UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano."

Transcripción

1 UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las X y uno de las Y, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

2 Ejemplos: Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano. Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5). De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

3 Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad. Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe: Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano. Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera: Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia. Cada punto del plano cartesiano tiene una única forma de escritura y se llama par ordenado. El punto P (2,3) es un par ordenado. El punto Q (3,2) es otro par ordenado

4 Por lo tanto el punto P no es igual al punto Q. Si ubicamos dos puntos en el plano cartesiano y los tenemos graficada una recta. unimos, Ubiquemos los puntos R(6,4) y S(10,8) en el plano cartesiano, al unirlos obtenemos una línea recta. Ejemplo: En el plano cartesiano siguiente encontrarás la representación de los siguientes pares ordenados: (1; 1); (-3/2; 2); (-4; -4); (3/2;-3/2). Distancia entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

5 Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación: Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x 1,y 1 ) y B(x 2,y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1) d = 5 unidades Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento. Cumpliendo esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. La fórmula para determinar el punto medio de un segmento en el plano, con coordenadas: (x 1,y 1 ) y (x 2,y 2 ) es: [(x1 + x2) / 2] + [(y1 + y2) / 2] Segmentos Dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

6 Ejercicios Propuestos 1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos: (-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4) Relaciones 2. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1); (7, -1) y (7, 3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo sol: (2, 3); 20. Una relación binaria cartesiano, en los conjuntos A 1,A 2 es un subconjunto del producto Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos. Dominio: conjuntos con todos aquellos valores para los cuales la función esta definida. Rango: conjunto de valores que se obtienen al aplicar la función a cada elemento del dominio. Funciones Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida (dominio) le corresponde sólo un elemento (o imagen) del conjunto de llegada (codominio). Esto se expresa: f Y = f(x) o x y El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se denota Dom f o Df. El conjunto imagen, también llamado codominio, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

7 Tipo de funciones: Función Inyectiva: Es aquella donde cada elemento del conjunto de partida o dominio tiene diferente imagen en el conjunto de llegada o codominio. Es decir a los elementos del conjunto de llegada les corresponde a lo sumo un elemento del conjunto de partida. Observa en el gráfico siguiente como TODOS los elementos del conjunto X, tienen diferente imagen en el conjunto Y. Función Sobreyectiva Es aquella donde cada elemento del conjunto de llegada (codominio) es imagen de algún elemento del conjunto de partida o dominio. Es decir el conjunto de llegada e imagen son iguales. En el gráfico siguiente observa como TODOS los elementos del conjunto Y, son imagen de los elementos del conjunto X. Función Biyectiva Es aquella función donde se cumplen ambas propiedades inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

8 Funciones reales Función afín: todas las funciones de R R cuya representación grafica es una línea recta la llamamos función afín y su forma general es: F (x)= ax + b a y b Є R - Función cuadrática: es una función de la forma f(x)= ax2+bx+c con a, b y c números reales y a 0. - Función inversa: una función f(x) tiene inversa, f -1 (x) si y solo si f(x) es una función biyectiva. - Función exponencial de base a: Es una función de la forma y= f(x) =ax, donde a es un numero real positivo distinto de uno.una función de la forma y= f(x) = ax, donde a > 0 y a de 1, es una función exponencial, donde a es la base de la exponencial. - La Función logarítmica: para a> 0 y a 1 el logaritmo en base a de un numero x>0 es el componente al que hay que elevar la base para obtener dicho numero. Log a x= y es equivalente a x= ay. Funciones trigonométrica. - Función seno: es un función real tal que a cada ángulo α, expresado en radianes, se le hace corresponder un numero real denotado como sen x. Sen: R R tal que sen (α)= y - Función coseno: es una función real de variable real de variable real que a cada ángulo α medido en radianes se le hace corresponder un numero real denotado como cos α. Cos: R R tal que cos (x)= y - La función tangente: Es una función de variable real definida como el cociente f(x) = sen x, siendo cos α. Coseno de x distinto de 0 denotada por f(x) = tag x, de forma tal que cada ángulo, expresado en radianes, le haga corresponder el valor de su tangente. Representación grafica: Simetría: es una propiedad que se encuentra con frecuencia en los fenómenos naturales: acción y reacción, materia y antimateria, izquierda y derecha objeto e imagen, etc. Traslaciones Sean dos puntos P y Q cualquiera del plano, y sean P y Q` sus respectivas imágenes por el movimiento T entonces T es una traslación si los dos segmentos PP y QQ`. a) son de la misma longitud. b) Tienen direcciones paralelas. c) Tienen el mismo sentido.

9 Funciones definidas por intervalo Son aquellas en las cuales la obtención de las imágenes varían de acuerdo al intervalo del eje x que se esta utilizando. Ellas se caracterizan porque contienen varias expresiones algebraicas. Graficación de funciones en el plano cartesiano El plano cartesiano nos sirve para representar gráficamente funciones. En dichas funciones los valores que adquiere Y, dependen de los valores que le asignemos a la variable X. Para representar una función en el plano cartesiano seguimos los siguientes pasos: Resolvamos el siguiente ejemplo: Y = 3X 1.- Elaboramos una tabla de valores colocando en el lado izquierdo los valores de la variable independiente X, mientras que en el lado derecho ubicaremos los resultados la función dada. Damos valores a x, (utiliza números negativos, positivos y el inclusive) (-2), (-1), (0), (1), (2). para cero 2.- Los valores de X los reemplazamos en la función Y = 3X para obtener los valores de Y Y = 3 (-2) = -6 Y = 3 (-1) = -3 Y = 3 ( 0) = 0 Y = 3 ( 1) = 3 Y = 3 ( 2) = Con los datos obtenidos de X y de Y, se forma la tabla de valores (tabla de pares ordenados) 4.- En el plano cartesiano ubicamos los pares ordenados de la siguiente manera: (observa el gráfico) 5.- Al unir los puntos obtenemos una línea recta que corresponde al gráfico de la función Y = 3 x, y que por sus características es la representación de una función lineal.

10 Traslaciones Sea un punto en, un vector del plano. Entonces es el punto trasladado en el vector. Abreviaremos lo anterior diciendo que es el punto trasladado en el vector. Luego definimos: (Traslación de un punto en un vector ) Ejemplo 1: Tomemos el cuadrado, donde,,, Este cuadrado lo queremos trasladar en el vector Figura 4.2: imagenes/ Trasladando un cuadrado Si llamamos al cuadrado trasladado, tenemos que Aplicando la misma idea a todos los vertices del cuadrado, se obtiene:,,,

11 Funciones definidas por intervalos Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo: La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: E(x) x < E(x) + 1. Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante. Otras funciones definidas por intervalos son: Función escalón unitario Función signo 3. Determine el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = + b) f(x) = c) g(x) = Ejercicio nº 1.- Halla el dominio de definición de las funciones siguientes: 1 a) y = x x + 1 b) y = x

12 Ejercicio nº 2.- Asocia a cada gráfica su ecuación: 5 c) y = 3 x d) y = 4x 2 I) II) III) IV) Ejercicio nº 3.- Representa la gráfica de la siguiente función: y 3 = x Ejercicio nº 4.- Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:

13 Ejercicio nº 5.- Representa la gráfica de la siguiente función: y = x Luego, 4. Trace la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = (x - 1)(x - 3) b) g(x) = si x < x si -1 x 2 x + 2 si x > 2 5. Determine si la función es par, impar o ninguna de las dos: a) f(x) = x 6 - x b) f(x) = x 3-1 c) f(x) = x / x 6. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) SOLUCIÓN x 2 x 1 = 3 2 = 1 ; y 2 y 1 = 5 (-3) = Sean P 1 (-1, 1) y P 2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: Coordenadas del punto medio M del segmento Coordenadas del punto P sobre el segmento tal que SOLUCIÓN En la figura adjunta se ilustra el segmento y los puntos pedidos en a) y Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m ) entonces:

14 Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2) Como entonces Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6): Luego, las coordenadas del punto P, son: P 8. Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicada en la figura. SOLUCIÓN Para la recta l, se tiene y = (tan 30º). Para la recta n, se tiene y = (tan 45º). Es decir y = x Igualmente, para la recta m, se tiene: y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x

15 Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r 9. Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura SOLUCIÓN Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además,. Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1. Para la recta m, b = 1 y Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m. También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx 2. Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir, 0 = 2m 2, de donde m = 1. Por tanto, y = x 2 es la ecuación de la recta n. Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.

16 10. Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta. SOLUCIÓN Para la recta l, se tiene: y 3 = m l (x + 1). Pero m l = tan 135º = - tan 45º = -1 Luego, y 3 = - (x + 1) ó x + y 2 = 0 es la ecuación de la recta Para la recta r se tiene: y 3 = m r (x + 1). Pero, m r = Luego, y 3 = 3(x + 1) ó 3x y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r. 11. Aplique al triángulo de vértices una traslación en el vector. Dibuje la situación utilizando un gráfico. 12. Encuentre qué traslación transforma al triángulo con vértices en el triángulo con vértices

17 13. Encuentre una traslación que anule el efecto de, o sea que, para todo punto. 14. Un robot se puede mover utilizando las instrucciones que recibe con un programa. Un programa no es más que una secuencia vectores, donde cada. Cuando el robot recibe un programa, éste hace una secuencia de movimientos: primero se mueve hacia donde es el punto desde donde inicia su recorrido, luego, se mueve a, y así sucesivamente, hasta que llega a y se detiene. a. Escriba el vector en función de y b. Escriba un programa de modo que si el robot parte en el origen de coordenadas, éste se mueva al punto. c. Muestre que si el robot parte en el origen de coordenadas, entonces no existe ningún programa que le permita llegar a d. Muestre que si el robot parte en el origen de coordenadas, no existe ningún programa que le permita llegar a 15. Demuestre que la traslación preserva distancias, es decir, muestre que si y están a distancia, entonces y también se encuentran a distancia.

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

Funciones, x, y, gráficos

Funciones, x, y, gráficos Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN PEDRO CLAVER DEPARTAMENTO DE INGLÉS FECHA: 31 DE AGOSTO AL 11 DE SEPTIEMBRE 2015

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN PEDRO CLAVER DEPARTAMENTO DE INGLÉS FECHA: 31 DE AGOSTO AL 11 DE SEPTIEMBRE 2015 DOCENTE: Juan de Dios Varelas GRADO: 5º A-B-C-D- E - F TEMA: EL CUBO Y ORTOEDRO FECHA: 31 DE AGOSTO AL 11 DE SEPTIEMBRE 2015 ESTANDAR: construyo y descompongo figuras y sólidos a partir de condiciones

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano 7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Función exponencial y Logaritmos

Función exponencial y Logaritmos Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

En la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b.

En la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b. FUNCIÓN LINEAL. La función lineal o de primer grado es aquella que se representa gráficamente por medio de una línea recta. Dicha función tiene una ecuación lineal de la forma f()= =m+b, en donde m b son

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

Funciones y sus gráficas

Funciones y sus gráficas Funciones y sus gráficas El concepto de función es de suma importancia en la matemática moderna, debido a esto vamos a estudiar este tema de una manera un poco detallada. Dos conjuntos de números, por

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015 VECTORES Abel Moreno Lorente February 3, 015 1 Aspectos grácos. 1.1 Deniciones. Un vector entre dos puntos A y B es el segmento de recta orientado que tiene su origen en A y su extremo en B. A este vector

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Funciones uno-uno, sobre y biunívocas

Funciones uno-uno, sobre y biunívocas Funciones uno-uno, sobre y biunívocas La inversa (biunívocas) de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa deshace o invierte lo

Más detalles

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características

Más detalles

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función TEMA 3 FUNCIONES 3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013 x cos(x) + b sen(x) [2 5 puntos] Sabiendo que lim

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013 x cos(x) + b sen(x) [2 5 puntos] Sabiendo que lim IES Fco Ayala de Granada Junio de 013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 013 x cos(x) + b sen(x) [ 5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula b

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N)

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 1. Definición de Viga de alma llena TEORÍA TEMA 9 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 3. Determinación de los esfuerzos característicos i. Concepto de Polígonos de Presiones ii. Caso

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

CAPÍTULO III. FUNCIONES

CAPÍTULO III. FUNCIONES CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que

Más detalles

Actividades recreativas para recordar a los vectores. 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias:

Actividades recreativas para recordar a los vectores. 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias: Actividades recreativas para recordar a los vectores 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias: a) Dibuja un segmento y oriéntalo en sentido positivo. b) Dibuja un segmento y oriéntalo

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Más detalles

Las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se

Más detalles

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS

4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras.

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras. PRACTICO DE VECTORES 1. Dada la siguiente figura, se pide determinar vectores utilizando los vértices. Por ejemplo, el vector, el vector, etcétera. Se pide indicar a. Tres vectores que tengan la misma

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

1.5 Funciones trigonométricas

1.5 Funciones trigonométricas .5 Funciones trigonométricas Haciendo uso de las razones trigonométricas vistas anteriormente, se puede definir un nuevo tipo de función, que llamaremos f unciones trigonométricas. Notemos que para cada

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int."

Un Apunte de Funciones Introducción al Cálculo Dif. e Int. Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int." Las funciones son relaciones, las cuales, lo que hacen es tomar un elemento de un conjunto de partida (dominio) y transformarlo en otra cosa,

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de ádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTIAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 5 La circunferencia Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

Funciones. 1. Funciones - Dominio - Imagen - Gráficas

Funciones. 1. Funciones - Dominio - Imagen - Gráficas Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Funciones 1 Funciones - Dominio - Imagen - Gráficas 11 Función Una función es una asociación, que a cada elemento de un conjunto A le asocia eactamente un elemento

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS 1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,

Más detalles