CAPÍTULO VII ANÁLISIS ELECTROMAGNÉTICO DEL MOTOR DE CHAPAS

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1 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas 7 CAPÍTULO VII ANÁLII ELECTROMAGNÉTICO DEL MOTOR DE CHAPA 7. INTRODUCCIÓN En este capítulo se deducrán unas expresones que permtan hallar en cualquer punto del motor con rotor de s (sea entreherro, rotor o estator), la nduccón magnétca, la densdad de corrente y la tensón nducda. Para proceder a este análss se han segudo unas pautas para la confeccón de las ecuacones. Así en prmer lugar se deducen las ecuacones que permten hallar el campo magnétco creado por el estator en cualquer punto del rotor. egudamente se vuelven a realzar los cálculos para otro punto del rotor. Conocdas estas dos nduccones, es posble hallar la tensón entre estos dos puntos, y con esta tensón se halla la densdad de corrente que se genera en las s del rotor al estar sometdas al campo magnétco del estator. A partr de aquí es posble obtener el resto de las magntudes requerdas. La deduccón de estas expresones conlleva una certa dfcultad, por lo que aparte de ser deducdas se acompañará una breve explcacón del proceso de obtencón. 7. ANÁLII ELECTROMAGNÉTICO DEL MOTOR A 000rpm CON ROTOR DE CHAPA TIPO A El motor analzado es el motor de dos polos con rotor de s magnétcas tpo A, el cual ha sdo consderado en conjunto como el más equlbrado en sus prestacones. Para este motor se han determnado las ecuacones analítcas, que una vez valdadas, servrán de base para conocer el comportamento electromagnétco del msmo. 7.. Campo electromagnétco creado por las ranuras del estator (βs) En un momento de funconamento cualquera, por las ranuras del estator crculan unas correntes con un sentdo determnado. Estas ntensdades crean en su entorno un campo magnétco de dreccón y sentdo acorde con las propas correntes que lo orgnan. Las líneas del campo magnétco {L-6} creadas por cada una de las ranuras del estator cortará las s del rotor en un punto cualquera P, defndo por las coordenadas polares (ρ, α) como queda reflejado en la sguente fgura. Fgura 7.. Campo magnétco creado por la corrente de una ranura del estator en un punto P. Tess Doctoral Ramón Mª Mujal Rosas

2 8 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas La ntensdad de cada ranura del estator vendrá determnada por: I R [7.] e e m Donde: I e ntensdad que crcula por una ranura del estator (A) e campo magnétco creado por la ntensdad I e en un punto P, del motor (T) R m reluctanca magnétca del crcuto magnétco creado (H - ) superfce que atravesa el magnétco (m ) Fgura 7.. Determnacón gráfca de la superfce que atravesa el magnétco. La seccón que atravesa el magnétco en un momento determnado vendrá determnada por la sguente ecuacón. R senϕ [7.] L rotor Donde L rotor es la longtud del núcleo de s del rotor en metros. Aparte, podemos escrbr: R cos ϕ ρ cosϕ [7.] ρ cos α senϕ [7.4] R Con lo que podemos deducr la expresón para la seccón que atravesa el magnétco: R ( ρ cosα) [7.5] L rotor Por su parte, la reluctanca magnétca {L-6} en H -, vendrá defnda por: Donde: L R m [7.6] µ µ L longtud del recorrdo del magnétco (m). µ o 4 π 0-7 permeabldad magnétca del are (H/m). o r Motor Asíncrono Trfásco con Rotor de Chapas en Espral

3 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas 9 µ r permeabldad magnétca relatva del materal. multplcamos la seccón que atravesa el magnétco por la reluctanca obtenemos la expresón. L L R m [7.7] µ µ o µ r µ o r Con lo que la ntensdad (en A) que crculará por una ranura vendrá dada por: I e L e [7.8] µ µ o r Lo que permte expresar la nduccón magnétca (en T) de la sguente forma. e µ o µ r I e [7.9] L Esta expresón no ofrecería problema s solamente exstera un materal en el trayecto del magnétco, pero esto no es así ya que coexsten en este trayecto are y magnétca. La magnétca del rotor, a efectos de cálculo, puede consderarse semejante a la del estator sn ocasonar errores en los resultados de estas ecuacones. Por tanto, resulta mprescndble conocer la longtud que exstrá de are {L-6} y de magnétca en el recorrdo de las líneas de que pasan por el punto P, escogdo. Donde: L n e + δ [7.0] are v are L are longtud del recorrdo del magnétco por el are (m). n v número de s que atravesan las líneas del magnétco. e are espesor del are entre dos s magnétcas (m). δ espesor del entreherro (m). Para la determnacón del número de s que atravesan las líneas del magnétco, nos puede ayudar la sguente fgura. Fgura 7.. Determnacón gráfca del número de s (n v ), atravesadas por las líneas de magnétco que pasan por un punto P. Tess Doctoral Ramón Mª Mujal Rosas

4 40 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas El número total de s magnétcas del núcleo del rotor es un dato, por lo que resulta sencllo determnar cuantas s exstrán en un radan. n s nstotales radan [7.] π Debemos conocer ahora el ángulo en radanes que abarcará la línea de magnétco que pasa por el punto P, por lo que será necesara la determnacón de los ángulos (β y β ). ρ R rotor Fgura 7.4. Condcones geométrcas que permtan la determnacón del número de s n v. La crcunferenca que marca el núcleo del rotor esta defnda por: x y + [7.] R rotor Mentras que la crcunferenca que forma la línea del magnétco que pasa por el punto P, analzado es: ( R cos α x) + (R senα y) r [7.] Con la resolucón de estas dos ecuacones obtenemos los pares de puntos (x, y ) y (x, y ), con lo que ya será posble la determnacón de los ángulos (β y β ). y β grados Arctg En grados. x y β grados Arctg En grados. x π β radanes β grados En radanes [7.4] 60 π β radanes β grados En radanes [7.5] 60 Ahora ya es posble determnar el número de s n v que es atravesado por una línea del magnétco que pasa por el punto P. nstotal n v ( β β ) [7.6] π Con lo que queda determnada la longtud de are que se encuentra en una línea de magnétco que pasa por un punto P, orgnada por una ranura. Mentras que la longtud de las s magnétcas atravesadas por el magnétco es: L π r ( n e + δ ) [7.7] s v are Motor Asíncrono Trfásco con Rotor de Chapas en Espral

5 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas 4 Donde: L s longtud del recorrdo del magnétco por las s magnétcas (m). r rado de la crcunferenca que envuelve desde la ranura analzada al punto P (m). Así, la nduccón magnétca {L-6} (en T), orgnada por la corrente que crcula por una ranura del estator sobre un punto P, será: I I I [7.8] R L m total Lare LFe + µ µ µ µ µ o r o o rfe Ecuacón de la cual se conocen todos los térmnos. Las ecuacones de las longtudes del rotor y del estator están determnadas por la dstanca r, del punto analzado a la ranura del estator consderada. Esta dstanca es funcón del ángulo α, y del rado ρ, pudéndose escrbr la sguente relacón medante el teorema del coseno. r R + ρ ρ R cos( α α ) [7.9] endo los ángulos y dstancas los mostrados en la sguente fgura: Fgura 7.5. Relacones trgonométrcas del punto P, consderado respecto a la ranura del estator. Fgura 7.6. Relacones trgonométrcas que permten obtener las componentes cartesanas del campo magnétco en el punto P. Tess Doctoral Ramón Mª Mujal Rosas

6 4 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas Por lo que tendremos para la poscón partcular dada en la fgura 7.6, las sguentes relacones trgonométrcas: Y de aquí podemos deducr el cos γ, y el sen γ. r cos( γ 90º ) R cosα ρ cosα [7.0] r sen( γ 90º ) R senα ρ senα [7.] R senα ρ senα [7.] R + ρ R ρ cos( α α ) R cosα ρ cosα [7.] R + ρ R ρ cos( α α ) Conocdos estos ángulos y el módulo del campo magnétco dado en la ecuacón [7.8], podemos deducr las dos componentes rectangulares que lo forman, así como el campo magnétco total. [7.4] x y [7.5] + j [7.6] x Con lo que ya tenemos determnado el campo magnétco en el punto P, orgnado por la corrente que crcula por la ranura, del estator. Pero el punto P, no sólo estará afectado por el campo magnétco orgnado por la ntensdad de esta ranura, sno que estará afectado por el resto de las ntensdades que crculan por las 6 ranuras que forman el estator. Aparte, estas ntensdades no estarán en fase como corresponde a un sstema de almentacón trfásco equlbrado. Es decr, al exstr tres fases, exsten tres ntensdades dferentes. Fase R: t) I cos wt [7.7] ( max Fase : ( t) I max (cos wt 0º ) I max cos wt + I maxsenwt [7.8] Fase T: ( t) I max (cos wt 40º ) I max cos wt I maxsenwt [7.9] Estas ntensdades afectarán de forma dferente a cada ranura del estator, creando unos campos magnétcos en concordanca. Así para la componente en x, del campo magnétco tendremos [7.0]. y ( x total x x + x x + x 9 5 cos ) ( cos cos + cos x γ + cos ) 7 x γ x γ x γ 5 x γ 7 Que ordenando térmnos nos quedará [7.]: Motor Asíncrono Trfásco con Rotor de Chapas en Espral

7 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas 4 xtotal x + x x x x + x x x cos x x γ 7 5 Por tanto, fnalmente podemos expresar la componente de la nduccón total en x, como: Y para la componente en y, tendremos [7.]: x total g cos wt + m senwt [7.] ( y total y y + y y + y 9 5 ) ( y + ) 7 y y y 5 y 7 Que ordenando térmnos nos queda [7.4]: ytotal y + y y y y + y y y y y 7 5 Fnamente, podremos expresar la componente total de la nduccón en y, de la forma: y total ' g cos wt + ' m senwt [7.5] endo la expresón del campo magnétco total creado por el estator sobre un punto P: total x total + ytotal ( t ) [7.6] t Artg total y α ( ) [7.7] Total totalx Todo este proceso que nos ha permtdo determnar la nduccón magnétca total creada por el estator en un punto P, debe volverse a repetr para otro punto Q, stuado asmsmo en el nteror del rotor. El cálculo de la nduccón total en un segundo punto es necesaro para la determnacón de la f.e.m nducda y de la ntensdad ya que permte la dervada de los campos totales en cada uno de los puntos, lo que nos permtrá obtener la dferenca de tensón entre los dos puntos, y fnalmente gracas a este voltaje, hallar la ntensdad que crcula por este sector. 7.. Fuerza electromotrz creada por el campo magnétco orgnado en el estator (Es) El campo magnétco del estator orgna un magnétco senodal, que nduce según la ley de Faraday-Lenz una fuerza electromotrz {L-4} en cada punto del motor, y en concreto de las s del rotor. Esta f.e.m nducda vendrá determnada por la expresón dada para la corrente que crcula por la ranura,. φ E N N p q [7.8] La seccón de las s es práctcamente constante, ya que al grar el motor al msmo tempo que el magnétco, práctcamente no exste varacón de la superfce atravesada ( ) por el, consderándose asmsmo por ahora que N. Tess Doctoral Ramón Mª Mujal Rosas

8 44 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas E total s otal total k [7.9] I Por tanto, vemos que lo que realmente varía respecto al tempo es la ntensdad,. t) I cos wt [7.40] ( max ( max max t) k I cos wt cos wt [7.4] De forma que: I max max k [7.4] endo la densdad de corrente {L-6} J, que crcula por el punto P. J E E [7.4] Z ( R + jx ) Donde la superfce consderada para el magnétco es la mostrada en la fgura sguente. L Fgura 7.7. uperfce atravesada por una línea de magnétco que pasa por el punto P. La resstenca de las s {L-6} puede determnarse de forma expermental, o ben por medo de la sguente expresón. L R ρ [7.44] endo la seccón de una que atravesa la ntensdad, la que se refleja en la sguente fgura. Fgura 7.8. eccón equvalente de una al paso de la ntensdad Motor Asíncrono Trfásco con Rotor de Chapas en Espral

9 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas 45 De esta ecuacón [7.44] conocemos todos los térmnos excepto la nductanca L la cual resulta problemátca de cálculo. Para evtar el cálculo drecto de la nductanca L recurrmos a otra expresón en la que la densdad de corrente es funcón de la conductvdad de las s σ y la fuerza electromotrz. J V V σ E σ ( V ) σ ( V ) σ s, [7.45] x y Donde la conductvdad de las s, una vez conocdo el materal, es perfectamente determnable por catálogo, osclando su valor entre y 6 (M/m). Por otra parte, las tensones V, deben defnrse en funcón de las coordenadas polares (ρ,α). Para hallar la f.e.m (E), podemos aplcar la sguente fórmula: endo la superfce atravesada por el : ( V ) E Total d + e total dl rotor [7.46] ( ρ cosα ) Lrotor R [7.47] Por tanto, tendremos: L ( R x ) [7.48] rotor endo el número de s entre los puntos P y Q: Por otra parte el dferencal de superfce será: d Y la velocdad V e, puede expresarse como: 70( α p α q ) N [7.49] π Lrotor ( x dx [7.50] ( R x ) ) V e s ρ ( uϕ ) [7.5] Donde: s deslzamento del motor. w pulsacón de la red. u ϕ vector untaro en la dreccón ndcada en la fgura 7.9. Con estas relacones podemos expresar la velocdad en el punto P, en funcón de (x,y) de la sguente forma [7.5]. V e s ( u ) ( s ρ sen(80º α )),( s ρ cos(80º α )) ( s ρ senα),( s ρ cosα) (( s y),( s x)) ρ ϕ Ahora ya es posble defnr la f.e.m nducda {L-6} en funcón de los parámetros conocdos [7.5]. E Total d + Lrotor ( V ) dl ( x) dx + total rotor total( x, y) ytotal ( R x ) swy swx 0 0 xtotal dl rotor Tess Doctoral Ramón Mª Mujal Rosas

10 46 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas Como la segunda ntegral es constante (ecuacón [7.46]), tendremos en defntva para la f.e.m nducda [7.54]: E Total d + Lrotor ( V ) dl ( x) dx + [ s y s x ] total rotor total( x, y) ytotal xtotal ( R x ) Es decr, sólo es necesaro calcular la prmera ntegral, la cual no ofrece mayores problemas. Fgura 7.9. Relacones trgonométrcas para hallar la velocdad perférca en el punto P. Conocda la f.e.m (E) y la conductvdad {L-6} de la (σ), es posble calcular la densdad de corrente que atravesara la sendo esta: J σ E σ ( V ) [7.55] Por lo que la ntensdad que pasará por la será. I J N [7.56] Y conocendo la ntensdad que pasa a través de la podremos hallar la mpedanca de la msma: E Z [7.57] I La cual puede expresarse en funcón de la resstenca y reactanca de las s. Z R + X [7.58] Y como la resstenca de la es conocda medante la ecuacón: L R ρ [7.59] Podremos determnar la reactanca nductva de la, y fnalmente la nductanca de la msma: X Z R [7.60] L X π f [7.6] Con lo que quedan defndos todos los térmnos electromagnétcos de las s. 7.. Campo electromagnétco creado por el rotor (βr) Una vez determnado el campo magnétco creado por las correntes del rotor sobre los puntos P y Q, defndos y la f.e.m que este campo magnétco nduce en el rotor, pasamos a calcular el campo que genera esta f.e.m en el rotor {L-}. Motor Asíncrono Trfásco con Rotor de Chapas en Espral

11 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas 47 El problema de este cálculo pasa por asmlar las s con su curvatura característca a una sere de segmentos rectos que pasarían por su centro. Esta aproxmacón, dsmnuye enormemente la dfcultad del análss sn perjudcar práctcamente los resultados. Así, el perfl de una puede asmlarse al conjunto de segmentos que muestra la fgura 7.0. Donde las L, son las longtudes de cada segmento y las k, son las correntes que se generan en cada segmento. Fnalmente R est es el rado del estator. La aportacón de k es nsgnfcante ya que toda la corrente se concentra en la parte superor de la, por lo que puede desprecarse esta aportacón sn que los resultados vean mermada su precsón. De forma general podemos escrbr para los dos prmeros segmentos: α 0º α 50º L L cons tan te cos tan te k k cons tan te cos tan te [7.6] u X L α K R(/ α L K u X R/ L K Rotor Fgura 7.0. Parámetros de cálculo para la obtencón de la nduccón magnétca en el rotor de s. endo los campos magnétcos {L-40} creados por cada uno de los segmentos en los que se ha dvddo la curva de las s (se dan los dos prmeros segmentos con sus componentes en (x)): k L k L H x u x ( cosα, senα) [7.6] x x α k L k L H x u '' x (cosα, sen ) [7.64] x x u x u x α u x α u x 0 0 u' x cosα u v x u' x cosα u x r u ' x senα u y u' x senα u y Fgura 7.. Detalle de los vectores untaros con sus ángulos y sus relacones trgonométrcas. Tess Doctoral Ramón Mª Mujal Rosas

12 48 Capítulo VII. Análss Electromagnétco del Motor de Chapas Donde: x y x + [7.65] Por tanto podemos escrbr: ( ( x, y ) ( Reje, R R )) ( x, ) eje + y [7.66] Y de forma general tendremos: x, y) ( x, y) + ( Reje L cosα ), R Reje + ( L senα ) [7.67] ( Quedando la ecuacón para el prmer segmento (): x, y) ( x cosα, y senα) + ( Reje L cosα ), R Reje + ( L senα ) [7.68] ( x ( Reje L cosα ) x [7.69] cosα Y para el segmento segundo segmento (), tendremos: ( x, y) ( x cosα, y senα ) + ( Reje ), R Reje [7.70] x ( Reje x) [7.7] cosα Con lo que extrayendo el módulo e mplementando obtendremos: H K L K L H + H ( cosα, senα) + ( cosα, senα ) [7.7] x x Fnalmente, como este rotor de s tpo A, contene 50 s, cada una de ellas grará un ángulo expresado en grados de valor: 60 º 4º Por lo que: α º α + 4 [7.7] 50 endo la aportacón de corrente k, que cada segmento dará en funcón de (r,t): H T H K L K L ( cosα, senα ) + x x 50 T ( cosα, senα ) µ o µ s [7.74] Fnalmente, se anexa el algorítmo de cálculo mplementado en Maple {L-57}, que permte hallar las magntudes electromagnétcas deducdas anterormente. En este algortmo, se ndcan en forma de texto, los pasos a segur y las ecuacones empleadas en su confeccón, lo que permte un segumento más cómodo del método. Motor Asíncrono Trfásco con Rotor de Chapas en Espral