Aplicación de las derivadas en la construcción de gráficos. Primera derivada. Numero o Valor Crítico de una Función

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1 Aplicación de las derivadas en la construcción de gráficos Primera derivada Numero o Valor Crítico de una Función El número real x = c es un valor crítico de f(x), si f (c) = 0 o bien si f (c) = no existe. Crecimiento y decrecimiento de una función Función Creciente Se dice que una función f(x) es creciente en su dominio o un intervalo si f (x) > 0 para todo x en el dominio o intervalo. Función Decreciente Se dice que una función f(x) es creciente en su dominio o un intervalo si f (x) < 0 para todo x en el dominio o intervalo. Puntos máximos y mínimos locales Punto máximo Se dice que una función f(x) tiene un máximo local en el punto (c, f(c)) si f (x) > 0 para todo valor x justo antes de c y si f (x) < 0 para todo valor x justo después de c. Punto mínimo Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local en el punto (c, f(c)) si f (x) < 0 para todo valor x justo antes de c y si f (x) > 0 para todo valor x justo después de c. Segunda derivada Concavidad Posible punto de inflexión El número real x = c es un valor posible punto de inflexión de f(x), si f (c) = 0 o bien si f (c) = no existe. Concavidad hacia arriba Una función f(x) es cóncava hacia arriba en su dominio o un intervalo si f (x) > 0 para todo valor x en el dominio o intervalo Concavidad hacia abajo Una función f(x) es cóncava hacia abajo en su dominio o un intervalo si f (x) < 0 para todo valor x en el dominio o intervalo Punto de inflexión Se dice que una función f(x) tiene un punto de inflexión en (c, f(c)) si f(x) cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en ese punto o viceversa.

2 1. Dada la función 4 2 f ( x) x 2x a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. b)encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. Nota: los números críticos dividen la recta numérica en intervalos, tomaremos valores que se encuentren dentro del intervalo y los evaluaremos en la primera derivada para determinar si la función es creciente o decreciente en el intervalo. Numeros Criticos f ' x Crecimiento o decrecimiento de f x los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.,,, x x x x f ' x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS c)encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la gráfica de f. Numeros donde f '' (x) = 0 o donde f ''(x) = no existe,,, x x x Concavidad hacia arriba o Concavidad hacia abajo Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexion de la gráfica de la función.

3 f '' x PUNTOS DE INFLEXION d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). 2. Dada la función 4 2 f ( x) 2x 4x a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f.

4 b)encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. Numeros Criticos f ' x Crecimiento o decrecimiento de f x los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.,,, x x x x f ' x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS c)encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la gráfica de f. Numeros donde f '' (x) = 0 o donde f ''(x) = no existe,,, x x x Concavidad hacia arriba o Concavidad hacia abajo Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexion de la gráfica de la función. f '' x PUNTOS DE INFLEXION

5 d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). 3. Dada la función f ( x) x x 3 a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es decreciente, así como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. Numeros Criticos f ' x Crecimiento o decrecimiento de f x los puntos extremos relativos de la gráfica de la función.,,, x x x x f ' x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

6 c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde f es cóncava hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la gráfica de f. Numeros donde f '' x 0 o donde f '' x no existe x x x x Concavidad hacia arriba o Concavidad hacia abajo los puntos de inflexion de la gráfica de la función. f '' x PUNTOS DE INFLEXION d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación).