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1 Resumen Tema 2: Funciones Concepto de función. Gráficas Definición. Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R que a cada número le hace corresponder otro valor f(). f() Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f() : Domf = { R : f() R}. f : Domf R R : f(). Habrá ocasiones en que nos den una fórmula y debamos hallar el dominio en que es válida aplicarla: f() = Domf = R +. f() = Domf = R\{}. Imagen o rango o recorrido de f valores que toma f : Sea f : Domf R R Se dice que es: Imf = {f() : Domf}. Par si f( ) = f() Domf. Impar si f( ) = f() Domf. Periódica si T > : f( + T ) = f() Domf. (Representación) Gráfica de f al conjunto de puntos {(, f()) R 2 : Domf}. Funciones elementales Funciones polinómicas: p : R R : p() = a + a + a a n n donde a i R i =,, 2,..., n. Domp = R Caso n = Recta Sólo son necesarios dos valores a y La recta y = a + a

2 Caso n = 2 Parábola p() = a 2 + b + c Puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX. y A B V A, B = b ± b 2 4ac 2a Funciones racionales: f() = p() con p y q funciones polinómicas. q() Domf = { R : q() } = R\{ R : q() = }. V = ( b 2a, p( b 2a )) Función eponencial: f() = a, a R a >, R. Domf = R. Se define/construye usando sucesivamente eponentes de N, Z y Q, y se etiende a todo R usando el aioma del supremo. Propiedades: a r+s = a r a s, (a r ) s = a r s, (a b) r = a r b r Si, y R, < y : a < a y cuando a > (creciente). a > a y cuando a < (decreciente)

3 Nota: la representación de funciones inversas respecto de la composición (intercambiar papeles de las variables e y) tiene simetría respecto la bisectriz del primer cuadrante: Función logarítmica (a >, a ): f : R + R : f() = log a y y = 2 y = y = Simetría respecto la bisectriz log a = y a y = inversa eponencial. Propiedades: log a =, log a a =, log a ( y) = log a + log a y, log a ( m ) = m log a, log a y = log a log a y. a > y < < y log a < log a y. (función creciente) a < y < < y log a > log a y. (función decreciente) 2 log()

4 Funciones trigonométricas f() = sen Domf = R, Imf = [, ], 2π periódica. sin() f() = cos Domf = R, Imf = [, ], 2π periódica. cos() Teorema 3. (Pitágoras) En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: h 2 = c 2 + c 2 2. Si normalizamos: (sen ) 2 + (cos ) 2 =. 4

5 Función tangente: f() = tg = sen cos Domf = R\{ π 2 + kπ : k Z}, Imf = R, π periódica. tan() Sus respectivas funciones inversas (respecto de la división): Funciones inversas (respecto de la composición): Límites de funciones: cosec = sen, sec = cos, cotg = tg. arcsen, arccos, arctg. Definición 4. Sean f : S R R y S. Decimos que l R es el ite de f cuando tiende a, y lo denotamos f() = l si El ite, si eiste, es único. ε > δ : S con < < δ f() l ε. Ejemplo 5. f : R\{} R : sen. Se tiene que f() = (basta tomar δ = ε). Comprobar { que ocurre lo mismo con la función si Q, g() = si Q. También se puede adaptar al caso en que la función eplota f() = + f() = M > δ > : S con < < δ f() > M. M > δ > : S con < < δ f() < M. 5

6 Ejemplo 6. = +. Análogamente, el caso en que el ite eiste cuando tiende a infinito: Ejemplo 7. + = =. f() = l + f() = l ε > M > : S con M < f() l < ε. ε > M > : S con < M f() l < ε. A veces no podemos asegurar la eistencia de ite en torno a un punto, pero sí estudiar los ites laterales (por la derecha e izquierda respectivamente): f() = l + f() = l Ejemplo 8. La función parte entera E : R R verifica ε > δ : S con < < δ f() l ε. ε > δ : S con < < δ f() l ε. E() = n pero E() = n. n + n Teorema 9. Dada f : S R R se cumple que f() eiste y vale l R si y solo si eisten los ites laterales + f() y f() y tienen el mismo valor. El resultado, leído de forma negativa, dice que si los ites laterales no coinciden, no eiste ite de la función en ese punto. Teorema (Fundamental del ite). Sea f : S R R. Dado S [ ] { f() = l n } S {f( n, n n )} l. Ejemplo. Considérese f() = sen, y las sucesiones n = nπ e y n = 2πn+π/2. Se tiene que f( n) y que f(y n ) luego sen. Propiedades de ites: f() = l < c δ > : S < < δ f() < c. Análogamente con c < l. f() = l δ > : S < < δ signof() = signo l. } f() = l, g() = l, l l. δ > : < < δ f() g() f() = g() = l, δ > : < <δ g() h() f() S h() = l. Teorema 2. Sean f, g : S R R tales que eisten f() = l, g() = l. Entonces eisten los siguientes ites: [f() ± g()] = l ± l, f() g() = l l, Si l f() g() = l l. 6

7 Funciones continuas Definición 3. Sea f : S R R y S. Se dice que f es continua en cuando Esto equivale a decir que f() = f( ). ε >, δ > : < δ f() f( ) < ε. Igual que los ites laterales, podemos hablar de continuidad por la derecha e izquierda en : f() = f( ), f() = f( ). + f es continua en lo es a derecha e izquierda en. Dado A S, se dice que f es continua en A si lo es en todo punto de A. Si A = [a, b], entendemos que continuidad en a (resp. b) es por la izquierda (resp. derecha). Teorema 4. Dados f : S R R, S, f es continua en { n } S, n f( n ) f( ). Ejemplo 5. { f() = es continua en todo R. sen f() = si, es continua en todo R. si = { f() = si, no es continua en =. si = Las funciones elementales vistas antes (polinomiales, racionales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas) son continuas en sus dominios de definición. Álgebra de funciones continuas. Composición Teorema 6. Sean f, g : S R R funciones continuas en S. Entonces f ± g y f g son continuas en. Si g( ), también lo es f g. Teorema 7. Sean f : S R R, g : T R R tales que f(s) T. Si f es continua en S y g es continua en f( ), entonces la función compuesta g f es continua en. La función compuesta g f : S R R : (g f)() = g(f()). Ejemplo 8. En general g f f g. Sean f() = 2, g() = +. g(f()) = 2 +, f(g()) = ( + ) 2. Definición 9. LLamamos función inversa o recíproca respecto de la composición de una función dada f : S R y notamos f, a una función f : f(s) R tal que y f(s) f (y) = con f() = y. Se cumple entonces que (f f )() = S, (f f)(y) = y y f(s). Discontinuidad Definición 2. Decimos que f es discontinua en si no es continua en. Los posibles motivos: Domf. f(). f() f( ). 7

8 Clasificación de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable: f() (un valor finito) pero Dos ejemplos: f() = { si, si =. g() = 2 +. { f( ), f() f( ). b) Discontinuidad de salto (finito): f() que notaremos f( + + ), y f() que notaremos f( ) pero son distintos. (Al valor f( + ) f( ) se le llama salto de la función f en ). si >, f() = sig() si =, si <. c) Discontinuidad de salto infinito: cuando alguno de los ites laterales (o ambos) valen ±. Ejemplos: f() =, g() =. d) Discontinuidad esencial: f(). { sen Por ejemplo, f() = si, si =. Funciones continuas. Acotación Sea f : S R R. Se dice que f está acotada superiormente (inferiormente) si el conjunto f(s) = {f() : S} está acotado superiormente: M : S, f() M. (inferiormente: m : S, f() m.) Decimos que está acotada si lo está superior e inferiormente: M > : S, f() M. Dado un subconjunto A S, podemos considerar las propiedades de acotación de f sólo en el conjunto A. Ejemplo 2. f() = está acotada inferiormente. g() =sen está acotada. h() = 2 está acotada superiormente. j() = 3 no está acotada ni superior ni inferiormente. k() = / está acotada en el intervalo [, 2] pero no lo está en (, ). Ser continua sobre un intervalo abierto no asegura acotación. Teorema 22. (continuidad implica acotación local): f : (a, b) R, f continua en δ > : f acotada en ( δ, + δ). Si a Domf, y f es continua en a, entonces δ > : f acotada en [a, a + δ). (continuidad en intervalo cerrado y acotado sí implica acotación) f continua en [a, b] f acotada en [a, b]. Máimos y mínimos Definición 23. Sea f : S R R. Se dice que f tiene un máimo absoluto en c S (resp. mínimo) si f() f(c) para todo S (resp. f() f(c)). Se dice que tiene un máimo (resp. mínimo) relativo o local en c S cuando eiste δ > tal que f() f(c) (resp. f() f(c)) para todo (c δ, c + δ). En general hablamos de etremos para referirnos a máimos y mínimos. Teorema 24. [Weierstrass] Sea f : [a, b] R continua. Entonces alcanza máimo y mínimo absolutos. (Nota: el resultado es falso si el intervalo de partida no es cerrado o no es acotado, incluso aunque f sea acotada.) [Bolzano] f : [a, b] R continua y con signo distinto en los etremos f(a) y f(b), entonces c (a, b) tal que f(c) =. [Darbou, valores intermedios] f : [a, b] R continua. Entonces f alcanza todos los valores comprendidos entre su máimo y su mínimo. 8

9 Probar que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, y que su imagen es todo R Probar que la ecuación sen = tiene al menos una raíz real. Funciones monótonas: Definición 25. Sea f : S R R. f creciente si, y S : < y f() f(y). f decreciente si, y S : < y f() f(y). f estrictamente creciente si, y S : < y f() < f(y). f estrictamente decreciente si, y S : < y f() > f(y). En general, decimos f monótona si cumple alguno de los casos anteriores. El siguiente resultado se etiende de forma similar para funciones decrecientes. Teorema 26. Sea f : [a, b] R una función creciente. Entonces para todo c (a, b) se verifica: c f() = f(c ), c + f() = f(c+ ). Además, se cumple que f(c ) f(c) f(c + ). Para los etremos del intervalo, se tiene f(a) f(a + ) y f(b ) f(b). Una función monótona sólo puede tener discontinuidades de salto. Para las funciones continuas y monótonas estrictas, es posible construir la función inversa respecto de la composición, y es también continua y estrictamente monótona. Ejemplo: f() : R + R + : f() = n. 9

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