un desperdicio de recursos y una muestra demasiado pequeña afecta directamente la precisión y utilidad de los resultados. Utilizando la teoría general del muestreo se establece un planteamiento general para estimar tamaños de muestra según tipo de diseño seleccionado. Paso 1: Paso 2: Obtener de estudios previos información acerca de los parámetros de la población. En caso contrario realizar un estudio piloto. DETERMINAR LA EXACTITUD (d) Esta se da en términos del limite de error deseado (d): es decir que tanto estamos dispuestos a equivocarnos al tratar de estimar un parámetro poblacional. El margen de error d puede darse en términos de la unidad de medida para variables numéricas o en porcentaje para variables categóricas Paso 3: DETERMINAR LA SEGURIDAD Esto significa establecer con que probabilidad se puede obtener el límite de error deseado. Usualmente se establecen límites de confianza del 95%, 99%, etc. (Z ). Confianza = 95% Z =

11 Paso 4: ESTABLECER EL PODER DEL ESTUDIO. (1- ß) Es decir, la capacidad que tiene el estudio de encontrar una diferencia significativa si en realidad la hubiere. Se recomienda establecer un poder de 80% o más (Z ß). Poder = 80% Z ß = 1.28 Paso 5: Buscar una fórmula que conecte al tamaño de muestra (n) con el margen de error (d) y los valores (Z y Z ß). Paso 6: Elaborar una matriz de tamaños de muestra variando el margen de error deseado (d) y dejando constantes Z y Z ß MATRIZ DE TAMAÑOS DE MUESTRA SEGURIDAD = 95% PODER = 80% MARGEN DE ERROR (d) TAMAÑO DE MUESTRA ESTIMADO d 1 d 2 d 3 d 4 d n Luego juzgar cual tamaño de muestra es mas consistente con los recursos disponibles tales como costo, tiempo, trabajo, materiales, etc. 181

12 8.19. TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTUDIOS DESCRIPTIVOS ESTUDIOS DE PREVALENCIA (VARIABLES CATEGORICAS) 1) Obtener un estimado de la característica cualitativa que se desea (P) En caso de no tenerla utilizar P= 50% y por consiguiente Q=50%. No obstante es mejor realizar un pequeño estudio piloto. 2) Determinar el margen de error deseado (d): Usualmente d= 1%, 2%, % 3) Definir margen de seguridad (o confianza): Usualmente 95% Z = 1.96 ~ 2 4) Aplicar: n = Z 2 PQ d 2 ESTUDIOS DE PREVALENCIA (VARIABLES CONTINUAS): 1) Obtener un estimado de la varianza poblacional ( 2 ) 2) Determinar margen de error d (con su unidad de medida) 3) Definir la seguridad Z (generalmente 95%) 4) Aplicar n = Z 2 2 d 2 182

13 8.20. TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTUDIOS COMPARATIVOS 1. OBJETIVO : Comparar proporciones en dos grupos. P 0 = P 1 = Proporción observada en la población ó en el grupo control Proporción esperada en el grupo bajo intervención Z = Valor curva normal según nivel de seguridad seleccionada Z ß = Valor curva normal según poder (potencia) escogido P = Proporción media de respuesta = P 0 + P Aplicar : n = Z 2PQ + Z ß P 0 Q 0 + P 1 Q 1 (P 0 - P 1 ) 2. OBJETIVO: Estudio de Casos y Controles para obtener OR Aplicar formula anterior considerando: P 0 = Proporción de exposición en controles R = OR = "Odds Ratio" que se desea detectar P 1 = P 0 x R 1 + P 0 (R-1) P 0 + P 1 P = 2 Definir Z y Z ß 183

14 3. TAMAÑO DE MUESTRA PARA MUESTRAS APAREADAS Llamado d = Desviación estandar de las diferencias Z = Error tipo l Asociado con µ o (Hipótesis nula) Z ß = Error tipo II Asociado a µ 1 (Hipótesis alterna) d = Magnitud de la diferencia promedio a detectar d Se tiene: Z = y Z ß = d n d n Resolviendo estas dos ecuaciones se encuentra n: d (Z - Z ß ) 2 2 n = x d d 2 Como Z ß siempre es negativa se puede aplicar valor absoluto y emplear: (Z + Z ß ) 2 n = x d 2 d 2 Ejemplo: Considerando prueba bilateral a nivel de = 5% (Z = 1.96), un poder de 95% (Z ß =1.65) y una variabilidad de las diferencias d =25, se obtiene una tabla de tamaños de muestra según magnitud de la diferencia a detectar (d): n = ( ) 2 (25) d 2 n = / d 2 d n

15 8.21. BIBLIOGRAFIA 1. Carvajal R. Métodos estadísticos para análisis epidemiológico. En proceso de Publicación. Santiago de Cali: Univalle, Carvajal R. Investigación Operativa para el mejoramiento de la Calidad en los servicios de Salud. Cali: Catorse, Rothman KJ. Modern Epidemiology. 2nd. ed. Boston: Little, Brown and Company; Meyer LP. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México:Fondo Educativo Interamericano; Mendenhall W. Estadística para Administración y Economía, México: Grupo Editorial Iberoamericana; Siegel S. Estadística no Paramétrica. México: Editorial Trillas; Mendenhall W, Scheaffer R, Wackerly D. Estadística Matemática con Aplicaciones. México:Grupo Editorial Iberoamérica;