Método novedoso para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo y tercer orden no homogéneas con coe cientes constantes

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1 Método novdoso para rsolvr cuacions difrncials linals d sgundo y trcr ordn no homogénas con co cints constants amírz Arc Grivin, gramirz@itcr.ac.cr Stimbr, 007 sumn: Est artículo part d un nuvo método propusto por ivra (006) para rsolvr cuacions difrncials linals d sgundo ordn no homogénas con co cints constants. Vamos a stablcr las rlacions y difrncias d st método con l d co cints indtrminados y l d variación d parámtros. Admás, aplicarmos las idas gnrals dl método para dducir la solución gnral d la cuación difrncial y a y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x). Palabras clavs: cuación difrncial, co cints indtrminados, variación d parámtros. 1 Ecuacions difrncials linals d primr ordn ivra (006) stablc qu la solución gnral d la cuación difrncial d sgundo ordn y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x) stá dada por: y(x) = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx om ogna ( 1)x x b(x) dx dx articular + 1x dond 1 y son las raícs d la cuación caractrística d la cuación difrncial homgéna. Partamos d las cuacions difrncials linals d primr ordn qu tinn la forma y 0 + a (x) y = b (x) dond a (x) y b (x) son funcions continuas n un intrvalo I: Multiplicamos por una función arbitraria v(x) a ambos lados d la igualdad: v(x)y 0 + v(x)a (x) y = v(x)b (x) (1) Para qu l lado drcho d la igualdad antrior sa la drivada dl producto y v(x) ncsitamos qu v 0 (x) = v(x)a (x) : Pro sta s una cuación difrncial cuya solución s v(x) = a(x)dx y qu llamamos factor intgrant. Volvindo a (1) tnmos: y 0 + a (x) y = b (x) a(x)dx y 0 + a(x)dx a (x) y = a(x)dx b (x) h y a(x)dxi0 = a(x)dx b (x) y a(x)dx = b (x) a(x)dx dx + c y = a(x)dx b (x) a(x)dx dx + c a(x)dx 1

2 Ejmplo sulva la siguint cuación difrncial y 0 3x y = x S tin v(x) = 3x dx = 3 x3 3 = x 3 Multiplicando a ambos lados d la igualdad por x3 s tin: x3 y 0 x3 3x y = x x3 hy x3i 0 = x x3 y x3 = x x3 dx y = x3 x x3 dx y = x3 x3 3 + c x 3 y = 1 x3 + c 3 En gnral, la solución d la cuación difrncial y 0 + a (x) y = b (x) () stá dada por y = c a(x)dx (x) + a(x)dx b (x) a(x)dx dx (x) Dond (x) = c a(x)dx s la solución d la cuación homogéna asociada d () (sto s b(x) = 0) Y (x) = a(x)dx b (x) a(x)dx dx s una solución particular d la cuación (). Para dtrminar la solución particular (x) antrior s pud utilizar l método d co cints indtrminados simpr qu b(x) sa un polinomio, una función xponncial, la función sno, la función cosno o combinación d llas. Así por jmplo, n la cuación difrncial y 0 + y = x; utilizando l método d co cints indtrminados, srá fácil hallar la solución particular d la forma (x) = x + ; y sta s (x) = x 1 4 En la cuación difrncial y 0 +y = x ; la solución particular tndrá forma (x) = x ; y sta s (x) = 1 3 x En la cuación difrncial y 0 + y = cos x; la solución particular tndrá forma (x) = cos x + sn x; y sta s (x) = 5 cos x sn x En la cuación difrncial y 0 + y = x x ; la solución particular tndrá forma (x) = x x + x ; y sta s (x) = 1 3 xx 1 9 x Pro qu pasa si b(x) no s una función como las antriors? No s pud aplicar l método d co cints indtrminados. Encontrar la solución d la cuación difrncial homogéna asociada d () no parc tan complicado; hasta nos hmos olvidado un poco d llo, la di cultad stá n ncontrar una solución particular. Est problma d ncontrar una solución particular también s traslada a las cuacions difrncials linals d sgundo ordn como vrmos a continuación.

3 Ecuacions difrncials linals d sgundo ordn Considrérs la cuación difrncial d sgundo ordn con co cints constant no homogéna d la forma y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x) (3) con a 0 y a 1 constants rals y b(x) una función continua n un intrvalo I: S part d la cuación difrncial homogéna y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = 0 (4) con a 1 y a 0 constants rals. Para rsolvr sta cuación ivra (006) sugir dscomponr a 1 como a 1 = + Así, y 00 + ( + ) y 0 + a 0 y = 0 (y 00 + y 0 ) + (y 0 + a 0 y) = 0 Para l primr paréntsis l factor intgrant s = dx = x : Multiplicando la igualdad antrior por l factor intgrant s tin: x y 00 + x y 0 + x (y 0 + a 0 y) = 0 ( x y 0 ) 0 + x y 0 + x a 0 y = 0 S quir qu l sgundo sumando y l trcr sumando san l rsultado d la drivada d un producto. Lo srá si: ( x ) 0 = x a 0 ) x = x a 0 ) Así, s toman y tals qu + = a1 Al rsolvr l sistma las solucions son: = a 1 p a 1 4a 0 = a 1 p a 1 4a 0 Así, y son únicos. solvr sto s similar qu rsolvr a 1 +a 0 = 0; pus ambas son cuacions caractrísticas asociadas a (3): La solución d a 1 +a 0 = 0 s f; g o quivalntmnt la solución d +a 1 +a 0 = 0 s f ; g : Así, para rsolvr y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = 0; rsulvo + a 1 + a 0 = 0; qu s la cuación caractrística d la cuación difrncial (3). Con sto la cuación difrncial (4) s transforma n ( x y 0 ) 0 + ( x y) 0 = 0 ( x y 0 + x y) 0 = 0; intgrando s tin (5) x y 0 + x y = c y 0 + y = c x ; y sta s una cuación difrncial linal d primr ordn. Por lo tanto y(x) = c 1 x + c x ( )x dx 3

4 Si 1 y son las raícs d la cuación caractrística, ntoncs la solución gnral d la cuación difrncial homogéna s: y = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx Si 1 y son númros rals, n y = c 1 1x + c 1x i. Si 1 6= ntoncs y = c 1 1x + c x ii. Si 1 = = ntoncs ( 1)x dx s dan dos casos: y = c 1 x + c x x Si 1 y son númros compljos conjugados 1 = + i; = i ; ntoncs y = c 1 1x +c 1x y = c 1 1x + c 1x ( ix) dx; hacindo la sustitución u = ix y = c 1 1x + c i 1x u du y = c 1 1x + c 3 (+i)x ( ix) + c y = c 1 1x + c 3 (+i)x ( ix) + c y = c 1 (+i)x + c 3 (+i)x ( ix) + c ( 1)x dx y = c 1 (+i)x + c 3 ( i)x + c 4 (+i)x y = c 5 x (cos (x) + isn (x)) + c 3 x (cos (x) y = A x cos (x) + B x sn (x) isn (x)) Para hallar la solución particular s toma la cuación difrncial linal d ordn dos no homogéna con co cints constants. Sa y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x) con a 1 y a 0 constants rals ivra (006) sugir hacr + = a 1 obtnindo: y 00 + ( + ) y 0 + a 0 y = b(x) y 00 + y 0 + y 0 + a 0 y = b(x) x y 00 + x y 0 + x y 0 + x a 0 y = x b(x) Multiplicando por l factor intgrant u = x s tin (y 0 x ) 0 + x y 0 + x a 0 y = x b(x) (6) Si ; sto implica qu ( x ) 0 = x x D (6) s tin (y 0 x ) 0 + ( x y) 0 = x b(x) simpr qu + = a1 (y 0 x + x y) 0 = x b(x) y 0 x + x y = x b(x) dx + c 4

5 y 0 + y = c x + x x b(x) dx Multiplicando por l factor intgrant dx = x x y 0 + x y = c ( )x + ( )x x b(x) dx x y 0 = c ( )x + ( )x x y = c ( )x + ( )x y = x c 1 + c x x b(x) dx x b(x) dx dx + c 1 ( )x dx + x ( )x x b(x) dx dx Así, y = c 1 x + c x ( )x dx ( )x x b(x) dx dx + x Al rsolvr la cuación caractrística d la cuación difrncial homgéna s tnía + a 1 + a 0 = 0 1 = y = Por lo tanto, y = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx ( 1)x x b(x) dx dx + 1x Por jmplo, al rsolvr la cuación difrncial y 00 y 0 y = 3x ; d su cuación caractrística s tin qu: = 0 1 = y = 1 La solución d la cuación difrncial s: y = x c 1 + c x ( 1 )x dx + x ( 1 )x y = x c 1 + c x 3x dx x b(x) dx dx + x 3x x 3x dx dx y = c 1 x + c {z x + } 4x dx dx y = c 1 x + c {z x x } 4 x dx + 3x + 4 = y = c 1 x + c x {z} Pro qu pasaría si la cuación difrncial a rsolvr s y 00 + y = tan x? Las solucions d la cuación caractrística + 1 = 0 son 1 = i y = cuación difrncial srá: y = ix c 1 + c ix ( i i)x dx + ix ( i i)x ix tan x dx dx i : Entoncs la solución d la 5

6 Podmos calcular las intgrals antriors d manra qu i sa una constant, o bin usar la idntidad: +i = (cos + i sn) y = ix c 1 + c ix ix dx + ix ix ix tan x dx dx y = A cos x + B sn x + ix ix ix tan x dx dx (7) La intgral ix tan x dx pud calculars utilizando ix = cos x + i snx: Así: ix tan x dx = (cos x + i snx) tan x dx = sn x + i sn x cos x dx = cos x + i sn x cos x dx (8) Pro sn x cos x dx = 1 cos x cos x dx = 1 = ln(sc x + tan x) sn x + c cos x dx cos xdx Volvindo a (8) tnmos ix tan x dx = cos x + i ln(sc x + tan x) isn x + C: Volvindo a (7) las intgrals s han complicado aún más, pus dbíamos rsolvr ix ix tan x dx dx = ix ( cos x + i ln(sc x + tan x) isn x + C) dx: Entoncs, qué tin d buno sta fórmula para calcular la solución d cualquir cuación difrncial linal d ordn dos no homogéna, cuando la complicación d las intgrals no facilita las cosas? S rspond a sta prgunta analizando los casos qu s pudn prsntar, dpndindo d 1 y ; para la solución d la cuación difrncial y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x) con a 1 y a 0 constants rals, qu s n gnral: y(x) = 1x c 1 + c 1x ( 1)x dx + 1x ( 1)x x b(x) dx dx (9) a. Si 1 y son númros rals difrnts ntoncs, las solucions d la cuación difrncial homogéna son: y 1 (x) = 1x y y (x) = x y = 1x c 1 + c x + 1x ( 1)x x b(x) dx dx ( Para 1)x x b(x) dx dx = I: Sa u = x b(x) dx dv = ( 1)x dx ( 1)x du = x b(x) v = 1 1)x I = ( x 1 b(x) dx 1 1 x ( 1)x b(x) dx 1)x ( = x 1 b(x) dx 1 1 1x b(x) dx Volvindo a (9) y(x) = 1x c 1 + c x + 1x ( 1)x x 1 b(x) dx 1x b(x) dx 1 1 6

7 y(x) = 1x c 1 + c x + x x 1x b(x) dx 1x b(x) dx 1 1 y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y (x) b(x) 1 y (x) dx y 1 (x) b(x) dx (10) 1 y 1 (x) b. Si 1 = = son númros rals iguals ntoncs, las solucions d la cuación difrncial homogéna son: y 1 (x) = x y y (x) = x x y = c 1 x + c x x + x x b(x) dxdx Para I = x b(x) dx dx: Sa u = x b(x) dx du = x b(x) dv = dx v = x y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y (x) b(x) y 1 (x) dx xb(x) y 1(x) y 1 (x) dx c. Si 1 y son númros compljos conjugados ntoncs, las solucions d la cuación difrncial homogéna son: y 1 (x) = A cos x y y (x) = B sn x En forma similar al trabajo dsarrollado n la part a. s tin con 1 = + i y = y(x) = A cos x + B sn x + (+i)x ( i (+i))x ( i)x b(x) dx dx y(x) = A cos x + B sn x + (+i)x ix +ix b(x) dx dx i qu: ix Para +ix b(x) dx dx = I: Sa u = +ix b(x) dx du = +ix b(x) I = i ix +ix b(x) dx dv = ix v = ix i i ix i = i i ix +ix b(x) dx I = i ix +ix b(x) dx i +ix b(x) dx La compljidad d las intgrals antriors srá la misma qu s obtin si rsolvmos la cuación difrncial original mdiant l método d variación d parámtros. S pudn rsolvr dpndindo d la función b(x) tomando a i como una constant cualquira, o bin, usando l hcho d qu +i = (cos + i sn) : 7

8 El siguint jmplo mustra la rlación d compljidad d las intgrals si s calcula por ambos métodos. Ejmplo solvr la cuación y 00 + y = cot x (11) Las solucions d la cuación caractrística + 1 = 0 son: 1 = i; = i La cuación difrncial homogéna tin solucions: y 1 (x) = cos x y y (x) = sn x La solución d la cuación difrncial (11) s: y(x) = c 1 cos x + c sn x + ix ix ix cot x dx dx Sa u = ix cot x dx dv = ix dx du = ix cot x v = ix i i i = i ix Así, ix ix ix cot x dx dx = ix i ix ix cot x dx i ix cot xdx = i ix ix cot x dx ix ix cot xdx = i ix (cos x + i sn x) cot x dx ix (cos x i sn x) cot xdx = i (cos x i sn x) (cos x + i sn x) cot x dx cos x + i sn x (cos x i sn x) cot xdx Simpli cando la xprsión antrior s obtin: cos x cos xdx sn x cos x sn x dx, qu no s más qu lo qu s obtin con variación d parámtros. Así, (x) = cos x cos xdx sn x cos x sn x dx = sn x ln(csc x cot x) (1) Por lo tanto, y(x) = c 1 cos x + c sn x + sn x ln(csc x cot x) solvindo la cuación difrncial antrior mdiant l método d variación d parámtros s tin qu las solucions d la cuación difrncial homogéna son: y 1 (x) = cos x y y (x) = sn x La solución d la cuación homogéna s: (x) = A cos x + B sn x: Variando parámtros consguimos una solución particular (x) = A(x) cos x + B(x) sn x 8 < A 0 (x) y 1 (x) + B 0 (x) y (x) = 0 S db rsolvr l sistma : A 0 (x) y1(x) 0 + B 0 (x) y(x) 0 = cot x cos x sn x sn x cos x = cos x + sn x = 1 Mdiant la rgla d crámr 0 sn x A 0 cot x cos x (x) = 1 = cos x Así, A(x) = cos xdx = sn x + c 8

9 B 0 (x) = 1 = cos x snx cos x 0 sn x cot x Así, B(x) = cos x snx dx = ln(csc x cot x) + cos x + c S pud notar, qu las dos intgrals antriors son las mismas qu s tuviron qu rsolvr n (1) Así, y(x) = A cos x + B sn x + A(x) cos x + B(x) sn x = A cos x + B sn x + sn x cos x + sn x (ln(csc x cot x) + cos x) Por lo tanto, y(x) = A cos x + B sn x + sn x ln(csc x cot x) Con la solución dl caso particular antrior, s pud mpzar a intuir la rlación qu xist ntr l método qu s ha dsarrollado con l método d variación d parámtros. A continuación s trabajará n sa rlación. lación ntr l método d ivra y l método d variación d parámtros Vrmos qu con l método qu sugir ivra s obtinn las mismas intgrals qu con l método d variación d parámtros, a difrncia d qu no s l dic al studiant, n ningún momnto, qu db variar parámtros para ncontrar la solución d la cuación difrncial linal d sgundo ordn no homogéna. Variación d parámtros Sa la cuación difrncial y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b (x) (13) San y 1 y y solucions linalmnt indpndints d la cuación difrncial homogéna y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = 0 (14) Es dcir, (x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) sindo c 1 y c constants arbitrarias n la solución d (13): Mdiant variación d parámtros y usando notación funcional obtnmos qu la solución d la cuación difrncial (13) s: y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y1b(x) y W [y 1;y ] dx y b(x) y 1y dx y 0 1 (15) yy0 1 Obtngamos la rlación qu xist ntr la solución antrior con rspcto al nuvo método propusto. Tommos dl punto a. y 1 (x) = 1x y y (x) = x : Calculando l wroskiano para stas dos solucions tnmos: 1x x 1 1x x = x 1x 1 1x x = (+1)x ( 1 ) : Sustityndo n (15) y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + 1 x b(x) dx x x b(x) dx 1x ( + 1 )x ( 1) ( + 1 )x ( 1) y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + x b(x) 1 dx 1x b(x) x 1 1 x = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y(x) b(x) 1 y dx (x) Qu s lo mismo qu tnmos n (10) y 1(x) b(x) 1 y dx 1(x) dx 9

10 3 Ecuacions difrncials linals d trcr ordn Considrérs la cuación difrncial d trcr ordn con co cints constant no homogéna d la forma y a y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x) (16) con a 0 ; a 1 y a constants rals y b(x) una función continua n un intrvalo I: Llgarmos a qu la solución gnral d la cuación difrncial antrior stá dada por: y(x) = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx + 1x ( 1)x x c 3 x + x om ogna S part d la cuación difrncial homogéna d (16) x b(x) dx dx dx articular Sa y a y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = 0 (17) con a 0 ; a 1 y a constants rals Dscomponmos a como a = + y a 1 como a 1 = + Así, y ( + ) y 00 + ( + ) y 0 + a 0 y = 0 y y 00 + y 00 + y 0 + y 0 + a 0 y = 0 Multiplicando la igualdad antrior por l factor intgrant x s tin: (y y 00 ) x + (y 00 + y 0 ) x + (y 0 + a 0 y) x = 0 (y 00 x ) 0 + (y 00 x + y 0 x ) + (y 0 x + a 0 y x ) = 0 (18) S quir qu la suma dl sgundo paréntsis y la suma trcr paréntsis san l rsultado d la drivada d un producto. Lo srá si por un lado: ( x ) 0 = x = x ) = Y por otro lado ( x ) 0 = x x Así, s toman ; ; ; tals qu 8 + = a >< + = a 1 = 0 >: Para qu la cuación (18) qud como: (y 00 x ) 0 + ( x y 0 ) 0 + ( x y) 0 = 0 (y 00 x + x y 0 + x y) 0 = 0; intgrando s tin y 00 + y 0 + y = c 3 x y sta s una cuación difrncial linal no homogéna d sgundo ordn Por lo tanto si 1 y son las raícs d la cuación caractrística d la cuación difrncial homogéna antrior s tin: y(x) = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx + 1x ( 1)x c 3 x x dx dx om ogna articular 10

11 Ejmplo solvr la cuación difrncial y y 00 10y 0 + 8y = = 1 >< + = 10 Hacindo obtnmos = 1; = ; = y = 8 = 0 >: = 8 La cuación difrncial quda como y 00 + y 0 + y = c 3 x y 00 + y 0 8y = c 3 x Cuyas solucions d la cuación caractrística + 8 = 0 son 1 = y = 4 Así la solución d la cuación difrncial s y(x) = c 1 x + c x ( 4 )x dx + x 6x om ogna y(x) = c 1 x + c 4x + c 3 x c 3 4x x dx dx articular Para hallar la solución particular s toma la cuación difrncial linal d ordn trs no homogéna con co cints constants. Sa y a y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x) (19) con a 0 ; a 1 y a constants rals Dscomponmos a como a = + y a 1 como a 1 = + Así, y ( + ) y 00 + ( + ) y 0 + a 0 y = b(x) y y 00 + y 00 + y 0 + y 0 + a 0 y = b(x) Multiplicando la igualdad antrior por l factor intgrant x s tin: (y y 00 ) x + (y 00 + y 0 ) x + (y 0 + a 0 y) x = x b(x) (y 00 x ) 0 + (y 00 x + y 0 x ) + (y 0 x + a 0 y x ) = x b(x) (0) S quir qu la suma dl sgundo paréntsis y la suma trcr paréntsis san l rsultado d la drivada d un producto. Lo srá si por un lado: ( x ) 0 = x = x ) = Y por otro lado ( x ) 0 = x x Así, s toman ; ; ; tals qu 8 >< >: + = a + = a 1 = 0 Para qu la cuación (0) qud como: (y 00 x ) 0 + ( x y 0 ) 0 + ( x y) 0 = x b(x) (y 00 x + x y 0 + x y) 0 = x b(x); intgrando s tin y 00 + y 0 + y = c 3 x + x x b(x) dx 11

12 y sta s una cuación difrncial linal no homogéna d sgundo ordn. Por lo tanto si 1 y son las raícs d la cuación caractrística d la cuación difrncial homogéna antrior s tin: y(x) = c 1 1x + c 1x ( + 1x ( 1)x x c 3 x + x x b(x) dx dx dx 1)x dx om ogna articular 4 Conclusions (a) La solución d la cuación difrncial linal d primr ordn y 0 + a (x) y = b (x) stá dada por a(x)dx a(x)dx y = c + b (x) a(x)dx dx (b) Si 1 y son las raícs d la cuación caractrística d la cuación difrncial homogéna d ordn dos con co cints constants y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = 0, ntoncs la solución gnral d sta cuación difrncial homogéna s: y = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx Si 1 y son númros rals, n y = c 1 1x + c 1x i. Si 1 6= ntoncs y = c 1 1x + c x ii. Si 1 = = ntoncs ( 1)x dx s dan dos casos: y = c 1 x + c x x Si 1 y son númros compljos conjugados 1 = + i; = i ; ntoncs y = c 1 1x +c 1x ( 1)x dx quda como: y = c 1 (cos (x) + isn (x)) x + c x (cos (x) isn (x)) y = A x cos (x) + B x sn (x) (c) Si 1 y son las raícs d la cuación caractrística d la cuación difrncial d ordn dos homogéna con co cints constants y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x), ntoncs la solución gnral d sta cuación difrncial homogéna s: y = 1x c 1 + c 1x ( 1)x dx + 1x ( 1)x x b(x) dx dx i. Si 1 y son númros rals difrnts ntoncs, las solucions d la cuación difrncial homogéna son: 1

13 y 1 (x) = 1x y y (x) = x ; y la solución d la cuación difrncial original srá: y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y (x) b(x) 1 y (x) dx y 1 (x) b(x) 1 y 1 (x) dx ii. Si 1 = = son númros rals iguals ntoncs, las solucions d la cuación difrncial homogéna son: y 1 (x) = x y y (x) = x x ; y la solución d la cuación difrncial original srá: y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y (x) b(x) y 1 (x) dx xb(x) y 1(x) y 1 (x) dx iii. Si 1 y son númros compljos conjugados ntoncs, las solucions d la cuación difrncial homogéna son: y 1 (x) = A cos x y y (x) = B sn x; y la solución d la cuación difrncial original srá: i y(x) = A cos x + B sn x + (+i)x ix +ix i b(x) dx +ix b(x) dx (d) Si 1 y son las raícs d la cuación caractrística d la cuación difrncial d ordn dos homogéna con co cints constants y 00 + y 0 + y = c 3 x qu rsulta d hacr 8 >< >: + = a + = a 1 = 0 n la cuación difrncial y a y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = 0; ntoncs su solución s: y(x) = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx + 1x ( 1)x c 3 x x dx dx om ogna articular () Si 1 y son las raícs d la cuación caractrística d la cuación difrncial d ordn dos homogéna con co cints constants y 00 + y 0 + y = c 3 x + x x b(x) dx qu rsulta d hacr 8 >< >: + = a + = a 1 = 0 n la cuación difrncial y a y 00 + a 1 y 0 + a 0 y = b(x); ntoncs su solución s: y(x) = c 1 1x + c 1x ( 1)x dx+ 1x ( 1)x x c 3 x + x om ogna x b(x) dx dx dx articular 13

14 (f) El método dsarrollado por ivra tin inmrso los métodos d co cints indtrminados y l d variación d parámtros, sin mbargo, la virtud dl nuvo método s qu ya no db dpndr d: i: cirtas funcions b(x) para podr usar co cints indtrminados ii: la convnincia d variar los parámtros n la solución d la cuación difrncial homogéna, para consguir las solucions particulars d una cuación difrncial linal d ordn dos no homogéna con co cints constants. Admás, quda por analizar para las cuacions difrncials linals d trcr ordn los posibls casos qu pudn ocurrir dpndindo d 1 y : Srá también un rto para l lctor dtrminar la gnralización dl método d ivra. Bibliografía Ayrs, F. (199). Ecuacions difrncials. McGraw-Hill. España. Boyc, W. & DiPrima,. (004). Elmntary di rntial quations and boundary valu problms. 8 a Edición. Limusa Wily. México. Edwards, C. (1979). Th historical dvlopmnt of th Calculus. Springr-Vrlag. Nw York. asmussn, C. & Whithad, K. (004). Undrgraduat studnts s mntal oprations in systmas of di rntial quations. In Patman N.A.; Doughrty. B.J. & illiox J (Eds).Procdings of th Psychology of Mathmatics Education (PME). Honolulu, USA. ivra, A. (006, mayo). Ecuacions difrncials linals d sgundo ordn con co cints constants. En CINVESTAV. Ecuacions difrncials y Álgbra Linal. Curso impartido n l I smstr d la mastría n Matmática Educativa, México D.F. Simmons, G. (1993). Ecuacions difrncials. Mc Graw Hill Intramricana. Spigl, M. (199). Ecuacions difrncials aplicadas. Parson. México. ill, D. & Culln, M. (006). Ecuacions difrncials con problmas d valors n la frontra. 6 a Edición. Thomson. México. Agradzco a Gonanny Figuroa y a Silvia Caldrón (profsors dl Instituto Tcnológico d Costa ica) por las obsrvacions hchas ants d la publicación d st trabajo. Admás, agradzco a Antonio ivra (Invstigador dl Cntro d Invstigación y Estudios Avanzados dl Instituto Politécnico Nacional d México) por motivarm a profundizar n sta tmática. 14