PRUEBA DE HIPOTESIS BASADA EN UNA SOLA MUESTRA

Transcripción

1 PRUEBA DE HIPOTESIS BASADA EN UNA SOLA MUESTRA Pruebas de hipótesis es ua parte de la ESTADISTICA INFERENCIAL y tiee su aalogía co los pasos que se realiza e u JUICIO. Objetivo: Aquí o se busca Estimar el parámetro θ sio determiar cuál de las hipótesis cotrapuestas propuestas por el ivestigador es la correcta para cierto ivel. Procedimieto de Prueba de Hipótesis El ivestigador establecerá las hipótesis e base a la teoría que quiere verificar, para u parámetro θ. Tomar ua muestra aleatoria de la població e estudio. Comparar lo observado co su teoría, si lo observado se cotrapoe a su teoría se rechaza su hipótesis e caso cotrario se dice que o se observó cambio.

2 Primero defiiremos los elemetos ecesarios para lleva adelate ua Prueba de hipótesis. a) El ivestigador debe establecer las hipótesis cotrapuestas de iterés para θ, llamadas Hipótesis Nula (H 0 ) e Hipótesis Alterativa (H a ). H 0 hipótesis de o cambio, o diferecia, o mejoría, etc. H a hipótesis que el ivestigador pretede validar. Si θ es el parámetro de iterés y θ 0 u valor fijado por el ivestigador etoces e uestro tratamieto de Prueba de hipótesis cosideraremos estas posibles hipótesis alterativas H a θ θ 0 θ > θ 0 θ < θ 0 Prueba bilateral Prueba uilateral a cola superior Prueba uilateral a cola iferior b) Estadístico de Prueba: estadístico co distribució coocida bajo hipótesis ula, sobre el cual se basará la decisió a tomar. c) Regió de Rechazo (RR): cojuto de valores del estadístico de prueba para los cuales H 0 será rechazada. d) Luego H 0 será rechazada si el valor observado o alcazado del estadístico perteece a la RR, e cuyo caso diremos que la H a es la correcta. E caso cotario diremos que o se ecotró evidecia suficiete para rechazar H 0.

3 Al tomar ua decisió se puede cometer dos tipos de errores. Error tipo I: Rechazar H 0 cuado H 0 es verdadera. Error tipo II: Aceptar H 0 cuado H 0 es falsa. Deotaremos co α y β a las probabilidades de cometer los Errores tipo I y tipo II respectivamete. Llamaremos ivel de sigificació de ua prueba al valor α = max θεω0 α θ, dode H 0 : θεω 0. La RR determia las probabilidades de cometer cada uo de los errores.

4 E resume los pasos a seguir para realizar ua Prueba de Hipótesis so: a) Idetificar el parámetro de iterés. b) Determiar las Hipótesis ula y alterativa para el problema. c) Determiar el Estadístico de Prueba adecuado, co distribució coocida bajo H 0. d) Fijado u ivel de sigificacia α determiar la Regió de Rechazo. e) Calcular el valor observado o alcazado del estadístico de prueba co la muestra obteida. f) Determiar si H 0 debe ser rechazada o o para el ivel de sigificació dado, estableciedo ua coclusió e el cotexto del problema.

5 PROBLEMA: Supogamos que el 10% de las tarjetas de circuito producidas por cierto fabricate so defectuosas. Co el fi de reducir la proporció de tarjetas defectuosas se ha sugerido u uevo proceso de producció. E este caso θ = p es la verdadera proporció de tarjetas defectuosas co este uevo método de producció. a) Establecer las hipótesis de iterés. b) Se tomó ua muestra aleatoria de =00 tarjetas producidas co este uevo método. Determiar el Estadístico de Prueba. c) Dada la RR = x x 15, calcular el ivel de sigificacia aproximado y hallar ua expresió para la probabilidad aproximada de cometer el Error de tipo II. d) Si ahora la RR = x x 1, calcular el ivel de sigificacia aproximado. e) Si e la muestra aleatoria se obtuvo x=13 cuál sería su coclusió? Usado la regió de rechazo dada e el ítem c). Observacioes: i) β p crece cuado p se aproxima a 0,10. ii) α = max p 0,10 α p = α 0,10. Luego esta prueba sigue teiedo el mismo ivel de sigificacia para la hipótesis simplificada H 0 : p = 0,10. Por lo tato de ahora e más uestra hipótesis ula será: H 0 θ = θ 0

6 Pruebas de Hipótesis para la media poblacioal Así como hicimos e IC cosideraremos diferetes situacioes para platear Prueba de Hipótesis. Hipótesis Nula: H 0 μ = μ 0 Caso A: Sea X 1, X,, X ua m.a. de N(μ, ) co coocido. Bajo estos supuestos sabemos que X ~ N μ, X μ ~ N(0, 1) Estadístico de Prueba X μ 0 ~ N(0, 1), bajo H 0 Si la Hipótesis alterativa fuese: H a μ < μ 0 Fijado u ivel de sigificacia α etoces veamos cómo defiir la Regió de Rechazo (RR α ) y estudiemos el comportamieto de la fució β.

7 RR α = x k α = z α + μ 0 = z z α La probabilidad de cometer el error tipo II es: β μ = 1 Φ z α + ( μ 0 μ ) Observacioes sobre esta fució:, μ < μ 0. i) lim μ μ 0 β μ = 1 α y lim μ β μ = 0. ii) β es ua fució creciete co puto de iflexió e k α. Ahora si queremos determiar el tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel α sea tal que Etoces: β μ β 0 z β 0 + z α ( μ 0 μ ).

8 Ejercicio (8.18) Se sabe que el tiempo de secado de cierto tipo de pitura, bajo ciertas codicioes de prueba, está ormalmete distribuido co valor medio de 75 miutos y ua desviació estádar de 9 miutos. Uos químicos ha diseñado u uevo aditivo para reducir el tiempo medio de secado de la pitura. Se supoe que el tiempo de secado para la pitura co el uevo aditivo seguirá teiedo distribució ormal co desviació estádar de 9 miutos. Debido al gasto asociado co el aditivo, la evidecia debe sugerir de forma cotudete ua dismiució e el tiempo medio de secado (μ) para su aceptació. a) Platear las hipótesis pertietes. b) Dar el estadístico de prueba y su distribució bajo hipótesis ula. c) Se tomó ua muestra aleatoria de tamaño 5 obteiédose u promedio muestral de 7,3 miutos. Cuál sería su coclusió usado u ivel de sigificacia de 0,01? Justifique su respuesta. d) Cuál es el ivel de sigificació para la RR= z,88? e) Para la RR dada e el ítem d), dar el valor de la probabilidad de cometer el error tipo II cuado μ =70. f) Para la RR dada e el ítem d), cuál es el meor tamaño de muestra que debería tomar para asegurar que β 70 0,01?

9 Desidad Desidad Nivel de sigificació y P(error tipo II cuado μ=70) 0, P(errortipo I)=0,000 0,0 0,18 0,16 0,13 0,11 0,09 0,07 0,04 0,0 0, , P(error tipo II e 70)=0,5398 0,0 0,18 0,16 0,13 0,11 0,09 0,07 0,04 0,0 0,

10 De igual forma se puede trabajar co las otras dos hipótesis alterativas y que se puede resumir como sigue. Supuestos: Sea X 1, X,, X ua m.a. de N(μ, ) co coocido. Hipótesis Nula: Estadístico de Prueba: H 0 μ = μ 0 Z = X μ 0 ~ N(0, 1), bajo H 0 H a RR α β μ μ < μ 0 z z α 1 Φ z α + ( μ 0 μ) μ > μ 0 z z α Φ z α + ( μ 0 μ) μ μ 0 z zα Φ zα + ( μ 0 μ) Φ zα + ( μ 0 μ) El míimo tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel α sea tal que β μ β 0 tomar uilateral y poer zα z β 0 + z α ( μ 0 μ ) bilateral. Problemas 8.10 y 8.11 si la hipótesis es e lugar de z α si la hipótesis es

11 Caso B: Sea X 1, X,, X ua m.a. co media y variaza μ y. Si el tamaño de muestra es suficietemete grade etoces por TCL: X ~ N μ, X μ ~ N(0, 1) Pedir 30 si la variaza es coocida y si es descoocida reemplazar por S y pedir 40, luego todo es igual que e el Caso A. Hipótesis Nula: Estadístico de Prueba: H 0 μ = μ 0 Z = X μ 0 ~ N(0, 1), bajo H 0 H a RR α β μ μ < μ 0 z z α 1 Φ z α + ( μ 0 μ) μ > μ 0 z z α Φ z α + ( μ 0 μ) μ μ 0 z zα Φ zα + ( μ 0 μ) Φ zα + ( μ 0 μ) Si el es descoocido reemplazarlo por S, siempre que 40.

12 El míimo tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel aproximado α sea tal que β μ β 0 tomar poer zα z β 0 + z α ( μ 0 μ ) si la hipótesis es uilateral y e lugar de z α si la hipótesis es bilateral. Caso C: Sea X 1, X,, X ua m.a. de N(μ, ) co descoocido. Bajo estos supuestos sabemos que Hipótesis Nula: X μ S ~ t 1 H 0 μ = μ 0 Estadístico de Prueba: T = X μ 0 S ~ t 1, bajo H 0

13 H a μ < μ 0 RR α t t α μ > μ 0 μ μ 0 t t α t tα, 1 E este caso es muy complicado dar la expresió de la probabilidad de cometer el Error Tipo II y determiar el valor de. Problema 8.9 Pruebas de Hipótesis para la Proporció poblacioal Supuestos: Sea X 1, X,, X ua m.a. de Beroulli de parámetro p, etoces la variable X = i=1 X i ~ B(, p). Aquí tedremos dos casos a cosiderar: i) Si es suficietemete grade. ii) Si es pequeño.

14 Caso i) Por TCL sabemos que p = X ~ N p, p q Hipótesis Nula: H 0 p = p 0 Estadístico de Prueba: Z = p p 0 p 0 q 0 ~ N(0, 1), bajo H 0 H a RR α β p p < p 0 z z α p 0 q 0 1 Φ z α p q + ( p 0 p ) p q p > p 0 z z α p 0 q 0 Φ z α p q + ( p 0 p ) p q p p 0 z zα Φ zα p 0 q 0 p q + ( p 0 p ) p q Φ zα p 0 q 0 p q + ( p 0 p ) p q Si p 0 10 y q El tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel aproximado α sea tal que β p β 0 tomar

15 z β 0 p q + z α p 0 q 0 ( p 0 p ) poer zα si la hipótesis es uilateral y e lugar de z α si la hipótesis es bilateral. Problema ii) Si es pequeño la prueba estadística estará basada e Hipótesis Nula: H 0 p = p 0 Estadístico de Prueba: X = i=1 X i ~ B(, p 0 ) bajo H 0 Problema 8.9 p-valor para ua prueba de Hipótesis

16 Defiició: Se llama p-valor o ivel de sigificacia alcazado al míimo ivel de sigificacia a partir del cual rechazaría la hipótesis ula para u cojuto dado. Ua vez calculado el p-valor la coclusió a u ivel de sigificacia α será Si p valor α etoces rechazar H 0 a u ivel α Si p valor > α etoces diremos que o hay evidecia suficiete para rechazar H 0 a u ivel α. Cómo calcular el p-valor? Distribució del Estadístico de Prueba Z T Hipótesis alterativa Cola superior Cola iferior Bilateral Cola superior Cola iferior Bilateral p-valor 1 Φ(z obs ) Φ(z obs ) 1 Φ( z obs ) P( T > t obs ) P( T < t obs ) P( T > t obs )