4ºB ESO Capítulo 2: Potencias y raíces

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1 Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics. ºB ESO Cpítulo : Potecis y ríces LibrosMreVerde.tk Autor: JOSE ANTONIO ENCABO DE LUCAS Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

2 Potecis y ríces. ºB de ESO Ídice. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO... POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL.. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. EJEMPLOS. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES.. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. DEFINICIÓN.. RADICALES. DEFINICION. EJEMPLOS... PROPIEDADES DE LOS RADICALES. EJEMPLOS.OPERACIONES CON RADICALES. RACIONALIZACION.. OPERACIONES. DEFINICIÓN. EJEMPLOS.. RACIONALIZACION. EJEMPLOS.. EJEMPLOS PARA RESOLVER.. NOTACION CIENTÍFICA... DEFINICIÓN. EJEMPLOS... OPERACIONES CON NOTACION CIENTÍFICA.. LOGARITMOS.. DEFINICIÓN.. PROPIEDADES E este cpítulo vmos estudir ls potecis de expoete turl y etero co sus propieddes. Aprederemos operr co ls potecis plicdo sus propieddes. Estudiremos ls potecis de expoete rciol, que so los rdicles, sus propieddes y sí como ls opercioes que podemos relizr co ellos. Nos detedremos e l rciolizció, que es u operció muy utilizd e mtemátics que l ecesitremos pr operr co rdicles. Estudiremos l otció cietífic, ls propieddes pr poder operr co este tipo de otció y ls vetjs de operr co est otció. Por último estudiremos los logritmos y sus propieddes, que fcilit ls opercioes pues trsform, por ejemplo, los productos e sums. Cudo o hbí clculdors i ordedores y querí multiplicr úmeros de más de diez cifrs, cómo hcí? Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

3 Potecis y ríces. ºB de ESO. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES.. Potecis de expoete turl. Recuerd que: Ddo, u úmero culquier, y, u úmero turl, l poteci es el producto del úmero por sí mismo veces E form desrrolld, l poteci de bse y expoete se escribe: =, veces, siedo culquier úmero y u úmero turl =, veces () = () () () () (), veces. L bse puede ser positiv o egtiv. Cudo l bse es positiv el resultdo es siempre positivo. Cudo l bse es egtiv, si el expoete es pr el resultdo es positivo, pero si es impr el resultdo es egtivo. Si clculmos los ejemplos de rrib tedremos: = =. Resultdo positivo porque multiplico u úmero positivo veces. () = () () () () () =. Multiplico u úmero egtivo u úmero impr de veces, por lo que el resultdo es egtivo. Cd vez que multiplicmos dos veces dos úmeros egtivos os d uo positivo, como teemos, quedrí u sigo meos si multiplicr, luego (+) () = (). Recuerd que: Bse positiv: resultdo siempre positivo. Bse egtiv y expoete pr: resultdo positivo. Bse egtiv y expoete impr: resultdo egtivo Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes potecis: ) () = () ( ) ( ) ( ) ( )= b) = = c) () = ( ) = Actividdes propuests:. Clcul ls siguietes potecis: ) b) ( + ) c) (x) Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

4 Potecis y ríces. ºB de ESO.. Potecis de expoete egtivo: Defiició de poteci de expoete egtivo y bse : = / Esto se justific y que se dese que se sig verificdo ls propieddes de ls potecis: = / m / = m. m / m+ = m (m + ) = = /. es lo mismo que (/).. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. EJEMPLOS: Ls propieddes de ls potecis so: ) El producto de potecis de l mism bse es igul otr poteci de l mism bse y como expoete l sum de los expoetes. m = m+ = ( ) ( ) = + = b) El cociete de potecis de l mism bse es igul otr poteci que tiee como bse l mism, y como expoete l difereci de los expoetes. : m = m / = ( ) / ( ) = = c) L poteci de u poteci es igul l poteci cuyo expoete es el producto de los expoetes. ( ) m = m (7 ) = (7 7) (7 7) (7 7) = 7 d) El producto de potecis de distit bse co el mismo expoete es igul otr poteci cuy bse es el producto de ls bses y cuyo expoete es el mismo: b = ( b) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

5 Potecis y ríces. ºB de ESO e) El cociete de potecis de distit bse y el mismo expoete es igul otr poteci cuy bse es el cociete de ls bses y cuyo expoete es el mismo. /b = (/b) 8 /7 = (8 8 8) / (7 7 7) = (8/7) (8/7) (8/7) = (8/7) Tods ests propieddes de ls potecis que se h citdo pr los expoetes turles sigue siedo válids pr otros expoetes: egtivos, frcciorios Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes opercioes co potecis: ) 9 = ( ) = = 9 b) ( ) = = 9 c) / 0 = 0 = d) / = () = + = 9 Actividdes propuests:. Efectú ls siguietes opercioes co potecis: ) (x + ) (x + ) b) (x + ) : (x + ) c) {(x ) } d) (x + ) (x + ). POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES.. Potecis de expoete rciol. Defiició. Se defie l poteci de expoete frcciorio y bse como: Expoetes frcciorios: ( ) / Ls propieddes citds pr ls potecis de expoete etero so válids pr ls potecis de expoetes frcciorios 8 / 8 r/s = s r.. Rdicles. Defiició. Ejemplos Se defie ríz sim de u úmero, como el úmero b que verific l iguldd b =. Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

6 Potecis y ríces. ºB de ESO b b = Siedo: es el ídice, es l ctidd subrdicl o rdicdo y b es l ríz sim de Importte: siempre es positivo. No existe l ríz. L rdicció de ídice es l operció ivers de l potecició de expoete. Por l defiició de ríz ésim de u úmero se verific que si b es ríz, etoces: b b = Observ que se puede defiir: / = y que: ( / ) = (/) = =. Como / stisfce l mism propiedd que b debe ser cosiderdos como el mismo úmero. Ejemplos: () / ( ) () / 8 8 / = 8.. Propieddes de los rdicles. Ejemplos. Ls propieddes de ls potecis eucids teriormete pr el cso de expoetes frcciorios, tmbié se puede plicr ls ríces: ) Si multiplicmos el ídice de u ríz por u úmero c, y l vez elevmos el rdicdo ese úmero c el vlor de l ríz o vrí. Se verific c 0 se verific que :. p p. Demostrció:. p p p p. Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

7 Potecis y ríces. ºB de ESO. Se verific puesto que segú cbmos de ver:. b) Pr multiplicr ríces del mismo ídice, se multiplic los rdicdos y se hll l ríz de ídice comú: Demostrció: b.. b. Segú ls propieddes de ls potecis de expoetes eteros se verific que: b ( b) c) Pr dividir ríces del mismo ídice se divide los rdicdos y se hll l ríz del ídice comú. Supoemos que b 0 pr que teg setido el cociete. b b b b. Demostrció: Si escribimos: b ) b (. b b d) Pr elevr u rdicl u poteci bst co elevr el rdicdo dich poteci: ( ) m m Demostrció: Est propiedd l podemos demostrr como sigue: m m m m m e) L ríz de u ríz es igul l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices: Demostrció: m m. Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

8 7 Potecis y ríces. ºB de ESO Se verific que: m m m m x y x y Actividdes resuelts: ( x y ) ( x ) ( y ) x y Reduce ídice comú () los siguietes rdicles: ; 70 7 ( 7 ) ; Sc fctores fuer de l ríz: 08 Escribe los siguietes rdicles como u sol ríz: Actividdes propuests:. Clcul: 9 ) (. b ) b).. Hll: c) ( ( x ) ) x x ) : y y b) :. Reliz ls siguietes opercioes co rdicles: x x ) : y y b) ( ( x ) ) Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

9 8 Potecis y ríces. ºB de ESO. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION... Opercioes. Defiició. Ejemplos Sum y rest de rdicles: RECUERDA: Pr sumr y restr rdicles estos debe de ser idéticos: 9 Pr sumr estos rdicles hy que sumr sus expresioes proximds. Si embrgo l expresió: 7 7 si se puede sumr y restr puesto que sus rdicles so idéticos Por ls propieddes de los rdicles podemos scr fctores del rdicl dejdo que todos los rdicles se idéticos: PARA PODER SUMAR O RESTAR RADICALES ES NECESARIO QUE TENGAN EL MISMO ÍNDICE Y EL MISMO RADICANDO. SOLO CUANDO ESTO SUCEDE PODEMOS SUMAR O RESTAR LOS COEFICIENTES O PARTE NUMERICA DEJANDO EL MISMO RADICAL ( ) 0 Producto de rdicles: Pr multiplicr rdicles debemos covertirlos e rdicles de igul ídice y multiplicr los rdicdos:. Clculmos el m.c.m.de los ídices. Dividimos el m.c.m etre cd ídice y lo multiplicmos por el expoete del rdicdo y simplificmos ( ) 7 7 Divisió de rdicles: Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

10 9 Potecis y ríces. ºB de ESO Pr dividir rdicles debemos coseguir que teg igul ídice, como e el cso terior y después dividir los rdicles....( ) Ríz de u ríz: Es l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices (segú se demostró e l propiedd e), y después simplificmos extryedo fctores fuer el rdicl si se puede. x y = 7 x y = x x y x x y 7 RECUERDA: Pr extrer fctores del rdicl se debe cumplir que el expoete del rdicdo se myor que el ídice de l ríz. opcioes: Se divide el expoete del rdicdo etre el ídice de l ríz, el cociete idic el úmero de fctores que extrigo y el resto los que se qued detro. Se descompoe los fctores del rdicdo elevádolos l mismo ídice de l ríz, cd expoete que coicid co el ídice, sldrá el fctor y los que sobre se qued detro Extre fctores del rdicl: 8x 7 y 7 x 7 x x x y y y = Los fctores que podrímos extrer serí el, x, y y el, de l siguiete mer: Dividimos el expoete de l x,, etre, y que el ídice de l ríz es, y teemos de cociete y de resto, por lo que sldrá dos x y qued detro. De igul form pr l y, dividimos etre y obteemos de cociete y uo de resto, por lo que sle y y se qued otr detro. Vemos:. 7 x x x y y x y 7x y Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

11 0 Potecis y ríces. ºB de ESO Actividdes propuests:. Escribe bjo u solo rdicl y simplific: Clcul y simplific: x. y. x. y x. y 7 8. Reliz l siguiete operció: x x x 9. Clcul y simplific: x 9 x 8.. Rciolizció. Ejemplos. Rciolizr u frcció lgebric cosiste e ecotrr otr equivlete que o teg rdicles e el deomidor. Pr ello, hy que multiplicr umerdor y deomidor por l expresió decud. Cudo e l frcció solo hy moomios, se multiplic y divide l frcció por u mismo úmero pr coseguir completr e el deomidor u poteci del mismo expoete que el ídice de l ríz. x. Multiplicmos y dividimos por x pr obteer e el deomidor u curt poteci y quitr el rdicl. x x x x x x x Cudo e l frcció prece e el deomidor biomios co ríces cudrds, se multiplic y se divide por u fctor que proporcioe u difereci de cudrdos, este fctor es el fctor cojugdo del deomidor. b, su cojugdo es: b. Otro ejemplo: ( b) su cojugdo es: ( b) x x Multiplicmos por el cojugdo del deomidor que e este cso es: Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

12 Potecis y ríces. ºB de ESO Actividdes propuests: x y 0. Rcioliz l expresió: x y ( ) ( ) ( ( )( ) ). Rcioliz:. Rcioliz:. NOTACION CIENTÍFICA... Defiició. Ejemplos. L otció cietífic se utiliz pr escribir úmeros muy grdes o muy pequeños. L vetj que tiee sobre l otció deciml es que ls cifrs se os d cotds, co lo que el orde de mgitud del úmero es evidete. U úmero puesto e otció cietífic cost de: U prte eter formd por u sol cifr que o es el cero (l de ls uiddes). El resto de ls cifrs sigifictivs puests como prte deciml. U poteci de bse 0 que d el orde de mgitud del úmero. N =,bcd... 0 siedo: su prte eter (solo u cifr) b c d su prte deciml 0 L poteci eter de bse 0 Si es positivo, el úmero N es grde Y si es egtivo, etoces N es pequeño Ejemplos:,8 0 (= ): Número grde. 7, 0 8 (= 0, ): Número pequeño. Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

13 Potecis y ríces. ºB de ESO.. Opercioes co otció cietífic Pr operr co úmeros ddos e otció cietífic se procede de form turl, teiedo e cuet que cd úmero está formdo por dos fctores: l expresió deciml y l poteci de bse 0. El producto y el cociete so imeditos, mietrs que l sum y l rest exige preprr los sumdos de modo que teg l mism poteci de bse 0 y, sí poder scr fctor comú. Ejemplos: ) (, 0 ) (, 0 8 ) = (,,) 0 +8 =,0 0 =,0 0 b), 0, 0 8 (, :,) 0 ( 8) 0,87 0 8,70 RECUERDA: Pr multiplicr úmeros e otció cietífic, se multiplic ls prtes decimles y se sum los expoetes de l poteci de bse 0. Pr dividir úmeros e otció cietífic, se divide ls prtes decimles y se rest los expoetes de l poteci de bse 0. Si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr co u sol cifr e l prte eter. c), ,9 0 7, 0 0 =, = (, ) 0 9 = = 8,8 0 9 =,88 0 RECUERDA: Pr sumr o restr úmeros e otció cietífic, hy que poer los úmeros co l mism poteci de bse 0, multiplicdo o dividiedo por potecis de bse 0. Se sc fctor comú l poteci de bse 0 y después se sum o rest los úmeros decimles queddo u úmero deciml multiplicdo por l poteci de 0. Por último si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr e l prte eter u sol cifr. Actividdes propuests:. Clcul: ) (7,8 0 ) (,8 0 ) b) (, 0 ) : (, 0 ). Efectú y expres el resultdo e otció cietífic: ,.0 7 ) b), Reliz ls siguietes opercioes y efectú el resultdo e otció cietífic: ) (, 0 7, 0 ) b) (7,8 0 7 ) Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

14 Potecis y ríces. ºB de ESO. LOGARITMOS:.. Defiició: El logritmo de u úmero m, positivo, e bse, positiv y distit de uo, es el expoete l que hy que elevr l bse pr obteer dicho úmero. Si > 0, log m = z m = z Los logritmos más utilizdos so los logritmos decimles o logritmos de bse 0 y los logritmos eperios (llmdos sí e hoor Neper) o logritmos e bse e(e es u úmero irrciol cuys primers cifrs so: e =,7888 ). Ambos tiee u otció especil: log 0 m = log m log e m = l m Ejemplos: log 9 = 9 = log = = log 000 = 000 = 0 l e = e = e Como cosecuecis imedits de l defiició se deduce que: El logritmo de es cero (e culquier bse) Demostrció: Como 0 =, por defiició de logritmo, teemos que log = 0 Ejemplos: log = 0 log = 0 log = 0 El logritmo de es cero (e culquier bse) El logritmo de l bse es. Solo tiee logritmos los úmeros positivos. El logritmo de l bse es. Demostrció: Como =, por defiició de logritmo, teemos que log = Ejemplos: log = log = log = log = Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

15 Potecis y ríces. ºB de ESO Solo tiee logritmos los úmeros positivos, pero puede hber logritmos egtivos. U logritmo puede ser u úmero turl, etero, frcciorio e icluso u úmero irrciol Al ser l bse u úmero positivo, l poteci uc os puede dr u úmero egtivo i cero. log () No existe log 0 No existe. log 00 = 00 = 0. log 0, = 0, = 0. log 0 = / 0 = 0 /. log = 0,000.. Actividdes resuelts: log 8 = x x = 8 x = x = log 8 = x x = 8 x = 7 x = 7 log = x x = () / x = ( ) / x = / Actividdes propuests:. Copi l tbl djut e tu cudero y emprej cd logritmo co su poteci: = log = 0 0 = = = log = 0 = log = = log = 0 log = log = = log 8 = log = = 8. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log b) log c) log d) log 0 7. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log 7 b) log 0 00 c) log / (/) d) log Clcul x utilizdo l defiició de logritmo: ) log = x b) log / x = c) log x = 9. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log + log / log 9 log b) log / + log /7 log Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

16 Potecis y ríces. ºB de ESO.. Propieddes de los logritmos:. El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos de sus fctores: log (x y) = log x + log y Demostrció: Llmmos A = log x y B = log y. Por defiició de logritmos sbemos que: A = log x A = x B = log y B = y Multiplicmos: xy = A B = A+B log xy = A + B = log x + log y. log ( 7) = log + log 7. El logritmo de u cociete es igul l logritmo del dividedo meos el logritmo del divisor: log (x/y) = log x log y Demostrció: Llmmos A = log x y B = log y. Por defiició de logritmos sbemos que: A = log x A = x B = log y B = y Dividimos: x / y = A / B = A B log (x / y) = A B = log x log y. log (7/ ) = log 7 log. El logritmo de u poteci es igul l expoete multiplicdo por el logritmo de l bse de l poteci: Demostrció: Por defiició de logritmos sbemos que: log = log log x y = y.log x A = log x A = x ( A ) y = x y = Ay Ay = log x y = y log x. El logritmo de u ríz es igul l logritmo del rdicdo dividido por el ídice de l ríz: log x log Demostrció: Teiedo e cuet que u ríz es u poteci de expoete frcciorio. x Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

17 Potecis y ríces. ºB de ESO log 7 log 7. Cmbio de bse: El logritmo e bse de u úmero x es igul l cociete de dividir el logritmo e bse b de x por el logritmo e bse b de : log log x log Est expresió se cooce co el ombre de fórmul del cmbio de bse. Ls clculdors sólo permite el cálculo de logritmos decimles o eperios, por lo que, cudo queremos utilizr l clculdor pr clculr logritmos e otrs bses, ecesitmos hcer uso de ést fórmul. log Actividdes resuelts: log log log,9 log Desrrollr ls expresioes que se idic: b log log b log c log log b log c log log b log c c b b x x log( y z) (log x log y log z) log x log y log z x x log log log y z y z Escribe co u úico logritmo: log + log x log b log c log log x log c log b log x c (log log x log c ) (log b log ) log( x c ) log( b. ) log b Expres los logritmos de los siguietes úmeros e fució de log = 0,000: ) log= log = log = 0,000 = 0,000 b) 0 log0 = log 0 = 0 log = 0 0,000 =,000 Actividdes propuests: 0. Desrroll ls expresioes que se idic: x b ) l b) log e c. d. Expres los logritmos de los úmeros siguietes e fució de log = 0,77 ) 8 b) 7 c) 909. Simplific l siguiete expresió: logm logt log p logh Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

18 7 Potecis y ríces. ºB de ESO CURIOSIDADES. REVISTA POTENCIAS DE Ls potecis de Ls potecis eters de o dej de llmr uestr teció y puede ser icluids etre los productos curiosos: x = x x = x x x = Disposició o meos itereste preset los úmeros 9, 99, 999, etc. cudo so elevdos l cudrdo: 9 = 8 99 = = = Vle l pe observr que el úmero de ueves de l izquierd es igul l úmero de ceros de l derech, que se sitú etre los dígitos 8 y. Utiliz l clculdor o el ordedor pr clculr 78. D error! No sle. Es ecesrio usr logritmos! Aplicmos logritmos decimles l expresió: x = 78 log(x) = 78*log() Eso sí sbe clculrlo l clculdor o el ordedor. D: log(x) =,8 x = 0,8 = 0 0 0,8 = 0 7,. Solució: 78 = 7, 0. Es u úmero t grde que i el ordedor i l clculdor sbe clculrlo directmete y es ecesrio usr logritmos. Repite el proceso co 0 00 y comprueb que te sle, 0 9. Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

19 8 Potecis y ríces. ºB de ESO NÚMEROS GRANDES Los primeros úmeros que se cerc uestr defiició de lo que es ifiito los podemos tomr de l mism turlez, cotdo elemetos muy pequeños que existe e budci, como so ls gots del mr ( x 0 gots), los gros de re e tods ls plys del mudo (, x 0 gros) o el úmero de estrells de todo el Uiverso coocido ( x 0 estrells). Podemos icluso tomr el úmero de prtículs elemetles del uiverso ( x 0 80 ) si queremos obteer u úmero más grde. Si queremos hllr u úmero más grde Googol, cuñdo por u iño de 9 ños e 99, posee 00 ceros, y fue credo co el objetivo de dros u proximció hci lo que sigific el ifiito. Pero hoy e dí se cooce ctiddes (mucho) más grdes que el Googol. Teemos por ejemplo, los úmeros primos de l form de Mersee, que h podido ser ecotrdos grcis l iveció de ls computdors. E 9, el úmero primo de Mersee más grde er ( 0 7 ), u úmero primo co 9 dígitos, y ese mismo ño, ls computdors probro que el úmero ( 0 ) es tmbié primo, y que dicho úmero posee 7 dígitos, siedo este mucho más grde que u Googol Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

20 9 Potecis y ríces. ºB de ESO RESUMEN: Potecis de expoete () = ().() = 9 turl y etero = / ( ) ( ) Propieddes de ls potecis Potecis de expoete rciol. Rdicles Propieddes de los rdicles. p p. m = m+ : m = m ( ) m =.m.b =(.b) /b =(/b) r/s = s r. b. b b b m m m ( ) m. () () = () + = () : = = ( ) = (). = () 0 () () = (() ()) / = (/) / ( ) ( ) Rciolizció de rdicles Se suprime ls ríces del deomidor. Se multiplic umerdor y deomidor por l expresió decud (cojugdo del deomidor, rdicl del umerdor, etc.) ( ). ( ).( ) Notció cietífic Se suprime ls ríces del deomidor. Se multiplic umerdor y deomidor por l expresió decud (cojugdo del deomidor, rdicl del umerdor, etc.), ,9 0 7, 0 0 =, =(,8+9 7) 0 9 = 8,8 0 9 =,88 0 (, 0 ) (, 0 8 )=,0 0 =,0 0, ( 8) (, :, ) 0 8 0, 0 0, 870 Logritmos Si > 0, log m = z m = z log (x y) = log x + log y log (x/y) = log x log y log x y = y.log x log (7/ ) = log 7 log log = log log log 7 7 Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

21 0 Potecis y ríces. ºB de ESO Potecis:. Expres e form expoecil: t ) b) t. Clcul: c) ( z ) EJERCICIOS Y PROBLEMAS: 7 d) 8 x. y e) 8 x. y 7 ) b) c) d) ( ) e) (8 ) Rdicles:. Expresr e form de rdicl: ) x 9 7 b) ( m ) c) [(x ) ] d) b. Expresr e form expoecil: ) ( x ) b). Expres como poteci úic: c) m k d) x ( x) e) ) ( ) ( x x f) (x ) ) 8 b) c). d) e). f) g) Propieddes de los rdicles:. Simplific: ) 9 b) c) b c. b. c d) x x 7 e) x y 8 ( ) f) x. y x y g) x 0 x. x 7. Extrer fctores del rdicl: b x b) 8 b 0 c c) ( ) d) c ) 8. Itroducir fctores e el rdicl: 8 8 x d) e) b 7 y f) b ). b). c). d). e) 9 f) Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

22 Potecis y ríces. ºB de ESO Opercioes co rdicles: 9. ) 0. Efectú:. b b b) 0b 8 b c) 0 d) : 0 0 e) : f) ) b) 0 8 c) d) e) 9 f) g) Rciolizr. Rcioliz los deomidores: ) b) c) d) e) f). Rcioliz y simplific: ) b) c) ` d) e) 7 f) x x. Efectú y simplific: ( ) ) ( ) (+ b) Logritmos. Desrroll los siguietes logritmos: c) ( ) : ( ) x l y z b) log ( x y) / z e. Simplific l siguiete expresió: 7 log log log 9 Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

23 Potecis y ríces. ºB de ESO Notció cietífic:.l ms del Sol es 0000 veces l de l Tierr, proximdmete, y est es,98 0 t. Expres e otció cietífic l ms del Sol, e kilogrmos. 7. El ser vivo más pequeño es u virus que pes del orde de 0 8 g y el más grde es l blle zul, que pes, proximdmete, 8 t. Cuátos virus serí ecesrios pr coseguir el peso de l blle?. lig de fútbol: Los cico píses más cotmites del mudo (Estdos Uidos, Chi, Rusi, Jpó y Alemi) emitiero billoes de toelds de CO e el ño 99, ctidd que represet el, % de ls emisioes de todo el mudo. Qué ctidd de CO se emitió e el ño 99 e todo el mudo? 7. Expres e otció cietífic: ) Recudció de ls quiiels e u jord de l b) Toelds de CO que se emitiero l tmósfer e 99 e Estdos Uidos 8, miles de milloes. c) Rdio del átomo de oxigeo: 0, m 8. Efectú y expres el resultdo e otció cietífic: ) ( 0 7 ) (8 0 8 ) b) ( 0 ) ( 0 ) c) ( 0 ) : ( 0 ) d), e)( 0 ) 9. Expres e otció cietífic y clcul: )(7800) : (000) 0, b) c) (0,007) (0,000) d) , Efectú y expres el resultdo e otció cietífic: ,0000 0, , 0 7 ) b), 0 c)(, 0 7, 0 ) Que resultdo es correcto de l siguiete operció expresd e otció cietífic: (,.0 ) (8, 0 ): ),98 0 b),98 0 c),98 0 d),98 0 Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

24 Potecis y ríces. ºB de ESO AUTOEVALUACION. El úmero 8 / vle: ) u dieciseisvo b) Dos c) U curto d) U medio.. Expres como poteci de bse cd uo de los úmeros que v etre prétesis y efectú después l operció: ( ) ( ) ( ). El resultdo es: 8 ) / b) / c) / d). El úmero: 8 es igul : ) / b) / c) / /9 d) 8. Cuál es el resultdo de l siguiete expresió si l expresmos como poteci úic?: ). b) c) d). Simplificdo y extryedo fctores l siguiete expresió tiee u vlor:. b 7. c ).. b. c b. c b). b. c. b. c c)..... c b c b d). Cuál de los siguietes vlores es igul /? ) / b) /. c) ( ) d). 7. Cuál es el resultdo de est operció co rdicles?: 8 ) 7 b) 7 c). 7 d) U expresió co u úico rdicl de: ( x ) ( x ) está dd por: ).. b. c. b. c x.( x ) ( x ) b) 8 x.( x ).( x ) c) 8 9 x.( x ).( x ) d) x.( x ).( x ) 9. Pr rciolizr l expresió: hy que multiplicr umerdor y deomidor por: ) b) c) + d) 0. Cuál es el resultdo e otció cietífic de l siguiete operció?:, ,9 0 7, 0 0 ),88.0 b),88 0 c),8 0 d),88 0 0, 0. Cuál es el resultdo de l siguiete operció expresdo e otció cietífic?: 7, 0 ) 0, b) 8,7 0 c) 8,7 0 d) 8,7.0 Mtemátics orietds ls eseñzs cdémics º B de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Autor: José Atoio Ecbo de Lucs LibrosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF