Dirección de Operaciones

Transcripción

1 Dirección de Operaciones

2 1 Sesión No. 3 Nombre: Método gráfico Objetivo: Al finalizar la sesión, el alumno será capaz de conocer el método gráfico y su impacto en la solución de los problemas. Contextualización Como se ha mencionado anteriormente, conforme se desarrolle el curso iremos progresando en el conocimiento de la administración de operaciones. El paso que daremos a continuación, será conocer un método específico de la programación lineal que nos permite resolver problemas para la toma de decisiones. El método gráfico es de los más sencillos dentro de la programación lineal y es precisamente por eso que su campo de aplicación puede llegar a ser más estrecho. De cualquier forma no deja de ser una herramienta sencilla y útil para los administradores de operaciones.

3 2 Introducción al Tema Gráficas para representar un problema? Al pensar en gráficas lo más común es que lo asociemos con estadísticas o representación de datos, pero no en representación de problemas. Dentro de la programación lineal el método gráfico es una herramienta que nos permite resolver problemas que presentan solamente dos variables de decisión. Tiene su sentido que sea así pues las gráficas en un plano bidimensional solamente presentan dos ejes (el horizontal y el vertical). Lo que se busca dentro de este método es representar geométricamente los componentes de un problema de programación lineal como lo son el objetivo, las restricciones y las condiciones técnicas. A lo largo de esta sesión conoceremos este método y a través de algunos ejemplos podremos ver su aplicación.

4 3 Explicación Trazo de restricciones y determinación de la solución óptima Cómo se lleva a cabo el método gráfico? Un primer paso necesario es explicar brevemente el método gráfico, ya que dentro de la explicación se expresa de modo sencillo cuáles son los pasos para realizarlo. Dado que se trata de problemas sencillos o simples, el procedimiento igualmente es relativamente sencillo. Una vez que se tiene definida la función objetivo, lo que se debe llevar a cabo es hacer el trazo de las restricciones en un eje cartesiano para las coordenadas x1 y x2 y de esta manera poder visualizar gráficamente el área de soluciones factibles al problema, es decir que cumplan con las restricciones y posteriormente con la información anterior determinar cuál es la solución óptima. Las restricciones dentro de la programación lineal pueden ser de tres tipos como ya lo hemos visto en sesiones anteriores, esto es: 1. Menor o igual a < 2. Mayor o igual a > 3. Igual a = Una vez graficadas las restricciones, a continuación, hay que determinar la solución óptima, y esto se lleva a cabo identificando el punto o los puntos dentro de la región factible que optimizan el valor deseado. Para poder visualizar lo anterior utilizaremos un ejemplo que nos permita ilustrarlo.

5 4 Casos especiales: Al referirnos a casos especiales dentro de la programación lineal, estamos hablando de aquellos casos en los cuales no se puede llegar a una solución óptima única al problema. A continuación, explicaremos cuáles pueden ser los tipos de casos especiales con los que nos podemos encontrar. Los posibles casos especiales son: Óptimos alternos: El mismo nombre nos indica a que nos referimos. Son los casos en los que no existe una única solución óptima, sino que pueden ser dos o más casos. Se puede llegar a dar este caso, pero no es lo común. Si se llegara a dar el caso de una solución de óptimos alternos, esto significa que tenemos flexibilidad para la toma de decisiones ya que podemos lograr el mismo resultado con diferentes valores (que estén dentro de la solución óptima). En este tipo de casos se pueden aprovechar en la toma de decisiones para poder elegir algunas variables que sean más convenientes, no necesariamente por valores de tipo cuantitativos, sino cualitativos. Solución no acotada También se le conoce como solución ilimitada. Ésta solución se da cuando el resultado no tiene un valor finito. Al momento de representar el área acotada o de restricciones, nos encontramos que alguna de las variables podría tener un valor que se incremente de modo indefinido y a pesar de eso siga dentro de las restricciones. Solución infactible En este caso nos encontramos con que a pesar de que se puedan encontrar al menos una solución que cumpla todas las restricciones estructurales, ésta no cumple con las condiciones de no negatividad. Es decir, al visualizarlo

6 5 gráficamente, la solución cae fuera del rango positivo que es necesario para este tipo de método. Esto se puede deber a que las restricciones sean incompatibles y por ello el problema no tiene solución. Ejemplo A continuación, presentamos un ejemplo que nos permitirá comprender mejor la explicación que se ha hecho del método gráfico. Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. (Solución de problemas de programación lineal por el método gráfico, s/f, s/p). El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de Definición del objetivo: Maximizar el ingreso total Max Z= 300 X X2 2. Definición de restricciones: a. Tiempo disponible de trabajo directo 40 X1 + 8X2 < 800 b. Tiempo disponible de revisión 10 x1 + 5 x2 < 320 c. Número máximo de liquidaciones. X2 < Gráfica de restricciones y definición de solución óptima:

7 6 Solución óptima La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima. La solución óptima es: X1 = 12 auditorías X2= 40 auditorías Z=$7600

8 7 Conclusión Hemos aprendido qué es el método gráfico dentro de la programación lineal, la forma de resolver problemas a través de este método y las aplicaciones y casos en los cuales no es posible utilizarlo. Es una de tantas herramientas que se pueden utilizar para la toma de decisiones, y por medio de un método sencillo se puede llegar a tener de forma rápida una visión de una realidad a través de una gráfica. Iremos conociendo otros métodos a lo largo del curso, lo importante es saber identificar qué método es más adecuado para la situación a estudiar y la correcta interpretación del mismo para que logren la utilidad esperada.

9 8 Para aprender más Solución de problemas de programación lineal por el método gráfico. (s/f). Consultado el 11 de julio de 2013: Velazco, C. (2013). Método gráfico programación lineal 1.Consultado el 11 de julio de 2013:

10 9 Actividad de Aprendizaje Resuelve el siguiente problema a través del método gráfico de programación lineal. (Es el mismo problema de la sesión anterior, pero ahora se busca no sólo el plantearlo, sino también resolverlo.) Una empresa fabrica dos modelos de mesas para ordenador, M1 y M2. Para su producción se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo M1 y de 30 minutos para el M2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para M1 y de 10 minutos para M2. Se dispone de 100 horas al mes de trabajo manual y de 80 horas al mes de máquina. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 1,5 y 1 para M1 y M2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Llamando: X = nº unidades producidas al mes de M1, e Y = nº unidades producidas al mes de M2, nuestra función objetivo sería: Maximizar: Z(X,Y) = 1,5X + Y y las restricciones vendrán dadas por: Sujeto a: 20X + 30Y <= 100*60 20X + 10Y <= 80*60 X >= 0 Y >= 0 Las dos últimas restricciones, si bien no constan de forma explícita en el enunciado, sí figuran de forma implícita, pues el número de mesas a producir no puede ser inferior a 0.

11 10 Bibliografía Arreola, A y Arreola J. (1984). Programación lineal, introducción a la toma de decisiones cuantitativa. (Edición preliminar) México: ITESM. Bazaraa, M. y Jarvis, J. (1981). Programación lineal y flujo en redes. México: Limusa. Cibergrafía Solución de problemas de programación lineal por el método gráfico. (s/f). Consultado el 11 de julio de 2013: HTML