Triángulos II: Líneas y Puntos Notables

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1 Triángulos : Línes y Puntos Notbles 1. ltur Segmento que prte de un vértice y cort en form perpendiculr l ldo opuesto o su prologción. t. rtocentro s el punto donde se intersectn ls tres lturs de un triángulo. : rtocentro nt. oincide con un cteto PR RRDR Todo triángulo tiene un solo ortocentro. s un punto interior si el triángulo es cutángulo. s un punto eterior si el triángulo es obtusángulo. Si es rectángulo está en el vértice del ángulo recto. 2. Medin Segmento que une un vértice con el punto medio del ldo opuesto dicho vértice. Medin M ricentro s el punto donde se intersectn ls tres medins de un triángulo. G : ricentro M S G M Teorem G=2GM G=2GN G=2GS PR RRDR Todo triángulo tiene un solo bricentro. Divide cd medin en relción como 1 es 2. l bricentro es siempre un punto interior. s llmdo tmbién grvicentro o centro de grvedd de l región tringulr. N

2 3. isectriz Segmento que divide un ángulo interior o eterior en dos ángulos de igul medid. interior eterior 4. Meditriz s un rect que ps por el punto medio de un ldo cortándolo en form perpendiculr. L D ncentro s el punto donde se intersectn ls tres bisectrices interiores de un triángulo. γ γ PR RRDR Todo triángulo tiene un solo incentro. l incentro equidist de los ldos del triángulo. l incentro es siempre un punto interior l triángulo. centro s el punto donde se intersectn dos bisectrices eteriores con un bisectriz interior en un triángulo. = incentro : centro reltivo PR RRDR Todo triángulo tiene tres ecentros. Los ecentros son siempre puntos eteriores l triángulo. φ φ L : Meditriz de ircuncentro s el punto donde se cortn ls tres meditrices de un triángulo. : ircuncentro PR RRDR Todo triángulo tiene un solo circuncentro. l circuncentro equidist de los vértices del triángulo. s un punto interior si el triángulo es cutángulo. s un punto eterior si el triángulo es obtusángulo. Si es rectángulo está en el punto medio de l hipotenus.

3 Propiedd Si: "" es circuncentro = 2 5. evin Segmento que une un vértice con un punto culquier del ldo opuesto o de su prolongción. interior eterior D evcentro s el punto donde se intersectn tres cevins de un triángulo. : evcentro o punto cevino bservciones Pr ubicr un punto notble sólo es necesrio trzr dos línes notbles de l mism especie. n todos los triángulos isósceles, si se trz un de ls cutro primers línes notbles hci l bse, dich líne cumple ls misms funciones que ls otrs. n todo triángulo equilátero el ortocentro, bricentro, incentro y circuncentro coinciden. n todo triángulo isósceles, el ortocentro, bricentro, incentro y el ecentro reltivo l bse, se encuentrn linedos en l meditriz de l bse. Propieddes con línes notbles 1. Ángulo formdo por dos bisectrices interiores. = 90º Ángulo formdo por dos bisectrices eteriores = 90º 2 S M PR RRDR Todo triángulo tiene infinitos cevcentros. N D 3. Ángulo formdo por un bisectriz interior y un bisectriz eterior. = 2

4 4. 6. ω ω φ φ = 45º 4 = + b 2 b 5. b = + b 2 7. Ángulo formdo por un ltur y un bisectriz interior. D = 2

5 Problems plictivos 1. lcule. Si: : ncentro lcule. Si: : centro 80 ) 45 b) 35 c) 75 d) 65 e) 55 ) 60 b) 50 c) 70 d) 40 e) lcule. Si: : centro 40 ) 15 b) 25 c) 30 d) 60 e) lcule del myor vlor entero de. Si: : centro ) 3 3 b) 4 c) 5 4 d) 6 e) 2 3. lcule, si G es bricentro. ) 30 b) 60 c) 53 d) 45 G e) lcule. Si: es circuncentro del triángulo. ) b) 70 c) 60 d) 50 e) lcule. Si: es ortocentro. ) 8 b) 9 2 c) 15 d) 12 e) lcule. Si es circuncentro. ) b) c) 6 3 d) 18 e) lcule. Si es circuncentro. ) 12 b) c) 8 2 d) 16 e) lcule. Si: G es bricentro. =2GM ) 70 b) 80 c) 50 M d) 20 e) G

6 11. n l siguiente figur, clcule. Si: G es bricentro. 15. D es un romboide. lcule, si es ecentro de DD. 4 3 G D ) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) lcule, si es incentro. ) 130 b) 140 c) 160 d) 120 e) 150 Problems Propuestos 1. n l figur, clcule. Si: es circuncentro. 8 ) 25 b) 36 c) 72 d) 45 e) lcule. Si es incentro y es ecentro del D. ) 8 b) 12 c) 13 d) 20 e) lcule, si es ecentro del D. ) 45 b) 15 c) 20 d) 30 e) ) 10 b) 12 c) 15 d) 8 e) 9 2. n l figur, clcule. Si: es ortocentro. 6 3 ) 15 b) 12 c) 8 d) 9 e) n l figur, clcule. Si: G es bricentro. 3m 8 2 2m G ) 9 b) 15 c) 12 d) 10 e) 18

7 4. n l figur, clcule. Si: es incentro n l figur, clcule. Si: m D=70 ) 24 b) 18 c) 15 d) 10 e) n l figur, clcule. Si: es ecentro del D. 80 D ) 30 b) 20 c) 40 d) 35 e) n l figur, clcule. ) 55 b) 65 c) 75 d) 60 e) lcule. Si: es incentro del D. ) 71,5 b) 63,5 c) 22,5 d) 53,5 e) 27,5 7. n l figur, clcule. Si R es bisectriz del ángulo. ω ω R ) 10 b) 4 c) 8 d) 12 e) n l figur, clcule. Si: es incentro del D. ) 71,5 b) 63,5 c) 53,5 d) 53,5 e) 27,5 11. n l siguiente figur, clcule. ω 2ω ) 19 b) 26 c) 13 d) 15 e) 18 ) 35 b) 18 c) 20 d) 30 e) 15

8 12. n l siguiente figur, clcule ) 20 b) 25 c) 50 d) 40 e) n l siguiente figur, clcule. Si: es circuncentro del triángulo. 14. n un triángulo, donde m =78 y m =24. Si: es circuncentro e es incentro. lcule l m. ) 27 b) 14 c) 23 d) 32 e) n un triángulo, =, m =44. : incentro : rtocentro lcule l m. ) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 ) 120 b) 100 c) 96 d) 90 e) 80 LVS 1.e 2.c 3.e 4.b 5.e 6.b 7.b 8.c 9.c 10.b 11.c 12.e 13.c 14.d 15.e 1. 2.e 3.d 4.e 5.b 6.c 7. 8.c 9.e d 12.c 13.d e

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