ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS

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Magdalena Córdoba Cordero
hace 6 años
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1 ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS Chí, Octubre de 015 Señores Estudintes grdos Décimos Adjunto encontrrán ls definiciones y los ejercicios que deben relizr de los dos tems pendientes pr l evlución generl del curto periodo, todos los ejercicios deben ser elbordos lgunos en clse y los demás en hojs pr entregr si hy lgun pregunt o inquietud, se resuelve en clse. A continución prece l fech de entreg pr cd curso de cuerdo l horrio de clses sí: 1001, 100, 1004, 1006 (Nov-3-15) 1003 (Nov-5-15) Algunos de los dtos que precen en est presentción corresponden imágenes y conceptos de internet, los ejercicios son del libro de Sntilln grdo 10 Cordilmente, Rosrio Monstoque R Profesor de Mtemátics

2 Excentricidd: (e) en mtemátics, geometrí, stronomí y otrs ciencis excts, es un prámetro que determin el grdo de desvición de un sección cónic con respecto un circunferenci. Vlores de l excentricidd en secciones cónics: Circunferenci e = 0 Elipse 0 < e < 1 Prábol e = 1 Hipérbol e > 1

3 ELIPSE Un elipse es un lugr geométrico de los puntos (x, y) de un plno, que tienen l propiedd de que l sum de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos (F 1 y F ), es constnte e igul, siendo l longitud del eje myor AB de l elipse. 3

4 Prtes de L elipse centro vértice. v 3 vértice... F. F 1 V V foco. 1 V 1 V : eje myor V 3 v 4 : eje menor v 4 foco. eje focl

5 PARTES DE LA ELIPSE Eje myor = Eje menor = b Distnci focl = c F' P PF b c

6 Excentricidd e c b Ltus rectum Se denomin ltus Rectum de l Elipse l segmento de rect perpendiculr l semieje myor, psndo por uno de los focos y cuyos extremos están sobre l elipse. Anlíticmente el Ltus Rectum es: b Ecuciones de ls directrices pr cundo los focos están sobre el eje x x e 0 ; x 0 e Ecuciones de ls directrices pr cundo los focos están sobre el eje y y e 0 ; y 0 e 6

7 Elipse con centro (0,0) y eje myor sobre x Y. v F. F 1 V V 1 X. v 3 X Y b = 1

8 Elipse con centro (0,0) y eje myor sobre y Y. v 4 F 1... V V 1 X.. F v 3 X Y ---- b = 1

9 Elipse con eje focl prlelo l eje x y V 3. F.. F 1 V V 1 (h,k) V 4 x (x - h) (y - k) + b = 1

10 Elipses con eje focl prlelo l eje y V y F 1.. (h,k) V 3 V 4 F. x V 1 (x - h) (y - k) b + = 1

11 ELIPSES EJERCICIOS

12 Si ls coordends de los vértices de un elipse son V (3,0), V(-3,0), V(0,5), V(0,-5) grficr y determinr: 1.Centro.Longitud del semieje myor 3.Longitud del semieje menor 4.Coordends del foco

13 Luego de dibujr l elipse, ubicmos el centro que corresponde l punto medio entre los vértices myores y menores. Por lo tnto el centro es (0,0) L longitud del semieje myor se determin por l longitud del segmento que une el centro con un vértice myor, por lo tnto el semieje myor mide = 5 L longitud del semieje menor se determin por l longitud del segmento que une el centro con un vértice menor por lo tnto el semieje menor mide b= 3

14 Los focos deben ubicrse sobre el eje myor en este cso sobre el eje y entre el centro con un vértice menor. Como mide 5 y b mide 3, entonces clculmos el vlor de c medinte el teorem de Pitágors c = b Luego el resultdo de c es 4 L coordends del foco son F(0,4) y F(0,-4)

15 Ecución Cnónic de l elipse con eje myor sobre el eje x y centro (0,0) x + y b = 1 Ecución Cnónic de l elipse con eje myor sobre el eje y y centro (0,0) x b + y = 1

16 Ecución Cnónic de l elipse con centro en un punto (h,k) y eje myor prlelo l eje x es: (x;h) + (y;k) b = 1 Ecución Cnónic de l elipse con centro en un punto (h,k) y eje myor prlelo l eje y es: (x;h) b + (y;k) = 1

17 Ecución Generl de l elipse es: Ax + By + Cx + Dy + E = 0 pr A, B, C, D, E R Ejemplo hllr ls coordends del centro y de los focos de l elipse cuy ecución generl es: 9x + 4y 54x 40y = 0 PROCESO: Expresmos l ecución generl en form cnónic orgnizndo los trinomios y completndo cudrdo pr fctorizr 9(x 6x+ ) + 4(y 10y+ ) = 145 9(x 6x + 9) + 4(y 10y + 5 =

18 9(x 6x+ ) + 4(y 10y+ ) = 145 9(x 6x + 9) + 4(y 10y + 5 = (x 3) + 4(y 5) = 36 dividimos entre 36 9(x 3) 4(y 5) + = (x;3) 4 + (y;5) 9 = 1 Ls coordends del centro son (3,5) Como c = b c entonces c = 5, c = 5 Ls coordends del foco son: F(3, 5+ 5) y F(3, 5-5) Dibujr en el plno l elipse

19 Expresr en form cnónic cd un de ls ecuciones generles dibujndo y hllndo ls coordends del centro y de los focos de l elipse cuy ecución generl es: 1. 4y + x + 48y + 4x = 0. y + 11x + 36y + 44x = y + 4x 31y + 336x = 0 4. y + 3x 308y 51x + 4 = y + 3x 10y 64x 808 = y + 16x + 7y + 18x + 17 = y + 36x 60y + 16x + 34 = y + 14x y 5x = y + 16x + 11y 160x = y + 17x + 80y + 10x = 0

20 Dibujr y determinr, el centro, los vértices, los focos de cd un de ls siguientes elipses: (x:9) 1. 4 (x;7) (x;3) 4 (x:4) 6 (x;1) 10 + (y:1) 0 + (y;5) 9 + (y:6) 14 + (y:7) 5 + (y;5) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = (y;8) 1 (x;9) x 8 + (x;9) 14 + y 10 = 1 + (y:8) 13 7 = 1 x + y = x y 81 = 1 = 1

21 Pr los siguientes ejercicios dibujr en el cuderno cd elipse y encontrr los, vértices, los focos, l ecución cnónic de cd un

22 1.

23 .

24 3.

25 4.

26 5.

27 6.

28 7.

29 8.

30 9.

31 10.

32 Hipérbol Un hipérbol es el lugr geométrico de los puntos (x, y) de un plno, tles que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos (F 1 y F ), es constnte e igul l distnci entre los vértices, l cul es un constnte positiv. F P PF 1 3

33 ofocos: F y F ovértices: V y V oeje trnsverso: VV ocentro: C oeje conjugdo: BB B F V C V F B oldos Rectos: LR y L R. oasíntots

34 Prtes de l Hipérbol C: punto centrl de l hipérbol donde se cruzn ls síntots. Eje trnsversl: líne que une los puntos focles (F 1 y F ). : distnci del vértice l centro sobre el eje trnsversl. Eje conjugdo: líne perpendiculr l eje trnsversl de distnci b. b: punto de corte del eje conjugdo con l circunferenci de centro y rdio c. Directrices, D 1 y D : línes prlels l eje conjugdo. b c Ltus rectum: cuerd que ps por el foco en form prlel l directriz. 34

35 Hipérbol Por definición F P PF 1 x c ( y 0) x c ( y 0) 35

36 Hipérbol - Demostrción b y x b b y x b b c c y x c y c x cx y c x y c x y c x y c x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Dividiendo por Hciendo que Elevndo l cudrdo y reduciendo términos Elevndo l cudrdo y simplificndo PF P F 1 c b

37 HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE X B(0, b) F ( c, 0) V (, 0) V(, 0) F(c, 0) B (0, b)

38 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (0,0) y focos en el eje X x b y 1 Ecución generl de un hipérbol con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordends Ax By 1 38

39 Ecución:, Centro: C(0, 0) Coordends de sus vértices: V(, 0) y V (-, 0) Coordends de los extremos del eje conjugdo: B(0, b) y B (0, -b) Coordends de sus focos: F(c, 0) y F (-c, 0) Longitud del eje trnsverso: VV = Longitud del eje conjugdo: BB =b Longitud de cd ldo recto: Excentricidd: Asíntots:

40 HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE Y F(0, c) V(0, ) B ( b, 0) B(b, 0) V (0, ) F (0, c)

41 Ecución:, Centro: C(0, 0) Coordends de sus vértices: V(0, ) y V (0, -) Coordends de los extremos del eje conjugdo: B(b, 0) y B (-b, 0) Coordends de sus focos: F(0, c) y F (0, -c) Longitud del eje trnsverso: VV = Longitud del eje conjugdo: BB =b Longitud de cd ldo recto: Excentricidd: Asíntots:

42 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (0,0) y focos en el eje Y y b x 1 Ecución generl de un hipérbol con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordends Ax By 1 4

43 Hipérbol Ecuciones de ls síntots pr cundo el eje trnsversl es el eje x y cundo el eje trnsversl es el eje y b y x ; y x b Ecuciones de ls síntots de un hipérbol con centro en ls coordends (h,k) pr cundo el eje trnsversl es el eje x y cundo el eje trnsversl es el eje y b y k ; b x h y k x h 43

44 Hipérbol Excentricidd e c Ltus rectum b Ecuciones de ls directrices pr cundo los focos están sobre el eje x y cundo están sobre el eje y x ; e y e Ecuciones de ls síntots pr cundo el eje trnsversl es el eje x y cundo el eje trnsversl es el eje y b y x ; y x b 44

45 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (h,k) y eje focl prlelo l eje X Consideremos el centro de l hipérbol el pr ordendo C(h,k) x h y k b 1 Ecución Generl de l Hipérbol Ax By Cx Dy F 0

46 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (h,k) y eje focl prlelo l eje Y y k x h b 1 Ecución Generl de l Hipérbol Ay Bx Cx Dy F 0

47 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (h,k) Si el centro de l hipérbol tiene coordends (h,k) y eje trnsversl prlelo l eje x x h y k b 1 Si el centro de l hipérbol tiene coordends (h,k) y eje trnsversl prlelo l eje y y k x h b 1 Ecución generl de un hipérbol con centro en ls coordends (h,k) y ejes prlelos los de ls coordends x y y, siendo A y B del mismo signo Ax By Dx Ey F 0 47

48 Dibujr y determinr, el centro, los vértices, los focos de cd un de ls siguientes elipses: (y;3) (x;1) (x;6) 4 (y:) 30 (x;9) 4 - (x:1) 16 (y:) 5 (y:7) 36 - (x;1) 8 - (y:6) 6 = 1 = 1 = 1 = 1 = (y;) 3 (x;) 19 (y;7) x 10 - (x;1) 10 - y 1 = 1 - (x:8) y 9 = y 16 - x 9 = 1 = 1 = 1

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