TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II 2º Bach. 1. es un vector unitario de la misma dirección y el mismo sentido que v.

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1 Estdios J.Concha ( fndado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Jaier Concha y Ramiro Froilán TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO 5. LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES Un ector es n segmento orientado. Un ector extremo B. Elementos de n ector: AB qeda determinado por dos pntos, origen A y Módlo de n ector es la distancia entre A y B y se designa por el ector entre barras : AB Dirección del ector es la dirección de la recta en la qe se encentra el ector y la de todas las rectas paralelas a ella. Sentido si a de A a B o de B a A. Igaldad de ectores: Dos ectores son igales si tienen el mismo módlo, dirección y sentido (no necesariamente el mismo origen y el mismo extremo). Todos ellos se llaman representantes de n único ector. Llamaremos representante canónico a aqel ector qe tiene por origen el pnto O. Notación: Los ectores se representan con na flechita encima de na letra:,, w, x, y, z,... o bien mediante no de ss representantes, escribiendo s origen y s extremo con na flecha encima AB, MN, PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO El prodcto de n número k 0 por n ector es otro ector k qe tiene: Módlo: igal al prodcto del módlo de por el alor absolto de k : k = k. Dirección: la misma qe la de Sentido: - El de si k > 0 - El del opesto de si k < 0 El prodcto 0. es igal al ector cero: 0. Es n ector cyo origen y extremo coinciden y, por tanto, s módlo es cero y carece de dirección y de sentido. El ector -. se designa por y se llama opesto de VECTORES UNITARIOS Los ectores de módlo se llaman ectores nitarios. El ector El ector - es n ector nitario de la misma dirección y el mismo sentido qe. es n ector nitario de la misma dirección qe, pero con sentido opesto. Sector Descbridores 4 y 44 Tres Cantos Madrid Telf clientes@centrodeestdiosjconcha.es

2 Estdios J.Concha ( fndado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Jaier Concha y Ramiro Froilán TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. SUMA DE DOS VECTORES Dados dos ectores y para smarlos gráficamente hay dos posibilidades: Se sitúa el origen del segndo ector sobre el extremo del primero y el ector sma es el ector qe ne el origen del primero con el extremo del segndo. Se sitúan los dos ectores con origen común. Se forma el paralelogramo qe tiene por lados los dos ectores y la diagonal qe parte del origen de los dos ectores es el ector sma. RESTA DE DOS VECTORES Restar dos ectores es lo mismo qe smar al primer ector el opesto del segndo: = + (- ) PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Sma de ectores: - Asociatia: ( + ) + w = + ( + w ) - Conmtatia: - Vector nlo: - Vector opesto: + = = + 0 = + (- ) = 0 Prodcto de números por ectores - Asociatia: a.(b. ) = (a.b). - Distribtia I: (a + b) = a + b - Distribtia II: a.( + ) = a + a - Prodcto por :. = Todas estas propiedades le confieren al conjnto de los ectores la estrctra de espacio ectorial. 5. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados arios ectores, x, y, z,..., w, y arios números a, b,c,...m, el ector a x + b y + c z m w se llama combinación lineal de los ectores. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Varios ectores se llaman linealmente dependientes si algno de ellos se pede poner como combinación lineal de los demás. Cándo no es así, se llaman linealmente independientes. Ejemplos: - Dos ectores alineados son linealmente dependientes - Dos ectores no alineados son linealmente independientes - Tres ectores coplanarios (están en el mismo plano) son linealmente dependientes. - Tres ectores no coplanarios son linealmente independientes. Sector Descbridores 4 y 44 Tres Cantos Madrid Telf clientes@centrodeestdiosjconcha.es

3 Estdios J.Concha ( fndado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Jaier Concha y Ramiro Froilán TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. BASE Tres ectores no coplanarios x, y, z son linealmente independientes y, además calqier otro ector del espacio se pede poner como combinación lineal de ellos de ellos de forma única. Por eso decimos qe forman na base: B = { x, y, z } Tres ectores no coplanarios calesqiera forman na base del espacio ectorial tridimensional. Si los tres ectores son perpendiclares entre sí, se dice qe forman na base ortogonal. Si además de ser perpendiclares tienen módlo no, se dice qe la base es ortonormal. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE Dada na base B( x, y, z ), calqier ector,, se pede poner de forma única como na combinación lineal de ss elementos: = a x + b y + c z A los números a, b, c se les llama coordenadas de respecto de B. Y se expresa así: = (a,b,c) ó (a,b,c) OPERACIONES CON COORDENADAS Sea (,, ) y (,, ) Sma de dos ectores: Las coordenadas del ector + se obtienen smando las coordenadas de con las de : + = (,, ) + (,, ) = ( +, +, + ) Resta de dos ectores: Las coordenadas del ector - se obtienen restando a las coordenadas de las de : - = (,, ) - (,, ) = ( -, -, - ) Prodcto de n ector por n número: Las coordenadas del ector k se obtienen mltiplicando por k las coordenadas de : k = k.(,, ) = (k,k,k ) Combinación lineal de ectores: a + b = a(,, ) + b(,, ) = (a + b,a + b,a + b ) Sector Descbridores 4 y 44 Tres Cantos Madrid Telf clientes@centrodeestdiosjconcha.es

4 Estdios J.Concha ( fndado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Jaier Concha y Ramiro Froilán TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES El prodcto escalar de dos ectores y es n número qe reslta de mltiplicar el módlo de cada no de los ectores por el coseno del ánglo qe forman y se designa por. :. =..cos(, ) y son números positios. Por tanto,. es n número positio o negatio según el ánglo qe forman con : Si (, ) es agdo, cos (, ) > 0. es positio. Si (, ) es obtso, cos (, ) < 0. es negatio. PROPIEDAD FUNDAMENTAL El prodcto escalar de dos ectores no nlos es cero si y sólo si son perpendiclares: Es decir: si 0 y 0 ;. = 0 APLICACIONES Módlo de n ector = Ánglo de dos ectores cos(, ) =.. (pes. =..cos(, ) =.cos(0º) = ) Vector proyección de sobre : =... (despejando el coseno de la expresión del prodcto escalar). =. cos(, ) =. =. es la longitd del segmento proyección, con signo + o según qe el ánglo sea agdo obtso. Si este número lo mltiplicamos por el ector nitario, se obtiene el ector proyección. OPERACIONES. PROPIEDADES Propiedad conmtatia:. =. Propiedad asociatia: a.(. ) = (a ). Propiedad distribtia:.( + w ) =. +. w Sector Descbridores 4 y 44 Tres Cantos Madrid Telf clientes@centrodeestdiosjconcha.es

5 Estdios J.Concha ( fndado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Jaier Concha y Ramiro Froilán TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 5 EXPRESIÓN ANALÍTICA Si B( x, y, z ) es na base ortogonal: x. y = x. z = y. z = 0 Si B( x, y, z ) es na base ortonormal : x. y = x. z = y. z = 0, x. x = y. y = z. z = Si las coordenadas de los ectores y respecto a na base ortonormal son (,, ) y (,, ), entonces el prodcto escalar. adopta la sigiente expresión:. = Dem :. = ( x + y + z ).( x + y + z ) =.. x. x +.. x. y +. x. z +.. y. x +.. y. y +. y. z +.. z. x +.. z. y +.. z. z = APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO ESCALAR Expresión ectorial:. =.. cos (, ) Expresión analítica:. = MÓDULO DE UN VECTOR Expresión ectorial : =. Expresión analítica : = + + COSENO DEL ÁNGULO DE DOS VECTORES Expresión ectorial : cos (,. ) =. Expresión analítica : cos (, ) = PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO Expresión ectorial:. = Expresión analítica: = (,, ) + + CRITERIO DE PERPENDICULARIDAD : + Expresión ectorial:. = 0 Expresión analítica: = 0 Sector Descbridores 4 y 44 Tres Cantos Madrid Telf clientes@centrodeestdiosjconcha.es

6 Estdios J.Concha ( fndado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Jaier Concha y Ramiro Froilán TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach PRODUCTO VECTORIAL El prodcto ectorial de dos ectores, y, es n neo ector x, qe se define del sigiente modo: Si y son linealmente independientes, x es n ector con las sigientes características: - Módlo: x =..sen(, ) - Dirección: perpendiclar a y a - Sentido Si (, ) < 80º, hacia arriba Si (, ) > 80º, hacia abajo Tomando el ánglo en sentido positia, es decir, contrario al moimiento de las agjas del reloj. Si y son linealmente dependientes, es decir, si algno de ellos es 0 o si tienen la misma dirección, entonces: x = 0 PROPIEDADES No es conmtatio: x = - x x = 0 En na base ortonormal B( i, j, k ): i x j = k, j x k = i, k x i = j (a ) x = a( x ) = x (a ) No es asociatio : ( x ) x w x ( x w ) x ( + w ) = ( x ) + ( x w ) EXPRESIÓN ANALÍTICA i j k x = =. i +. j+.k = (,,. ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El módlo del prodcto ectorial x es igal al área del paralelogramo definido por los ectores y. A = x El área de n triánglo de lados y : A = APLICACIÓN: x Para obtener n ector perpendiclar a otros dos, y, no alineados, hallaremos x Sector Descbridores 4 y 44 Tres Cantos Madrid Telf clientes@centrodeestdiosjconcha.es

7 Estdios J.Concha ( fndado en 00) ESO, BACHILLERATO y UNIVERSIDAD Departamento Bachillerato MATEMATICAS º BACHILLERATO Profesores Jaier Concha y Ramiro Froilán TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Se llama prodcto mixto de los ectores, y w y se designa por [,, w ] =.( x w ) (El resltado es n número) EXPRESIÓN ANALÍTICA [,, w ] = w w INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA w El módlo del prodcto mixto es el olmen del paralelepípedo de lados los ectores,, w. V = [,, w ] El olmen de n tetraedro de lados,, w es: V = [ 6,, w 5.8 APLICACIONES DE LOS VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS Las coordenadas del ector AB se obtienen restándole a las coordenadas del extremo B las del origen A : AB = (x,y,z ) (x,y,z ) = (x -x,y -y,z -z ) CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS ] Los pntos A(x,y,z ), B(x,y,z ), C(x,y,z ) están alineados siempre qe los ectores BC tengan la misma dirección. Esto ocrre cando ss coordenadas son proporcionales: x x y y z z = = x x y y z z AB y PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Las coordenadas del pnto medio, M, de n segmento de extremos A(x,y,z ), B(x,y,z ) son: x + x y + y z + z M,, SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO Para calclar el simétrico A del pnto A respecto del pnto B, solo hay qe tener en centa qe el pnto B es el pnto medio entre A y A. Sector Descbridores 4 y 44 Tres Cantos Madrid Telf clientes@centrodeestdiosjconcha.es