ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

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1 CAPITULO ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA. INTRODUCCIÓN Ua la caractrítica má importat lo itma cotrol u rputa traitoria. Como l propóito lo itma cotrol proporcioar ua rputa aa, frcutmt u rputa traitoria b ajutar hata qu cumpla co la caractrítica la alia aa. E l aálii itma cotrol, b xamiar y comparar l rror fial l tao tacioario para lazo abirto y crrao.. ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO Si u itma cotrol lazo abirto figura. o proporcioa la rputa aa, toc b rmplazar por ua qu cumpla la caractrítica aa. U itma cotrol ralimtao como l la figura., prmit al igiro ajutar la rputa traitoria, amá la ralimtació imiuy igificativamt lo fcto la prturbacio, i mbargo, co la ralimtació o obti ua rputa xacta, por to, qu t capitulo tratarmo l tma l rror tao tacioario o fial tato para itma lazo abirto como crrao.

2 Uivria l Cauca 6 R _ Plata C H Figura.: Sitma Cotrol Lazo Crrao. R Plata C Figura.: Sitma Lazo Abirto. El rror u itma cotrol lazo abirto como l qu mutra la figura., tá fiio por: Eo R - C Eo -R. El rror itma cotrol lazo crrao la figura. : E C R HC E C R HEc E C H R E C R. H Para calcular l rror l tao tacioario, utiliza l torma l valor fial, l cual fi aí: lim t lim E. t S Por lo tato, uao ua traa caló uitario como traa, para u itma lazo abirto ti: lim / lim S S.4 Para u itma co ralimtació uitaria ti Aálii Rputa Traitoria

3 Uivria l Cauca 7 C lim S.5 Rcur qu la traformaa Laplac l caló uitario /. El valor para omia gaacia DC y ormalmt mayor qu la uia. Por lo tato l itma lazo abirto gralmt trá u rror tao tacioario magitu coirabl, lo cotrario ocurr co l itma l lazo crrao, o a qu l rror tao tacioario u itma lazo crrao rá muy pquño. D la cuació.4 obrva qu l itma lazo abirto pu tr u rror tao tacioario cro, úicamt ajutao para qu a igual a la uia, lo cual o ocurr co l itma lazo crrao, la caractrítica l por qu utiliza ralimtació para lo itma cotrol, p a qu lazo abirto logro u rror cro, raica au lograo calibrar para qu lazo abirto tga u rror tao tacioario cro, l itma afctao por l ambit l cual trabajo lo qu ocaioa qu lo parámtro la plata cambi lo qu hac qu la gaacia c l itma ya o a la uia y por tal motivo l rror a ifrt cro, cambio para u itma lazo crrao o co ralimtació logra miimizar lo fcto la variació lo parámtro la plata lo qu hac qu la caractrítica l too l itma matga cotat, lograo poca variació l rror tao tacioario, l iguit jrcicio motrará ta caractrítica. Ejmplo.: Daa k/τ. Dtrmiar l rror tao tacioario lazo abirto y crrao a ua traa caló uitario. Para l itma lazo abirto ti: o lim lim k Para l itma lazo crrao: Ralimtació Uitaria C lim S Para l itma lazo abirto calibra k forma qu obtga u rror tao tacioario cro, para l itma lazo crrao upogamo u valor K, toc l rror c /; k Aálii Rputa Traitoria

4 Uivria l Cauca 8 Si la coicio ambital l itma y hac qu la calibració cambi u %, l rror tao tacioario para l itma lazo abirto o. y l cambio l ajut calibrao : o r t. % Para l itma lazo crrao ti qu c /9, toc l cambio l rror tao tacioario : c. 9 y l cambio rlativo : c r t..% S pu obrvar qu la variació lo parámtro la plata afcta mor proporció al itma lazo crrao.. ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO PARA SISTEMAS DE PRIMER Y SEUNDO ORDEN El fucioamito l omiio l timpo muy importat para l aálii l comportamito lo itma cotrol, para facilitar t aálii rcurr a alimtar lo itma co ñal pruba, la cual o a ua viió gral l comportamito la plata, ta ñal pruba o: l caló, la rampa y la parábola ormalizaa. E la tabla. cutra la fiició la ñal y u rpctiva traformaa Laplac. Sñal Pruba rt R Ecaló rt A, t> RA/, t< Rampa rt At, t>, t< RA/ Parabólica rt At, t>, t< RA/ Tabla. Aálii Rputa Traitoria

5 Uivria l Cauca Aálii Rputa Traitoria 9 Figura.: Sñal Pruba. Tio cuta la fiició rror tao tacioario, la tabla. prta la cotat l rror para traa como l caló, rampa y parábola para itma lazo crrao, qu l itré t curo. La cotat rror para u itma co traa caló fi aí: p S C k lim H H lim Para la traa rampa, la cotat rror v S C k lim H H lim lim Y para la traa parábola a S C k H lim H lim lim Sñal Etraa Cotat Error Ecaló p S k H lim /k p Rampa v S k H lim /k v Parábola a S k H lim /k a Tabla. Do H la fució trafrcia l bloqu ralimtació y la fució trafrcia l proco... Error Etao Etacioario para Sitma Primr Or U itma primr or aqul cuya máxima potcia l omiaor uo, u jmplo t tipo itma : t A rt t rt t rt

6 Uivria l Cauca FTHC/R/τ La figura.4 mutra l iagrama bloqu l itma primr or. R τ C R _ τ C a b Figura.4: Sitma Primr Or. a E lazo abirto, b E lazo crrao. Ejrcicio. Dtrmiar l rror tao tacioario l itma primr or itificao por la iguit fució trafrcia. FTF/ Sñal traa: Ecaló Uitario E lazo abirto: lim lim S S E lazo crrao Ralimtació uitaria lim lim S H S Sñal traa: Rampa E lazo abirto lim S lim S lazo crrao Ralimtació uitaria k v lim S H lim S Aálii Rputa Traitoria

7 Uivria l Cauca /k v Para ua ñal traa parabólica l rror tao tacioario ifiito tato para l itma lazo abirto como crrao, la comprobació qua como jrcicio para l lctor. A cotiuació prta lo programa Matlab para trmiar la rputa para l itma primr or l jrcicio atrior. Programa para ua traa caló: um[]; % Dfiició l Numraor [ ]; % Dfiició l Domiaor gtfum,; % Fució Trafrcia % E Lazo abirto tpg,'.' % Rputa al caló % E lazo crrao gcfbackg,; % Co ralimtació uitaria hol o; tpgc lg Lazo Crrao, Lazo Abirto E la figura.5 mutra la rputa al caló. La lía putaa corrpo al itma lazo abirto y la lía cotiua al itma lazo crrao, comprobao aí l rror tao tacioario qu rulto l proco matmático. Figura.5: Rputa al Ecaló /. Aálii Rputa Traitoria

8 Uivria l Cauca.. Error Etao Etacioario para Sitma Sguo Or Ejrcicio.: Ecotrar l rror tao tacioario para la traa caló, rampa y parábola l iguit itma guo or. FTF/ Para l aálii rror tao tacioario olo trá cuta lo itma ralimtao qu o l itré t curo. La ralimtació uitaria. Sñal traa: Ecaló Uitario k lim H lim p S S / k p Sñal traa: Rampa k lim H lim v S S / kv Sñal traa: Parábola k lim H lim a S S / k a El iguit programa Matlab mutra la rputa a la rampa. um[]; [ ]; ftfum,; t;.;; % Dfiició timpo graficació tu; % Dfiició Rampa limfbackf,,u,t,'-'; % ráfica la alia a u traa arbitraria hol o plott,u,'.' % ráfica la Rampa gri o Aálii Rputa Traitoria

9 Uivria l Cauca Figura.7: Rputa a la Rampa. E la iguit tabla prta l rror tao tacioario para itma ifrt or. Sñal Etraa r Or o Or r Or Ecaló /k p Rampa /k v Parábola /k a Tabla. El rror tao tacioario o p la fució trafrcia l itma ralimtao, io, la fucio trafrcia l proco y l bloqu ralimtació. A cotiuació prta u jmplo l qu mutra ta avració. Ejmplo.4 Dtrmiar la fució trafrcia y l rror tao tacioario lo itma la figura.8 R / _ C R _ / C a b Figura.8: Sitma Ralimtao. Aálii Rputa Traitoria

10 Uivria l Cauca 4 La fucio trafrcia lo itma a y b la figura.8 o igual, ahora trmiará l SS para caa itma a ua traa caló. Para l itma a: k lim H lim S S / k / p Para l itma b: k p lim H lim S S / k p.4 ANALISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA El aálii itma iámico a partir la fució trafrcia H, facilita l tuio la tabilia rlativa l proco o plata. La fució F la gaacia trafrcia U a Y omiaa Fució Trafrcia l itma. Si la traa ut la fució impulo uitario δt, toc yt la rputa l itma al impulo, la traformaa Laplac ut, toc la fució trafrcia rá. Y F Por lo tato la fució trafrcia F la traformaa Laplac la rputa al impulo uitario ft E otra palabra, í a caractrizar u itma lial ivariat l timpo, aplica u impulo uitario, la rputa rultat la fució trafrcia l itma. La fució trafrcia u itma cotrol ralimtao la figura. ta aa por: F.6 H Al omiaor la cuació.6 l llama fució caractrítica l itma. T H.7 Aálii Rputa Traitoria

11 Uivria l Cauca 5 El aálii tabilia rlativa u itma part l tuio la raíc la fució caractrítica o polo l itma, otro apcto a tr cuta, l qu la rputa traitoria u itma ta formaa por térmio xpocial y oial. La figura.9 prta l comportamito la alia u itma cotrol ralimtao pio la ubicació la raíc T. jw x x x x x x x x x x x x x σ Figura.9: Comportamito co Rpcto a la Ubicació la Raíc TH. U itma itabl i la part ral la raíc T poitiva. D la figura.9 cocluy qu: Si la part ral la raíc T poitiva toc la ñal alia crc bio a σt. Si la part ral la raíc T cro toc la ñal alia cotat bio a. Si la part ral la raíc T gativa toc la ñal alia crc bio a -σt. Para l aálii l traitorio la ñal alia u itma cotrol tomará como rfrcia la cuació gérica u itma guo or co ralimtació. Aálii Rputa Traitoria

12 Uivria l Cauca 6 F w εw w.8 Do w la frcucia atural l itma y ε l coficit amortiguamito. Lo polo y la rlació co lo parámtro w y ε la fució.8 o u itma guo or gérico prta la figura., upo raíc co part ral gativa. jw x θs - ε w w σ σ Figura.: Ubicació Polo Compljo Cojugao. Do σ w ε y w w ε. La raíc la cuació.8 o: ε ± εw 4ε w 4w P, ± w ε.9 D la cuació.9, ti qu: Sí ε toc P, ± jw. Sí <ε < toc P, w - ε ± j-ε /. Sí ε toc P, -ε w. Sí ε > toc P, w - ε ± ε - /. D la figura. pu aprciar lo iguit: Si θ, la rputa l itma cotrol ralimtao rá ocilatoria co amplitu cotat, bio a qu la raíc la fució caractrítica o imagiaria pura. Como θ S - ε toc ε, lo qu iica qu í l coficit amortiguamito cro l itma guo or ralimtao uitariamt toc rputa l itma rá ua ñal ocilatoria amplitu cotat alror l t-poit. Aálii Rputa Traitoria

13 Uivria l Cauca 7 Por otra part i θ 9, l coficit amortiguamito y la raíc la fució caractrítica o ral gativa pura, por tato la rputa l itma crc bio a la fució xpocial -σt y o prtará ocilacio. Por lo tato pu ucir qu tr ma crca l j imagiario cutr la raíc la fució caractrítica, l máximo obr impulo rá mayor, al igual qu l timpo tablcimito. E l iguit programa Matlab compruba miat imulació l aálii ralizao co rpcto a la variació ε. % % % Aálii Sitma Sguo Or % % % w; for :.4:.; um[w*w]; [ **w w*w]; Platatfum,; Plata_RfbackPlata,; hol o tpplata_r,; lg'','.4','.8','.' D la figura. pu comprobar qu tr má crca l j imagiario cutr la raíc la fució caractrítica, l itma prtará ocilacio mayor magitu. La figura. mutra la rputa al caló uitario u itma guo or co w y ε.5, ta gráfica prta la ifrt caractrítica la rputa traitoria, como o: l timpo lvació, timpo tablcimito y l máximo obr impulo, rcur qu como l itma guo or y la ñal traa l caló uitario toc l rror tao tacioario cro. Aálii Rputa Traitoria

14 Uivria l Cauca 8 Figura.: Rputa al Ecaló u Sitma Sguo Or..4. Aálii l Timpo Elvació t r. El t r fi como l timpo qu tara la ñal alia ir l % al 9% l valor fial. M p t t r Figura.: Rputa al Ecaló U Sitma Sguo Or. ε.5 Aálii Rputa Traitoria

15 Uivria l Cauca 9 Para < ε < l timpo qu tara la ñal alia ir a % al % promio.5 g w t, y l timpo lvació promio.8 g w t r, por lo tato ti: tr.8 / w. Rcur qu ta cotat trmiaa mpíricamt..4. Aálii l Máximo Sobrimpulo M p. El máximo obr impulo la ifrcia tr l máximo valor qu toma la ñal alia la primra ocilació y l valor fial qu toma la ñal alia. Para trmiar l M p b rivar la ñal alia l omiio l timpo igualarla a cro, pata aí hallar la frcucia para la cual la ñal alia alcaza u valor máximo y lugo por utitució trmia la magitu la ñal alia a la frcucia o ocurr l máximo. Para ua tra caló la ñal alia : w C w w. Aplicao atitraformaa Laplac: - σt σ C co wt wt c t w. Do w w ε y σ ε w. c t t c t t σ σt co w σ t w w t σ σ σ w wt w w t t σt w w t σ co w t Para qu la atrior iguala cumpla rquir qu w tπ. Ahora utituy w tπ ct. σ π σ π w σ w c t M p co π π w Aálii Rputa Traitoria

16 Uivria l Cauca c t M p εw π w ε επ ε επ ε M p Para <ε<...4. Aálii l Timpo Etablcimito t El t fi como l timpo qu tara la ñal alia tar alror % u valor fial. Para calcularlo matmáticamt b rcorar qu l factor qu gra l amortiguamito la ñal alia -σt, toc: σt εwt. εw t 4.6 t 4.6/εw 4.6/σ.4 La rlacio M p, T r y T olo o valia para itma guo or qu o tga cro..5 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ Ua caractrítica muy importat l traitorio u itma cotrol u tabilia, u itma tabl i u rputa limitaa, otra palabra, ic qu u itma tabl i a ua traa o prturbació la alia magitu limitaa. D acuro co la figura.9, u itma tabl i lo polo l itma ti part ral poitiva, ta coició caria para trmiar la tabilia u itma ralimtao, pro o uficit; cir qu u itma au tio toa la raíc u fució caractrítica co part ral gativa pu r itabl. El critrio Routh-Hurwitz uficit y cario para trmiar la tabilia itma lial y baa l oramito lo coficit l poliomio caractrítico qu prta la cuació.5. Ta a - - a a a.5 El oramito lo coficit mutra a cotiuació: Aálii Rputa Traitoria

17 Uivria l Cauca - - M a a b - c M a - a b - c M a - 4 a b - 5 c M L L L L L L L Do b [a - a - - a a - ]/a - b [a - a -4 - a a -5 ]/a - c [b a - - a - b ]/b Aí ucivamt, hata compltar l arrglo. Para aplicar l critrio Routh-Hurwitz cario qu iguo lo coficit l poliomio caractrítico a cro, otra palabra l poliomio caractrítico l itma b tr la forma qu mutra la cuació.5. El critrio Routh-Hurwitz tablc qu l úmro cambio igo la primra columa l arrglo igual al úmro raíc co part ral poitiva qu ti l itma. Para qu u itma a tabl o b prtar cambio igo la primra columa l arrglo Routh-Hurwitz. Exit tr cao ifrt qu b tratar forma ipit, to o: Nigú lmto la primra columa cro. Cro la primra columa, co alguo lmto la fila qu coti u cro ifrt cro. Too lo lmto ua fila igual a cro. A cotiuació prtará caa cao por mio jmplo ilutrativo. Cao I: Nigú lmto la primra columa cro. Ejmplo.5 Dtrmiar la tabilia u itma cotrol ralimtao qu ti la iguit fució caractrítica: Aálii Rputa Traitoria

18 Uivria l Cauca T 4 El arrglo Routh-Hurwitz rá: b c 4 b -4/ - y c 4b /b 4 Primra columa Como aparc o cambio igo la primra columa, toc xit o raíc co part ral poitiva l plao compljo, por lo cual uc qu l itma itabl. Cao II: Cro la primra columa, co alguo lmto la fila qu coti u cro, ifrt cro. Para t cao l cro la columa rmplaza por ε qu u úmro poitivo qu ti a cro. Ejmplo.6 Daa la iguit fució caractrítica, trmiar la tabilia l itma por mio l critrio Routh-Hurwitz: T El arrglo Routh-Hurwitz : 5 4 ε c 4 6 c 4ε-/ε -/ε y 6c -ε/c 6 Hay o cambio igo la primra columa l arrglo Routh-Hurwitz, por lo tato l itma itabl ya qu prta o raíc co part ral poitiva. Aálii Rputa Traitoria

19 Uivria l Cauca Cao III: Too lo lmto ua fila igual a cro. Ejmplo.7 Por mio l critrio tabilia Routh-Hurwitz, trmi la tabilia l itma qu ti l iguit poliomio caractrítico: T El arrglo Routh-Hurwitz : Como pu obrvar la fila corrpoit a ta cotituia por cro, lo cual impi cotiuar co l procimito para compltar l arrglo, para olvtar t icovit toma l poliomio grao por la fila atrior a la fila cro t cao y riva co rpcto a par obtr ua uva fila y aí cotiuar. 6/t 4 El arrglo Routh-Hurwitz rá: Nuva fila Hay o cambio igo la primra columa l arrglo Routh-Hurwitz, por lo tato l itma itabl ya qu prta o raíc co part ral poitiva. Ejmplo.8 Dtrmiar lo rago k y a para qu l itma rprtao por la figura. a tabl. Aálii Rputa Traitoria

20 Uivria l Cauca 4 _ k a Figura.: Sitma Cotrol Ralimtao. Primro trmia la fució caractrítica l itma: F/H Etoc k a F k a k a k a F 4 6 k a 6 k ak la fució caractrítica l poliomio l omiaor la fució trafrcia, aplicao l critrio Routh-Hurwitz, tmo: k 6 6 k6 k 6ak 6 k ak 6 k ak ak Para qu l itma a tabl 6-k > y 6-k6k6ak > Por lo tato; k < 6 y a 6-k6k/6k Para u cao particular í k toc a. Aálii Rputa Traitoria