04) Vectores. 0402) Operaciones Vectoriales

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1 Págin 1 04) Vectores 040) Operciones Vectoriles Desrrolldo por el Profesor Rodrigo Vergr Rojs Octubre 007 Octubre 007

2 Págin A) Notción Vectoril El vector cero o nulo (0 ) es quel vector cuy mgnitud es cero ( 0 = 0 ). Por convención, tiene culquier dirección y sentido Se consider que dos vectores son igules cundo tienen igul mgnitud, igul dirección e igul sentido. L iguldd es independiente del punto de plicción (ver figur 1) B) Multiplicción de un vector por un esclr Se un vector y un esclr λ. Se define l multiplicción de un vector por un esclr como l operción b = λ En l figur, se muestr el efecto de est operción pr diferentes vlores de λ. Al respecto, cben ls siguientes observciones: b = λ = λ (*) λ< 1 λ= 1 1 < λ < 0 En todos los csos, los vectores y b λ = 0 tienen l mism b Culquier Igules dirección, por lo que 0 < λ < 1 b < se dice que son b Igules b = prlelos. En el cso (**) λ =1 prticulr de que λ < 0, tienen sentidos b Igules b > λ >1 opuestos, en cuyo cso se denominn Figur ) Multiplicción de vector por esclr. ntiprlelos. En el cso indicdo con (*), se cumple que b = 0 b =, y se dice que b es el inverso ditivo de. En el cso indicdo con (**), se cumple que b =. C) Sum de vectores. L sum de vectores se puede hcer medinte dos métodos: l regl del triángulo (ilustrd en l figur 3) y l regl del prlelógrmo (ilustrd en l figur 4) b b b 0 Figur 1) Vectores igules Sentidos Mgnitud Opuesto b > Opuesto b = Opuesto b < b = 0 Octubre 007

3 Págin 3 () Regl del Triángulo Figur 3) Sum de vectores usndo l regl del triángulo () Dibuje el vector Dibuje el vector b prtir del punto finl del vector Dibuje el vector b, que es quel cuyo punto inicil es el punto inicil de y cuyo punto finl es el punto finl de b Octubre 007

4 Págin 4 Regl del Prlelógrmo () (d) (e) Figur 4) Sum de vectores usndo l regl del prlelógrmo () Dibuje el vector Dibuje el vector b prtir del punto inicil del vector, l que denominremos O. Trce l líne prlel l vector que pse por el punto finl del vector b. (d) Trce l líne prlel l vector b que pse por el punto finl del vector. L intersección entre ls rects prlels es el punto P. (e) Dibuje el vector b, que es quel cuyo punto inicil es O y cuyo punto finl es P. Octubre 007

5 Págin 5 L sum de vectores cumple con ls propieddes de: Conmuttividd: (figur 5) Asocitividd: b = b ( b) c = ( b c) (figur 5b) Distributividd con respecto l multiplicción por esclr: ( b) = λ λb λ (figur 5c) D) Rest de vectores. L rest de vectores se define prtir de l sum. L rest entre los vectores y b equivle l sum de y el inverso ditivo de b, o se: b = ( b) () b b () λ b c b b Rest de Vectores b b c b b c b λ b λ ( b) Figur 5) Propieddes de l sum de vectores. () Conmuttividd; Asocitividd; Distributividd En ls figurs 6 y 6b se ilustr l rest de vectores trvés de ls regls del triángulo y el prlelógrmo, respectivmente. En ls figur 7, 7b y 7c se resumen ls ides de sum y rest de vectores. Figur 6) Rest de vectores. () Según l regl del triángulo; Según l regl del prlelógrmo. Octubre 007

6 Págin 6 () Rest de Vectores Figur 7) () b ; b. Inicio en el punto finl de b, y finl en el punto finl de ; b - Inicio en el punto finl de, y finl en el punto finl de b. () E) Vectores perpendiculres En l figur 8 se ilustr l relción entre el ángulo de dos vectores y b θ y ls mgnitudes de su sum b y su rest - b : b - b b b Si θ > 90º, entonces se cumple que b > b (ver figur 8) Si θ < 90º, entonces se cumple que b < b (ver figur 8b) Si θ = 90º, que corresponde l cso de vectores perpendiculres ( b ), entonces se cumple que b = b (ver figur 8c) θ θ Figur 8) Relción entre el ángulo de los sumndos y l mgnitud de l sum y rest de vectores. () θ > 90º; θ < 90º; θ = 90º. Octubre 007

Págin 7 F) Análisis de l mgnitud de b En l figur 9 se muestr l sum b según l regl del triángulo. Aplicndo el teorem del coseno, se puede obtener el módulo de l sum b en función del ángulo θ, y b.

7 Págin 7 F) Análisis de l mgnitud de b En l figur 9 se muestr l sum b según l regl del triángulo. Aplicndo el teorem del coseno, se puede obtener el módulo de l sum b en función del ángulo θ, y b. b = b b cos ( θ ) A continución vmos nlizr este resultdo pr tres csos prticulres. () θ = 180º (Figur 9b) En este cso, cos(θ) = -1, por lo que l ecución pr l mgnitud de l sum se ve reducid : b = b b = ( b ) Scndo ríz cudrd, se obtiene que b = b. Este cso corresponde l máxim mgnitud posible de l sum de dos vectores, y es coherente con l figur 0b. θ = 90º (Figur 9c) En este cso, cos(θ) = 0, por lo que l ecución pr l mgnitud de l sum se ve reducid : (d) Figur 9) Análisis de l mgnitud de b. () Cso generl θ = 180º; θ = 90º;(d) θ = 0º. b = b Scndo ríz cudrd, se obtiene que b = b. Este cso corresponde dos vectores perpendiculres, y es coherente con l figur 0c. θ = 0º (Figur 9d) En este cso, cos(θ) = 1, por lo que l ecución pr l mgnitud de l sum se ve reducid : b = b b = ( b ) Octubre 007

8 Págin 8 Scndo ríz cudrd, se obtiene que b = b. Este cso corresponde l mínim mgnitud posible de l sum de dos vectores, y es coherente con l figur 0d. Cbe hcer notr que l rest de módulos v en vlor bsoluto, pues existe l posibilidd de que b > y, por definición, el módulo de un vector no puede ser negtivo. En generl, se puede firmr que b b b. Octubre 007

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