SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del vector AB son. Cuáles serán ls coordends de B si ls de A son? AB A Bx y = x y = x y + x = x = 0 y + = y = Ls coordends de B son 0. Cuáles son ls coordends de los vectores u y v? b Dibuj el vector u +v y di cuáles son sus coordends. u v u + v u v u 7 y v 0 b u+ v = = 7 6 Ddos los vectores u y v : Represent los vectores u + v ; u v ; u y v y hll sus coordends. b Cuáles son ls coordends del vector w = u + v? u v u+ v = + = u v = = 6 v u = = v = = 6 u u + v u v u v v b w = u+ v = + = 7

2 8 Pág. Represent los vectores u = x + y + z y v = x + y z siendo x y 0 y z. b Hll ls coordends de u y v y comprueb si son igules. y v x z x z u y b u= x+ y+ z = = 8 u= v v= x+ y z= + 0 = 8 6 Hll los puntos medios de los segmentos AC y BD. B0 C A 0 D 0 b Hll ls coordends de los vectores AB y DC y comprueb que son igules. A 0 y C Punto medio M = = B0 y D 0 Punto medio M = = b AB = 0 0 = ; DC = 0 = 7 El punto medio de un segmento es M0 y uno de sus extremos es 7. Cuál es el otro extremo? Llmmos x y ls coordends del otro extremo del segmento: x +7 = 0 x + 7 = 0 x = 7 y + = y + = 6 y = 8 Ls coordends del otro extremo son Hll en cd cso el punto simétrico de A respecto de: P 0 b Q c O0 0

3 8 Pág. A'x y es el punto buscdo. P 0 es el punto medio del segmento de extremos A y A': x y Luego: A' = 0 x = x = x = y = 0 y = b Q x = x = x = 7 y = y = 6 y = A' 7 c O0 0 x = 0 x = 0 x = y = 0 y = 0 y = A' 9 Determin ls coordends de los puntos M N y P que son los puntos medios de los ldos del triángulo ABC. B b Hll ls coordends de los vectores MN MP y PN y comprueb que MN = AC ; MP = BC y PN = AB. A M P N C M es el punto medio del segmento de extremos A y B : M = + = N es el punto medio del segmento de extremos B y C : N = + = 0 P es el punto medio del segmento de extremos A y C: P = + = b MN = 0 = 7

4 8 Pág. MP = PN = 0 = = AC = = 7 = MN MN = AC BC = = 6 = MP MP = BC AB = = = PN PN = AB 0 Averigu el vlor de k pr que se cumpl: = k 6 = k 6 = k k = = k Ddos los vectores u v x y w 8 y clcul x e y pr que se verifique: u v = w. u v = w x = 8 y 6 x = 8 y 6 6 x = 8 y Luego: x = y = 6 x = 8 x = = y Comprueb en cd cso si los puntos ddos están linedos: C b A 0 B C A B A B C AB = = AC = AB A B C están AC = = linedos. b A 0 B C AB = 0 = BC = = 8 = A B C están linedos. 8

5 8 Pág. Clcul m pr que los puntos R S y T m estén linedos. R S y T m RS = = 6 ST = m = m m + = m = m = 6 = m = m Rects Escribe l ecución de ls siguientes rects: Ps por y su pendiente es. b Ps por y su pendiente es. c Ps por y su pendiente es 0. y = + x + y = x + b y = x x + c y = D un vector dirección y l pendiente de l rect que ps por A y B en los siguientes csos: A 0 B0 b A0 B c A B A 0 y B0 Un vector dirección es AB = 0 0 =. L pendiente es m = =. b A0 y B Vector dirección: AB = 0 = 0 Pendiente: m = 0 c A y B Vector dirección: AB = = 6 Pendiente: m = = 6

6 8 Pág. 6 Págin 89 6 Hll l ecución de cd un de ls rects del ejercicio nterior. Esríbel en form generl. m = y ps por A 0 y = x + y = x + b m = 0 y ps por A0 y = c m = y ps por A y = x + y = x + 7 Escribe l ecución de ls siguientes rects: Ps por y tiene por vector dirección d. b Ps por y tiene por vector dirección d. c Ps por y tiene por vector dirección d 0. Si d l pendiente es m =. L ecución será: y = x y = x + 7 x + y 7 = 0 b Como d m = L ecución será: y = + x + y = x + 7 x y + 7 = 0 c Si d 0 m = 0 Ecución: y = 8 Hll l ecución de ls siguientes rects: Prlel y = x + y ps por. b Prlel x y + = 0 y ps por 0. c Prlel x + y 6 = 0 y ps por 0. Pendiente de l rect y = x + m = Ecución: y = x y = x + y +x = 0 b Pendiente de l rect x y + = 0: y = x + m = Ecución: y = x y = x x y = 0 c Pendiente de l rect x + y 6 = 0: y = x + m = Ecución: y = x y = 6 x x + y + 6 = 0

7 8 Pág. 7 9 Escribe l ecución de l rect que ps por el punto P y es perpendiculr l vector v en los siguientes csos: P 7 v b P v c P v Un vector perpendiculr v es vector dirección de l rect pedid m = Ecución: y = x + 7 y = x x + y + = 0 b Un vector perpendiculr v es vector dirección de l rect pedid m = Ecución: y = + x y = + x 0 x y = 0 c Un vector dirección de l rect pedid es perpendiculr v m = Ecución: y = x y = x + x + y 8 = 0 0 Clcul l pendiente y un vector dirección de un rect perpendiculr l que ps por A y B. Vector dirección de l rect que ps por A y B : v = AB = = 8 Vector perpendiculr v es vector dirección de l rect perpendiculr l que ps por A y B. Pendiente m = Escribe l ecución de l rect que ps por 0 y es perpendiculr x y + 6 = 0. Pendiente de l rect x y + 6 = 0 m = Pendiente de l rect perpendiculr x y + 6 = 0 es =. m Ecución: y = x + y = x x +y + = 0 Ddos los puntos A y B 0 hll ls ecuciones de ls rects siguientes: r: ps por A y es perpendiculr AB. s: ps por B y es perpendiculr AB.

8 8 Pág. 8 r: ps por A y es perpendiculr AB AB = 0 = 8 Vector perpendiculr AB es que es vector dirección de l rect r m = Ecución de r: y = + x + y = x + x y + = 0 s: ps por B 0 y es perpendiculr AB Ecución de s: y = x y = x 0 x y 0 = 0 Represent ls rects x + 6 = 0 y y = 0 y hll su punto de intersección. x + 6 = 0 x = rect prlel l eje Y y = 0 y = Punto de intersección: rect prlel l eje X x = y = Escribe l ecución de un rect perpendiculr r y que pse por en los siguientes csos: r: x + 7 = 0 b s: y + = 0 r: x + 7 = 0 x + 7 = 0 x = 7 es prlel l eje Y. Por tnto l rect perpendiculr r es prlel l eje X y = k Como ps por su ecución es y = y + = 0 b r: y + = 0 y + = 0 y = es prlel l eje X. Por tnto l rect perpendiculr r es prlel l eje Y x = k Como ps por su ecución es x = x = 0 Ls rects r y s psn por el punto ; r es prlel x = 0 y s es perpendiculr ell. Represent r y s y hll su ecución. Por ser r prlel x = 0 r será de l form x = k. Como ps por x = r: x + = 0 Por ser s perpendiculr x = 0 s será de l form y = k'. Como ps por y = s: y = 0 r s

9 8 Pág. 9 6 L rect r es prlel x y + = 0 y l rect s es perpendiculr ells. Ambs psn por el punto. Escribe ls ecuciones de ls rects r y s. L pendiente de r coincidirá con l pendiente de l rect x y + = 0 por ser mbs prlels m = s es perpendiculr r pendiente de s es = m Tnto r como s psn por el punto luego: Ecución de r y = + x + y = x +7 x y + 8 = 0 Ecución de s y = x + y = 0 x 6 x +y + 6 = 0 7 Determin el punto de corte de ls rects: r: x + y + = 0 s: x + y = 0 Pr hllr el punto de corte resolvemos el sistem formdo por mbs ecuciones: x + y + = 0 x + y = 0 x +y + = 0 8x y + 0 = 0 x + = 0 x = + y + = 0 y = 0 y = El punto de corte es. Distncis y circunferenci 8 Clcul l distnci entre P y Q: P Q 7 b P 8 Q 6 c P0 Q d P 0 Q 0 dist P Q = PQ = + 7 = = b dist P Q = = + = 8 = c dist P Q = + + = + 6 = ddist P Q = + = 8 = 8

10 8 Pág. 0 9 Hll el punto medio del segmento de extremos A 0 B6. b Comprueb que l distnci del punto medio cd uno de los extremos es l mism. Punto medio M = = b dist A M = AM = + + = 6 + = 0 dist B M = BM = 6 + = 6 + = 0 0 Comprueb que el triángulo de vértices A 0 B C7 es isósceles. Cuáles son los ldos igules? Un triángulo es isósceles cundo dos de sus ldos miden lo mismo. Clculmos pues AB AC y BC : AB = + + = 6 + = 0 AC = = = 80 AB = BC BC = 7 + = 6 + = 0 El triángulo de vértices A B y C es isósceles. Comprueb medinte el teorem de Pi-tágors que el triángulo de vértices A B C 6 es rectángulo. A B C 6 AB = + = + = 9 AC = +7 = = 8 BC = + = + = 9 AB + BC = AC por Pitágors: = = 8 El triángulo de vértices A B y C es rectángulo. Escribe l ecución de l circunferenci de centro C y rdio r: C r = b C0 r = 6 c C6 0 r = d C0 0 r = C r = x +y + = 9 x 8x y +6y + 9 = 9 x + y 8x + 6y + 6 = 0

11 8 Pág. b C0 r = 6 x 0 +y = 6 x + y 0y + = 6 x + y 0y = 0 c C6 0 r = x 6 + y = x x y = x + y x + = 0 dc0 0 r = x + y = x + y = 0 Di cuál es el centro y el rdio de ls circunferencis siguientes: x + y + = 6 b x + + y = 8 c x + y = 0 x +y + = 6 C r = b x + + y = 8 C 0 r = 9 c x + y = 0 C0 0 r = 0 Págin 90 PIENSA Y RESUELVE Represent en este hexágono los siguientes vectores: B C A D O F E AB + AF b AC + AF c AB + CD d AO + AF e AO + BC AB + AF = AD bac + AF = AD B C c AB + CD = AO dad + AF = AE A O D e AD + BC = AD F E

12 8 Pág. Clcul m y n pr que se verifique x = mu + nv siendo x 8 u v. x8 u v x = m u+ n v 8 = m + n 8 = m + n m n 8 = m + n = m n 8 = m + n = m n 9 = m m = = 9 n n = n = 6 Cuáles son ls coordends de los vectores u v y w? b Clcul m y n de modo que se cumpl: w = mu + n v 9 u v0 w 0 b w = m u+ n v 0 = m + n0 0 = m m n = m m = 0 = m n 0 = 8 n n = w v u 7 Hll ls coordends de un vector w que verifique l siguiente iguldd: w = u v con u y v u v Llmmos x y ls coordends del vector w: w = u v x y = x y = 6 0 x y = 6 8 x = 6 x = 8 y = 8 y = w8 8 Determin los puntos que dividen l segmento de extremos A B7 en cutro prtes igules. Los puntos que dividen l segmento de extremos A y B en cutro prtes igules son N M y P. A N M P B

13 8 Pág. M es el punto medio del segmento de extremos A y B7 : M = = 0 N es el punto medio del segmento de extremos A y M: N = = P es el punto medio del segmento de extremos M y B: P = = Los puntos que dividen l segmento AB en prtes igules son: M 0 N y P. 9 En el segmento AB de extremos A0 B6 hll ls coordends de los puntos P y Q tles que: AP = AB AQ = AB OP = OA + AP = OA + AB = = 0 + = OQ = OA + AQ = OA + AB = = 0 + = Solución: P y Q 0 Ddo el segmento de extremos A B6 hll los puntos P y Q tles que AP = AB y BQ = AB. OP = OA + AP = OA + AB = = + = = 9 9 P OQ = OB + BQ = OB AB = = 6 + = = Q Ddos los puntos A0 y B 0 hll el punto simétrico de B respecto de A y el simétrico de A respecto de B. A0 B 0 A O 7 P Q 7 B

14 8 Pág. Punto simétrico de B respecto de A lo llmmos B'x y punto medio del segmento BB': x = 0 x = 0 = x y B' 8 y = y = 8 Punto simétrico de A respecto de B lo llmmos A'x y punto medio del segmento AA': x = x = 0 0 = x y + A' 0 y + = 0 y = A es el B es el Hll ls coordends del punto D de modo que ABCD se un prlelogrmo siendo A B0 y C6. Llmmos Dx y ABCD prlelogrmo AB = DC AB DC 6 x y = 6 x y 6 x = x = 7 y = y = Ls coordends del punto D son 7 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO. C B D A Ddo el triángulo de vértices A B C hll: Ls ecuciones de los tres ldos. b El punto medio del ldo AC. c L ecución de l medin del vértice B. Pendiente de AB: m = = = A + 9 Ecución de AB: y = x y = x + y + x 7 = 0 Pendiente de AC: m = = 6 = + Ecución de AC: y = x + y = x x + y + 7 = 0 M C B

15 8 Pág. Pendiente de BC: m = = Ecución de BC: y = + x y = + x x y 7 = 0 b Punto medio del ldo AC: M = = c L medin del vértice B prte del punto B y v l punto medio del ldo opuesto l vértice B; en nuestro cso M: B y M pendiente de BM es m = 0. L ecución de l medin es y =. Ddos los puntos A y B hll: L ecución de un rect r que pse por A y se perpendiculr AB. b L ecución de un rect s que pse por B y se prlel l eje X. c El punto de corte de r y s. A y B AB = = m = Pendiente de r es = m r ps por A y su pendiente es su ecución será: y = x + y = x x + y + = 0 b s es un rect prlel l eje X su ecución será de l form y = k. Como ps por B y = y = 0 c El punto de intersección de r y s será l solución del sistem: x + y + = 0 y = x + + = 0 x = x = El punto de corte entre r y s es. 6 En el triángulo de vértices A B y C 0 hll: L ecución de l meditriz de BC. b L ecución de l meditriz de AC. c El punto de intersección de ls meditrices el circuncentro del triángulo.

16 8 Pág. 6 A N B M C L meditriz de BC es perpendiculr BC en su punto medio M: M = = El ldo BC es prlelo l eje Y l meditriz será prlel l eje X y = k Como ps por M su ecución será y = y = 0 b L meditriz de AC es perpendiculr AC en su punto medio N: N = = Pendiente de AC: m = 0 = + Pendiente de l meditriz es = m Ecución de l meditriz: y = + x y = + 8x 8 8x y 7 = 0 c L intersección entre mbs meditrices se clcul resolviendo el sistem formdo por sus ecuciones: y = 0 8x y 7 = 0 y = 8x 7 = 0 x = 8 8 El punto de intersección es. Págin 9 7 Comprueb si los puntos A 0 B 9 C / y D 8/7 pertenecen l rect determind por los puntos P y Q. Clculmos l ecución de l rect r que ps por P y Q : PQ = + = 7 m = 7 Ecución y = x 7y = 7 x + r: x +7y = 0 7 Pr comprobr si un punto pertenece un rect determind se sustituyen ls coordends del punto en l ecución de l rect. Si se verific l ecución el punto pertenece dich rect.

17 8 Pág. 7 A A no pertenece r. B = 0 B pertenece r. C C no pertenece r. D = 0 D pertenece r Los puntos A B y C son tres vértices de un prlelogrmo. Hll: El vértice D opuesto B. b El punto M donde se cortn ls digonles. c Comprueb que M es el punto medio de ls dos digonles. A B y C D Por ser prlelogrmo AD = BC. Llmmos Dx y. AD = x + y BC = + = 6 x + y = 6 x + = x = 0 y = 6 y = 7 El vértice D tiene como coordends 0 7. b Punto medio de AC es M = + + = c Clculmos el punto medio de l otr digonl BD: = = M C A B 9 Dos ldos de un prlelogrmo están sobre ls rects r : x y + = 0 y s : x + y = 0 y el punto es uno de sus vértices. Dibuj el prlelogrmo. b Hll ls ecuciones de los otros dos ldos. c Clcul ls coordends de los vértices. Representmos ls rects r: x - y + = 0 y s: x + y = 0: s B C r ps por los puntos 0 y A s ps por los puntos y r D

18 8 Pág. 8 b Ldo AD prlelo l rect s: Pendiente de s es. Ecución del ldo AD : y = x y = 8 x + x + y + = 0 Ldo CD prlelo l rect r: Pendiente de r es. Ecución de ldo CD : y = + x y = x 8 x y 8 = 0 c El vértice A es el punto de corte de r y AD : x y + = 0 x + y + = 0 9y 9 = 0 y = Vértice B: punto de corte de r y s: x y + = 0 x + y = 0 9y + 7 = 0 y = Vértice C: punto de corte de s y CD : x +y = 0 x y 8 = 0 x y + = 0 x 8y 0 = 0 x y + = 0 x 8y + 6 = 0 x + y = 0 8x y = 0 9x = 0 x = x + = 0 x = x + = 0 x = 0 y 8 = 0 y = Los vértices del prlelogrmo son: A B C y D 0 Escribe ls ecuciones de los ejes de coordends y de ls bisectrices de los cudrntes primero y segundo. Ecución del eje X y = 0 Ecución del eje Y x = 0 Ecución de l bisectriz del er cudrnte y = x y x = 0 Ecución de l bisectriz del - o cudrnte y = x y + x = 0 Escribe l ecución de un rect r que es prlel l eje OY y que ps por el punto. b Hll el punto de corte de r con l rect: x + y 7 = 0

19 8 Pág. 9 Por ser r prlel l eje OY su ecución es de l form x = k; como ps por x = x + = 0 b Se resuelve el sistem formdo por mbs ecuciones: x + y 7 = 0 x + = 0 El punto de corte es. Hll l ecución de l circunferenci que tiene el centro en el punto medio del segmento de extremos A0 B 0 y su rdio es igul l mitd de dicho segmento. Punto medio del segmento de extremos A0 y B 0: = Centro C 9 + y 7 = 0 y = 6 y = El rdio de l circunferenci es AB AB = + = = r = AB = x +y = x x y y + = x + y x y = 0 Ecución de l circunferenci de centro C y r = : Escribe l ecución de l circunferenci que tiene el centro en el punto C y ps por el punto A. Por tener el centro en C y psr por el punto A el rdio de l circunferenci será r = AC = + = 9 Ecución de l circunferenci de centro C y rdio r = 9 : x +y + = 9 x x + + y + y + = 9 x + y x + y 7 = 0 REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA De ls siguientes expresiones indic cuáles son verdders: Dos vectores con distint dirección no se pueden sumr. b Dos vectores opuestos tienen igul dirección.

20 8 Pág. 0 c Si u = kv y k es negtivo entonces u y v tienen distint dirección. d Si u = v entonces u y v tienen igul módulo. FALSO: se pueden sumr vectores de l mism o de distint dirección. b VERDADERO: u= u c FALSO: tienen l mism dirección y sentidos contrrios. d VERDADERO. Dibuj un vector que sumdo con u nos de el vector v y di cuáles son sus coordends. v v u u w El vector que sumdo con u nos d v es w; sus coordends son Sen A B C tres puntos no linedos culesquier y M y N los puntos medios de los segmentos AB y BC respectivmente. Explic si son cierts ests igulddes: AB + AC = AN b AC = MN A M B N C A M B N C M' D VERDADERO: AB + AC = AD = AN b VERDADERO: AC = MM' = MN PROFUNDIZA 7 L figur djunt prece un trpecio. Comprueb si relmente lo es. Si no lo es rectific ls coordends del punto D pr que sí lo se. B C D A

21 8 Pág. Un trpecio es un cudrilátero con dos ldos prlelos y otros dos no prlelos. En nuestr figur simple vist prece que los ldos prlelos pueden ser BC y AD; comprobemos si los vectores BC y AD tienen l mism dirección: BC y AD no son prlelos Clculmos ls coordends del punto D pr que sen prlelos: D y BC AD y + y + y + = = y = Luego el punto D debe ser. 8 Se G el bricentro del triángulo ABC y M el punto medio del ldo AC. Bb b G M A Cc c Escribe ls coordends de M en función de ls de A y C. b Hll ls coordends del vector BG = BM. c Demuestr que ls coordends de G son: M = + c + c + b c + b c b BG = BM = + c b + c b = + c b + c b c OG = OB + BG = b b + + c b + c b OG = b + + c b b + + c b OG = + b + c + b + c

22 8 Pág. 9 Tom cutro puntos culesquier que sen los vértices de un cudrilátero y prueb que l unir los puntos medios de los ldos de ese cudrilátero obtienes un prlelogrmo. Considermos A Bb b Cc c Dd d los vértices de un cudrilátero. Puntos medios: Ldo AB M + b + b Ldo BC b N + c b + c Ldo CD c c P + d + d Ldo DA Q + d + d Si MNPQ es un prlelogrmo el punto medio de MP debe ser el mismo que el de NQ: R Punto medio de MP: + b c + d + + b c + d + = R + b + c + d + b + c + d Punto medio de NQ: b + c + d b + c + d + + = + b + c + d + b + c + d = = R D Q P A R C M N B

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