Capítulo 3 Cálculo proposicional 3.5 Razonamientos con proposiciones

Transcripción

1 3.5 Razonamientos con proposiciones Si nos entregan el valor de verdad de las proposiciones simples es posible deducir el valor de verdad de la proposición compuesta. p: Holmes nació antes que Marx, es falsa q: Freud nació en el siglo XIX, es verdadera r: Einstein murió antes de 1960, es verdadera s: Freud nació en Jupiter, es falsa Holmes nació antes que Marx y Freud no nació en el siglo XIX sólo si Einstein murió antes de Holmes nació antes que Marx y Freud no nació en el siglo XIX, pero Freud nació en Jupiter o no nació en el siglo XIX Implicaciones Lógicas

2 3.6 Reglas de Inferencia Una proposición Q se puede inferir de las proposiciones P 1, P que P P... 2,..., P k P Q simbolizamos tal regla de inferencia como: 1 2 k siempre P 1 P 2 P k Q La implicación lógica modus ponens de inferencia [ p ( p q)] q corresponde a la regla P P Q Q 3.6 Reglas de Inferencia Modus ponens Modus tollens Silogismo disyuntivo Silogismo hipotético conjunción

3 El cálculo proposicional proposiciones. no permite el uso de un número infinito de Por ejemplo si tenemos n) es verdadera para toda n el único simbolismo que podriamos utilizar sería 0) 1) 2)... pero no es aceptable en el cálculo proposicional. Para solucionar este problema introduciremos un nuevo sistema de símbolos y reglas llamado cálculo de predicados. Los nuevos símbolos que utilizaremos se llaman cuantificadores. El conjunto U lo llamaremos universo de discurso o dominio del discurso. El cuantificador universal compuestas de la forma: x x, se utiliza para construir proposiciones Para toda x Para cada x Para cualquier x x U es verdadera si es verdadera para toda en, en cualquier otro caso es falsa. El cuantificador existencial compuestas de la forma: x, se utiliza para construir proposiciones Existe x tal que Hay una x tal que Para alguna x x es verdadera si es verdadera para al menos una x en U,. x p ( es falsa si es falsa para toda x en U.

4 El predicado corresponde al atributo, propiedad o cualidad de un determinado objeto. La madre de josé está casada con el padre de josé Una constante es un objeto especifico de un dominio en particular. La madre de josé está casada con el padre de josé Una variable es una generalización de un objeto específico de un dominio en particular. El escaló el Everest Una función es una transformación de uno o más elementos de un conjunto a un único valor de otro conjunto. La madre de josé está casada con el padre de josé María es madre de José ser madre (maría, José) Juan juega fútbol o tenis jugar (Juan, fútbol) jugar (Juan, tenis) Alejandra es amiga de Manuel y Gonzalo ser amiga (Alejandra, Manuel) Pedro estudia matemáticas y escucha música ser amiga (Alejandra, Gonzalo) estudiar (Pedro, matemáticas) escuchar (Pedro, música)

5 Toda persona tiene padre x tener ( x, padre) Existe alguien que juega fútbol y tenis x (jugar ( x, fútbol) Alejandra viene hoy o mañana venir (Alejandra, hoy) No Todos los niños toman leche x (tomar ( x, leche)) jugar ( x, tenis)) venir (Alejandra, mañana) Para toda x es verdadero x No existe un x tal que sea falso x [ Todos han comido pan x comer( x, pan) No para todo x es falso x [ No existe alguien que no haya comido pan x [ comer( x, pan)] Existe x tal que sea verdadero x No todos los candidatos pierden las elecciones x [ ganar( x, elecciones)] Existe un candidato que gana las elecciones x ganar( x, elecciones)

6 Para toda x es falso x [ No existe un x tal que sea verdadero x Todos los jugadores perdieron el partido x [ ganar( x, partido)] No para todo x es verdadero x No existe un jugador que haya ganado el partido x ganar( x, partido) Existe x tal que sea falso x [ No todos estudian física x estudiar( x, fisica) Existe alguien que no estudia física x [ estudiar( x, fisica)] Reglas de Inferencia para Cuantificadores Especificación Universal x, a = constante a) Generalización Universal a), a = constante x Especificación Existencial x, a = constante a) Generalización Existencial a), a = constante x

7 3.7.1 Reglas de Inferencia para Cuantificadores En términos generales la estrategia para manejar inferencias que impliquen cuantificadores se desarrolla en 4 partes. 1. Representación simbólica de las premisas en notación simbólica. 2. Representación de cuantificadores. 3. Aplicación de métodos de reducción o reglas de inferencia para obtener una conclusión sin cuantificadores. 4. Añadir cuantificadores para obtener una conclusión final Reglas de Inferencia para Cuantificadores Ejemplo: Todos los hombres son mortales, Juan es un hombre, por lo tanto Juan es mortal x [ serhombre( sermortal( serhombre(juan) sermortal(juan) 1. x [ H ( M ( 2. H ( j) M ( j)

8 3.7.1 Reglas de Inferencia para Cuantificadores 1. x [ H ( M ( 2. H ( j) M ( j) H ( j) M ( j) H ( j) M ( j) M ( j) M ( j) 1. Especificación Universal 1,2 Modus Ponens