Part I. Probabilidad

Transcripción

1 y sucsos Dfinición d Part I

2 y sucsos Dfinición d El concpto d stá asociado a xprimntos (procsos d obsrvación) dond xist incrtidumbr sobr l rsultado final, qu dsd un punto d vista práctico son la mayoría d los xprimntos rals. La Toría d la s important como soport tórico d la Estadística (Infrncia Estadística) y como hrraminta n l studio d la mayoría d las áras d conociminto: Ingniría, Economía, Sociología, Mdicina, Biología, tc. El orign d la Toría d la stá ligado al studio d los jugos d azar, sindo pionros los trabajos ralizados por G. Cardano y G. Galili n l siglo XVI. Actualmnt constituy un ára cintífica d intnsa invstigación.

3 y sucsos y sucsos Dfinición d Un xprimnto s un procso por mdio dl cual s obtin una obsrvación. Un xprimnto dtrminista s l qu al ralizars rptidas vcs, n idénticas condicions, proporciona simpr l mismo rsultado y, por tanto, pud prdcirs d antmano. Un xprimnto alatorio s l qu pud dar lugar a difrnts rsultados, conocidos prviamnt, sin qu sa posibl prdcir cuál va a sr l rsultado qu va a ocurrir n una dtrminada ralización dl xprimnto. La Toría d la y la Estadística studian los xprimntos alatorios qu, n mayor o mnor mdida, son todos los xprimntos rals.

4 y sucsos y sucsos Dfinición d Álgbra Sucso lmntal o simpl: s cada uno d los posibls rsultados dl xprimnto alatorio. Espacio mustral: s l conjunto formado por todos los sucsos lmntals. Lo dnotarmos por Ω = {ω/ω s un sucso lmntal}. S clasifica n: discrto (si s finito o infinito numrabl) y continuo. Sucso: s un subconjunto dl spacio mustral. Son sucsos d intrés: Ω, l sucso sguro, formado por todos los sucsos lmntals y, l sucso imposibl, qu no contin lmntos. Álgbra : s l conjunto formado por todos los sucsos asociados a un xprimnto alatorio. Lo dnotarmos por A = {A/A s un sucso}.

5 y sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 1 Considérs l xprimnto alatorio lanzar un dado y obsrvar l númro d puntos obtnido. Los sucsos lmntals son ω i = s obtinn i puntos, dond i = 1, 2,..., 6. Son sucsos A = s obtin un númro par = l rsultado s 2, 4 o 6 y B = s obtin un númro mayor qu 2 = l rsultado s 3, 4, 5 o 6. Ejmplo 2 Considérs l xprimnto alatorio timpo d jcución d un programa. Los sucsos lmntals son ω t = la jcución ha durado t sgundos, con t R, t 0. Son sucsos C = l timpo d jcución s suprior a 10 sgundos y D = l timpo d jcución stá ntr 5 y 15 sgundos.

6 y sucsos y sucsos Dfinición d Álgbra. Opracions Unión : si A, B A, s dfin l sucso unión, A B, como l qu ocurr si sucd A o sucd B. Intrscción : si A, B A, s dfin l sucso intrscción, A B, como l qu ocurr si sucd A y sucd B. Por sncillz, A B también s scrib AB. Sucso complmntario o contrario: si A A, s dfin l sucso contrario, Ā, como l qu ocurr si no sucd A. Inclusión : si A, B A, s dic qu A stá contnido n B o qu A implica B, A B, si simpr qu sucd A ocurr B.

7 y sucsos y sucsos Dfinición d Álgbra. Opracions Difrncia : si A, B A, s dfin l sucso difrncia, A\B, como l qu ocurr si sucd A y no sucd B, sto s, A\B = A B Difrncia simétrica : si A, B A, s dfin l sucso difrncia simétrica, A B, como l qu ocurr si sucd sólo A o sólo B, sto s, A B = (A B)\(A B) = (A B) (B Ā) Sucsos incompatibls: dos sucsos A, B A son incompatibls si A B =.

8 y sucsos y sucsos Dfinición d Álgbra. Opracions Conjunto xhaustivo : {A 1, A 2,..., A n / A i A} s un conjunto xhaustivo si n i=1 A i = Ω Conjunto complto : {A 1, A 2,..., A n / A i A} s un conjunto complto si s xhaustivo y los sucsos son incompatibls dos a dos: n i=1 A i = Ω y A i A j = si i j A un conjunto complto también s l dnomina partición dl spacio mustral. El conjunto d los sucsos lmntals s una clas complta y la partición más fina dl spacio mustral. El álgbra, A, asociada a un xprimnto alatorio tin structura d álgbra d Bool rspcto a las opracions unión intrscción

9 y sucsos y sucsos Dfinición d Álgbra. Propidads Conmutativa. A B = B A, Asociativa.] A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C A B = B A Elmnto nutro. El sucso imposibl ( ) para la unión A( ) = A y l sucso sguro (Ω) para la intrscción (A Ω = A). Complmntario. Dado A A xist Ā, qu llamarmos sucso complmntario o contrario d A, tal qu A Ā = Ω y A Ā =.

10 y sucsos y sucsos Dfinición d Álgbra. Propidads Idmpotnt. A A = A, A A = A Simplificativa. A (A B) = A, A (A B) = A Rlativas al lmnto nutro. A Ω = Ω, A = Lys d D Morgan. A B = Ā B, A B = Ā B

11 y sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 3 Rspcto al xprimnto dl jmplo 1 s obtinn los siguints sucsos: A B= obtnr 2, 3, 4, 5 o 6. A B= obtnr 4 o 6. Ā= obtnr un númro impar. B= obtnr 1 o 2. A\B= obtnr l 2. B\A= obtnr 3 o 5. A B= obtnr 2, 3 o 5.

12 y sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 4 Rspcto al xprimnto dl jmplo 2 s obtinn los siguints sucsos: C D= l timpo d jcución s suprior a 5 sgundos. C D= l timpo d jcución stá ntr 10 y 15 sgundos. C= l timpo d jcución s infrior o igual a 10 sgundos. D= l timpo d jcución s mnor o igual qu 5 sgundos o mayor o igual qu 15 sgundos. C\D= l timpo d jcución s mayor o igual qu 15 sgundos. D\C= l timpo d jcución s suprior a 5 sgundos y mnor o igual qu 10 sgundos. C D= l timpo d jcución stá n (5, 10] [15, ).

13 Dfinición d y sucsos Dfinición d Dfinición axiomática d Kolmogorov La (P) asociada a un xprimnto alatorio s una aplicación dl álgbra (A) n R P : A R vrificando los siguints axiomas: 1 Para todo sucso A, P(A) 0 2 P(Ω) = 1 3 (σ aditividad) Si {A n } n=1 s una sucsión incompatibls dos a dos, ntoncs: ( ) P A n = P(A n ) n=1 n=1

14 Dfinición d y sucsos Dfinición d Dfinición Llamarmos spacio d a la trna, (Ω, A, P) formada por l spacio mustral (Ω), l álgbra (A) y la aplicación (P) vrificando los antriors axiomas.

15 Dfinición d y sucsos Dfinición d Ejmplo 5 En rlación con l xprimnto dl jmplo 1, pud dfinirs la función d a partir d la d los sucsos lmntals, A i = obtnr l númro i, d la siguint forma: P (A i ) = 1, i = 1, 2,..., 6 6 Ejmplo 6 En rlación con l xprimnto dl jmplo 2, pud dfinirs la función d a partir d la d la forma A t = la duración d la jcución dl programa s infrior a t sgundos, como P(A t ) = 1 t (t > 0).

16 Dfinición d y sucsos Dfinición d Propidads 1 P( ) = 0. 2 Si {A i } n i=1 s un ( conjunto ) incompatibls dos a n dos ntoncs, P A j = n P(A j ) 3 P(Ā) = 1 P(A). j=1 j=1 4 Para cualquir sucso A, 0 P(A) 1. 5 Si A B ntoncs P(A) P(B) y P(B\A) = P(B) P(A). 6 Para dos sucsos cualsquira A y B s vrifica qu, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

17 Dfinición d y sucsos Dfinición d Ejmplo 7 La d qu l studiant A aprub un xamn s 0 5, la d qu aprub B s 0 3 y la d qu aprubn los dos s 0 2. La d qu al mnos uno d los dos aprub s P(A B) = = 0 6. La d qu xactamnt uno d los dos aprub s P(A B) = P(A) + P(B) 2P(A B) = 0 4. La d qu no aprub ni A ni B s P(Ā B) = 1 P(A B) = = 0 4. La d qu aprub A pro no B s P(A B) = P(A\B) = P(A) P(A B) = = 0 3.

18 Dfinición d y sucsos Dfinición d Ejmplo 8 Supóngas qu la d obtnr l númro i al lanzar un dado s invrsamnt proporcional a dicho númro. Calcular la d obtnr un númro par n una tirada. Llamamos p i = P( obtnr l númro i ) = k/i, i = 1, 2,..., 6, con k una constant por dtrminar, qu obtnmos d la siguint igualdad 6 p i = k i=1 6 i=1 1 i = P(Ω) = 1 = k = Por tanto, P( obtnr un númro par ) =

19 Dfinición d y sucsos Dfinición d Asignación d s Método d las frcuncias: Dfinir la dl sucso como l ĺımit d las frcuncias raltivas. Método clásico: En los spacios mustrals finitos quiprobabls, podmos calcular la dl sucso A como l cocint ntr l númro d casos favorabls n qu sucd A y l númro d casos posibls qu s pudn dar. Esta rgla s conoc como dfinición clásica o Ly d Laplac. Método subjtivo: n l qu una dtrminada prsona asigna d forma subjtiva s a cada uno d los posibls rsultados d un procso sgún su propio juicio sobr la vrosimilitud d cada rsultado.

20 d sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 9 En un curso d Estadística d 80 studiants aprobaron 50, d los qu 35 ran chicas. La d qu haya aprobado un alumno lgido al azar s: P(aprobar) = = Pro si l númro d chicas qu participaron n l curso fu d 45, ntoncs la d qu haya aprobado un alumno lgido al azar sabindo qu s una chica, s: P(aprobar y sr chica) P(aprobar/sr chica) = P(sr chica) = 35/80 45/80 = 0 777

21 d sucsos y sucsos Dfinición d Dfinición San A y B dos sucsos cualsquira con P(B) > 0. S dfin la dl sucso A al sucso B y s rprsnta por P(A/B) como: P(A/B) = P(A B) P(B)

22 d sucsos y sucsos Dfinición d. Comntarios 1 La s muy important n la práctica, ya qu, n muchas situacions, pquñas modificacions n la información básica producn cambios sustancials n las s s. 2 Con la dfinición antrior, s fácil probar qu la a un sucso B vrifica la axiomática d la dada n la dfinición. 3 Es important difrnciar ntr P(AB) y P(A/B): la primra indica la d ocurrncia d A y B conjuntamnt, por tanto simpr s mnor o igual qu P(A); y la sgunda indica la d ocurrncia d A cuando s conocido qu ha ocurrido l sucso B y pud sr mnor, igual o mayor qu P(A).

23 d sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 10 En un almacén s dispon d diz motors d los cuals trs son dfctuosos. Si s lign dos motors al azar y Dnominando por D i al sucso l motor lgido n lugar i-ésimo s dfctuoso y N i al sucso l motor lgido n lugar i-ésimo s no dfctuoso, s pudn calcular las siguints s s 1 P(D 2 /N 1 ) = P(N 1 D 2 ) P(N 1 ) = 7/10 3/9 7/10 = P(D 2 /D 1 ) = P(D 1 D 2 ) 3/10 2/9 P(D 1 ) = 3/10 = P(D 2 ) = 3 10

24 d sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 11 En una ncusta ralizada n La Coruña s ha dtrminado qu l 40% d los ncustados l l priódico La Voz d Galicia, l 15% l El Idal Gallgo y l 3% l ambos priódicos. 1 Slccionado al azar un lctor d El Idal Gallgo, calcular la d qu la La Voz d Galicia. Sa V l sucso l La Voz d Galicia, I l sucso l P(V I ) El Idal Gallgo, ntoncs P(V /I ) = P(I ) = 3 15 = Si s ha lgido un lctor d La Voz d Galicia, calcular la d qu no la El Idal Gallgo. P(I V ) P(Ī /V ) = 1 P(V ) = = 0 925

25 d sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 12 En un cntro d scundaria l 50% d los alumnos apruba l Bachillrato. S stima qu si s prsntasn todos los alumnos a las prubas d Slctivo sólo suspndrían l 40% y qu un 30% d los alumnos qu aprobarían l Slctivo suspndn l Bachillrato. Con stos datos calcular la d qu un alumno qu aprub l Bachillrato aprub l Slctivo. Sa C l sucso apruba l Bachillrato y S l sucso apruba l Slctivo, por tanto, P(C) = 0 50, P( S) = 0 40 P( C/S) = La pdida s P(S/C) = P(S C) P(C) = P(C/S)P(S) P(C) = = 0 84

26 d sucsos y sucsos Dfinición d Rgla dl producto San A 1, A 2,..., A n sucsos tals qu P Entoncs: ( n ) P A i = i=1 ( n 1 i=1 A i ) > 0. ( /( n 1 )) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 1 A 2 ) P A n A i i=1

27 d sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 13 En rlación con l jmplo 10, si s lign cuatro motors al azar, sin rmplazaminto, calcular la d qu l primr y l trcr motors lgidos san dfctuosos y los otros dos no. P(D 1 N 2 D 3 N 4 ) = = P(D 1 )P(N 2 /D 1 )P(D 3 /D 1 N 2 )P(N 4 /D 1 N 2 D 3 ) = = = 1 20 = 0 05

28 d sucsos y sucsos Dfinición d Dfinición Dos sucsos A y B s dicn indpndints si P(A B) = P(A)P(B) o, quivalntmnt, P(A/B) = P(A), si P(B) > 0, o bin P(B/A) = P(B), si P(A) > 0.

29 d sucsos y sucsos Dfinición d Indpndncia. Comntarios 1 La pud suponrs n algunas situacions y dducirs dl contxto dl problma pro, n gnral, db comprobars xprimntalmnt. 2 No db confundirs sucsos indpndints con sucsos incompatibls. 3 Si A y B son sucsos indpndints también lo son A y B, Ā y B y Ā y B. 4 Los sucsos A 1, A 2,.(.., A n son mutuamnt k ) indpndints si P h=1 A j(h) = k h=1 P ( ) A j(h) para cualsquira índics 1 j(1) < j(2) < < j(k) n.

30 d sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 14 Considrmos un sistma lctrónico qu consta d diz componnts qu funcionan indpndintmnt tnindo cada uno una d fallo d Calcular la fiabilidad dl sistma ( d qu l sistma funcion corrctamnt). Si dnominamos C i al sucso la componnt i-ésima funciona corrctamnt, dond i = 1,..., 10, con P(C i ) = 0 95, la fiabilidad dl sistma s P(C 1 C 2... C 10 ) = = 0 598

31 d sucsos y sucsos Dfinición d Ejmplo 14 Para aumntar la fiabilidad dl sistma, s conctan n parallo dos sistmas iguals al dscrito. Calcular la fiabilidad dl nuvo sistma. Sa S j l sucso l sistma j funciona corrctamnt, con j = 1, 2. Dado qu P(S j ) = 0 598, la fiabilidad dl nuvo sistma s P(S 1 S 2 ) = = Si conctásmos n parallo trs sistmas como l primro, cuál sría la fiabilidad dl sistma rsultant? La fiabilidad d st último sistma s P(S 1 S 2 S 3 ) = 0 935

32 y sucsos Dfinición d las s totals Sa A 1, A 2,..., A n un sistma complto, con P(A i ) > 0 (i = 1,..., n), y sa B un sucso cualquira. Entoncs n P(B) = P(B/A i )P(A i ) i=1

33 y sucsos Dfinición d Ejmplo 15 En una scula técnica l 50% d los alumnos s d primr curso, l 30% s d sgundo y l 20% d trcro. D la ncusta d valuación d profsorado s sab qu l 60% d los alumnos d primro tin buna opinión dl profsorado, al igual qu l 70% d los d sgundo y l 75% d los d trcro. Elgido un alumno al azar cuál s la d qu tnga una buna opinión dl profsorado?

34 y sucsos Dfinición d Ejmplo 15 Si considramos l sucso B = tnr buna opinión dl profsorado y l sistma complto formado por I = sr d primro, S = sr d sgundo y T = sr d trcro, la pdida s: P(B) = P (B Ω) = P (B (I S T )) = P (B I ) + P (B S) + P (B T ) = P(B/I )P(I ) + P(B/S)P(S) + P(B/T )P(T ) = = 0 66

35 y sucsos Dfinición d Ejmplo 16 En una stación d ITV (Inspcción Técnica d Vhículos) hay dos quipos d inspcción, l quipo A rchaza l 30% d los cochs inspccionados y l quipo B no rchaza ningún coch. Si llgan trs cochs a la stación y cada uno lig al azar uno d los dos quipos d inspcción, cuál s la d qu los trs cochs suprn la inspcción?

36 y sucsos Dfinición d Ejmplo 16 San los sucsos A = lgir quipo A, B = lgir quipo B y S = suprar la inspcción, por l torma d las s totals s obtin P(S) = P(S/A)P(A) + P(S/B)P(B) = = 0 85 Dnominmos S i al sucso l coch i supra la inspcción, con i = 1, 2, 3. Por la d stos sucsos, la pdida s P (S 1 S 2 S 3 ) = =

37 y sucsos Dfinición d Sa A 1, A 2,..., A n un sistma complto, con P(A i ) > 0 para i = 1,..., n, (s a priori) y sa B un sucso cualquira, con P(B) > 0. Entoncs, para j = 1, 2,..., n, P(A j /B) = P(A jb) P(B) = llamadas s a postriori. P(B/A j )P(A j ) n i=1 P(B/A i)p(a i ),

38 y sucsos Dfinición d Ejmplo 17 S dispon d dos métodos para transmitir un mnsaj, l método A transmit corrctamnt l 70% d los mnsajs y l método B l 90%. Un día s lig un método al azar y s transmitn ocho mnsajs comprobándos postriormnt qu los dos primros s han transmitido d forma incorrcta. Cuál s la d qu s haya utilizado l método A? Cuál s la d qu s haya utilizado l método B?

39 y sucsos Dfinición d Ejmplo 17 San los sucsos A = s utiliza l método A y B = s utiliza l método B, con s P(A) = P(B) = 0 5. Dnominmos M al sucso s nvían ocho mnsajs, los dos primros d forma incorrcta, ntoncs P(A/M) = P(M/A) = = P(M/B) = = = La P(B/M) también pud calculars utilizando, o dirctamant: P(B/M) = 1 P(A/M) = 0 334

40 y sucsos Dfinición d Ejmplo 18 En un xamn tipo tst con cinco posibls rspustas, la d qu Juan spa la rspusta s 0 6, la d qu rsponda al azar s 0 2 y la d qu no rsponda s 0 2. Si l studiant rspondió corrctamnt cuál s la d qu ralmnt spa la rspusta?

41 y sucsos Dfinición d Ejmplo 18 San los sucsos S = Juan sab la rspusta, A = Juan rspond al azar y N = Juan no rspond, con s: P(S) = 0 6, P(A) = 0 2 y P(N) = 0 2. Sa C l sucso Juan rspondió corrctamnt, s vrifica qu P(C/S) = 1, P(C/A) = 1/5 = 0 2 y P(C/N) = 0. Por l torma d s obtin: P(S/C) = = = análogamnt, P(A/C) = = y, P(N/C) = = 0

42 y sucsos Dfinición d Dfinición San n y k dos númros naturals tals qu k n, s dfin l númro ( n k) como, ( ) n = k n! k! (n k)! = n(k) k! = n(n 1)(n 2) (n k + 1) k(k 1)(k 2) 1 El númro ( n k) también s notará Cn,k. Est númro s conoc como coficint binomial, por aparcr n l torma binomial o binomio d Nwton, (a + b) n = n j=0 ( n j ) a j b n j

43 y sucsos Dfinición d Propidads ( 1 n ) ( n = n ) 0 = 1. ( 2 n ) 1 = n. ( 3 n ( k) = n n k). ( 4 n ) ( 0 + n ) ( 1 + n ) ( n ) n = (1 + 1) n = 2 n.

44 y sucsos Dfinición d Variacions Considérs un conjunto d M lmntos distinguibls. S dnominan variacions d M lmntos tomados d n n n a los difrnts grupos d n lmntos qu pudn formars d modo qu dos grupos s difrncin n qu tinn algún lmnto distinto o por la ordnación d sus lmntos. El númro d variacions s: V M,n = M (n) = M(M 1)(M 2) (M n + 1) Las variacions d M lmntos tomados d n n n son las difrnts mustras ordnadas d tamaño n slccionadas n un mustro sin rmplazaminto d una población d M individuos.

45 y sucsos Dfinición d Variacions con rptición Si al formar los grupos qu constituyn las variacions, los lmntos pudn tomars rptidos, s obtinn las variacions con rptición d M lmntos tomados d n n n. El númro d variacions con rptición s: VR M,n = M n Las variacions con rptición d M lmntos tomados d n n n son las difrnts mustras ordnadas d tamaño n slccionadas n un mustro con rmplazaminto d una población d M individuos.

46 y sucsos Dfinición d Prmutacions S dnominan prmutacions d M lmntos distinguibls a las difrnts ordnacions qu pudn hacrs con los M lmntos. El númro d prmutacions s: P M = M! = M(M 1)(M 2) 1 Las prmutacions d M lmntos coincidn con las variacions d M lmntos tomados d M n M.

47 y sucsos Dfinición d Prmutacions con rptición Considérs un conjunto d M lmntos d r tipos distintos, d manra qu l primr tipo s rpit n 1 vcs, l sgundo n 2 vcs,..., l r-ésimo n r vcs, con n 1 + n n r = M. A las difrnts ordnacions d st conjunto d M lmntos s las dnomina prmutacions con rptición d M lmntos. El númro d prmutacions con rptición s: PR n 1,n 2,...,n r M = M! n 1! n 2! n r! Las prmutacions con rptición rprsntan las difrnts particions d r grupos qu pudn hacrs n un colctivo d M individuos, d forma qu n l primr grupo haya n 1 individuos, n 2 n l sgundo,... n r n l r-ésimo.

48 y sucsos Dfinición d Combinacions Considérs un conjunto d M lmntos distinguibls. S dnominan combinacions d M lmntos tomados d n n n a los difrnts grupos d n lmntos qu pudn formars d modo qu dos grupos s difrncin n qu tinn algún lmnto distinto (no importa l ordn). El númro d combinacions s: ( ) M M! M(M 1) (M n + 1) C M,n = = = n n!(m n)! n! Las combinacions d M lmntos tomados d n n n son las difrnts subpoblacions (mustras n las qu no s considra l ordn) d tamaño n slccionadas n un mustro sin rmplazaminto d una población d M individuos.

49 y sucsos Dfinición d Combinacions con rptición Si al formar los grupos qu constituyn las combinacions los lmntos pudn tomars rptidos, s obtinn las combinacions con rptición d M lmntos tomados d n n n. El númro d combinacions con rptición s: ( ) M + n 1 CR M,n = n Las combinacions con rptición d M lmntos tomados d n n n son las difrnts subpoblacions d tamaño n slccionadas n un mustro con rmplazaminto d una población d M individuos.