Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de
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- Daniel Montoya Torregrosa
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1 CÓNICAS EN EL PLANO. CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA centrds en el origen CIRCUNFERENCIA Aunque segurmente se sep, recordmos que l circunferenci es el conjunto de puntos que distn un cntidd fij, llmd rdio, de un punto fijo llmdo centro. Como en l descripción de ls otrs cónics, vmos fijrnos primero en ls que están centrds en el origen de coordends pr posteriormente generlizr culquier punto. rdio R: Ecución de l circunferenci de centro el origen C(0, 0) y de Y P(x, y) X Los puntos P(x, y) que cumpln que su distnci l origen P(0,0) es igul l rdio R son los puntos que formn l circunferenci. Si plicmos el teorem de Pitágors l triángulo zul tenemos: R y x x + y = R Págin 1 de 10
2 Que es l ecución que buscábmos. En ls siguientes cónics se drá sólo l fórmul, fácil por otr prte de demostrr y que no es ml ejercicio si se tiene tiempo clro. Conviene sber de dónde vienen ls fórmuls (y ls coss) pero tmpoco desde el inicio de los tiempos. Pr lo que queremos con estos puntes creemos que es suficiente. ELIPSE Un ide clr, creemos, de lo que es un elipse es l siguiente: clvmos dos clvos en un pred y cd uno de ellos los extremos de un cuerd, poymos un lpicero en l cuerd y l tensmos tirndo en culquier dirección. Con l cuerd y tens movemos en tods ls direcciones el lpicero de tl mner que l cuerd esté siempre tens, hci rrib, hci bjo, hci los ldos y l figur que se form l mover el lpicero en todos los sentidos es lo que se llm elipse. Mtemáticmente es el conjunto de puntos cuy sum de distncis dos fijos, llmdos focos, es constnte (l longitud de l cuerd en el ejemplo) Elipse formd por los puntos cuy sum de distncis dos fijos es. L distnci entre los focos es c b ( c, 0) (c, 0) Págin de 10
3 A l distnci se le llm semieje myor y l distnci b semieje menor. Los prámetros, b y c definen l elipse perfectmente, más bien sólo dos de ellos pues hy un relción entre los tres, que es l siguiente = b + c Y en función de ests distncis, l ecución de l elipse de focos los puntos ( c, 0)y (c, 0) y de semiejes y b es: x + y b Siendo entonces los prámetros y b los fundmentles pr lo que queremos. HIPÉRBOLA L hipérbol se define como el conjunto de los puntos cuy rest de distncis dos fijos, llmdos tmbién focos, es un constnte. Hipérbol formd por los puntos cuy rest de distncis los focos es y cuy distnci entre focos es c Si los focos son los puntos ( c, 0) y (c, 0) y l rest de distncis es su form es ( c, 0) (c. 0) Págin 3 de 10
4 Y su ecución x y b Donde b está relciondo con y c por l ecución Pr distinguirls conviene sber: c = + b En l circunferenci y en l elipse precen los términos x e y SUMADOS, pero los fctores que les compñn son igules en un circunferenci y distintos en un elipse. L hipérbol se distingue de l circunferenci y l elipse porque los fctores x e y precen RESTANDO PARÁBOLA L prábol se define como el conjunto de puntos que equidistn de un rect, llmd directriz, y de un punto fijo llmdo foco. Pr nuestro estudio, que sólo pretende sberls dibujr cundo tengmos sus expresiones, es suficiente, creemos, sber lo siguiente sobre ls prábols fundmentles cuyo vértice está en el origen. Págin 4 de 10
5 Prábols verticles: y = x ( > 0) y = x ( > 0) Prábols horizontles: x = y ( > 0) x = y ( > 0) Donde el prámetro determin l bertur de l prábol (cunto más grnde es su vlor más estird y puntigud es l prábol). Como vemos, l prábol se diferenci de ls tres nteriores porque un de ls dos vribles x o y está elevd l uno y l otr l dos. De est mner creemos que se pueden distinguir ls cutro primer vist, recordndo este recudro y el nterior. Págin 5 de 10
6 Resumiendo: Circunferenci: Elipse: Hipérbol: Prábol: x + y = R x + y x b y b y = x ( > 0) y = x ( > 0) x = y ( > 0) A ests ecuciones ls llmremos forms cnónics. Págin 6 de 10
7 CONICAS EN EL PLANO DESCENTRADAS Si el centro y no es el origen (0,0) sino el punto (x c, y c ) ls ecuciones son ls misms pero en donde prece x precerá x x c y donde prece y" precerá y y c. Circunferenci: Elipse: { x x x c y y y c Quedndo ls forms cnónics de su expresión: (x x c ) + (y y c ) = R Hipérbol: Prábols: (x x c ) (x x c ) + (y y c) b (y y c) b y y c = ±(x x c ) ó x x c = ±(y y c ) Creemos que con un ejemplo se entiende mejor, pero no olvidr lo nterior. Págin 7 de 10
8 Ejemplo1: Se trt de sber ls crcterístics fundmentles de l siguiente cónic (y exgermos, no está preprd, pr que se ve que el método es generl) x + 7y 4x 5y 3 = 0 Lo primero que vemos simple vist es que en l sum de ls dos vribles x e y mbs l cudrdo, por lo tnto y no es un prábol (en ell un de ls vribles está l cudrdo y l otr no) y tmpoco es un hipérbol porque en ell ls dos vribles precen l cudrdo pero restndo. Sólo puede ser un elipse o un circunferenci pero como los coeficientes de x e y son distintos (uno pr x y siete pr y ) concluimos que es un elipse porque en l circunferenci mbos coeficientes son igules. El siguiente pso consiste en coger los términos en x y en x y completr cudrdos (grupr en un monomio del tipo (x + ) + b). Un poco de pcienci, l finl veremos por qué. x 4x = (x ) 4 Esto se puede hcer ojo sbiendo que (x ) = x 4x + 4 y por eso le hemos quitdo el cutro l monomio (x ), pr que nos quedr nd más x 4x. Si no, se puede hcer mecánicmente de l siguiente mner (se h descrito el método en el cpítulo de integrles simples) x 4x = (x + ) + b desrrollndo x 4x = x + x + + b igulndo términos l iguldd de los términos en x es ciert { 4 = iguldd de los términos en x 0 = + b iguldd términos independientes De donde deducimos que { = b = 4 Págin 8 de 10
9 Quedándonos: x 4x = (x ) 4 A continución hcemos lo mismo con los términos en y e y 7y 5y = 7(y + ) + b Fijrse en el coeficiente siete del préntesis pr que l iguldd en y se ciert. Desrrollndo el segundo término e igulndo coeficientes obtenemos: 5 = 7 (iguldd en términos en y) { 0 = 7 + b (iguldd de los términos independientes) De donde = 5 14 { b = 7 = = 5 Sustituyendo en l ecución de l cónic que estmos investigndo los sumndos x 4x e 7y 5y que hemos trnsformdo nos qued: x 4x = (x ) 4 x + 7y 4x 5y 3 = 0 { 7y 5y = 7 (y 5 14 ) 5 (x ) (y 5 14 ) 5 3 = 0 (x ) + 7 (y 5 14 ) = (x ) + 7 (y 5 14 ) Págin 9 de 10
10 Pr que se prezc l form cnónic, nos hce flt que el término de l derech se un uno, dividimos por lo tnto los dos miembros entre él: (, 5 ) y de semiejes: 14 (x ) 1 (x ) (y 5 14 ) 1 (y 5 14 ) 1 7 Si tendemos l teorí, esto es un elipse de centro el punto = 1,8 y b = Con estos dtos l podrímos dibujr y. Insistimos que en el último ejemplo no se h querido suvizr el cálculo pr que se vier el método generl y no tener ningún problem pse lo que pse. Sin embrgo, un ejemplo más norml serí el siguiente: Ejemplo: dibujr l cónic de ecución x + y = x x x + y = 0 completndo cudrdos x x = (x 1) 1 (x 1) + y Ecución cnoníc de un circunferenci de centro el (1,0) y rdio R Págin 10 de 10
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